Análisis discriminante lineal

Método utilizado en estadística, reconocimiento de patrones y otros campos.

Análisis discriminante lineal en un espacio bidimensional con dos clases. El límite de Bayes se calcula en función de los parámetros de generación de datos reales, el límite estimado en los puntos de datos realizados. ^[1]

El análisis discriminante lineal ( LDA ), el análisis discriminante normal ( NDA ) o el análisis de función discriminante es una generalización del discriminante lineal de Fisher , un método utilizado en estadística y otros campos, para encontrar una combinación lineal de características que caracteriza o separa dos o más clases. de objetos o eventos. La combinación resultante se puede utilizar como clasificador lineal o, más comúnmente, para la reducción de dimensionalidad antes de una clasificación posterior .

LDA está estrechamente relacionado con el análisis de varianza (ANOVA) y el análisis de regresión , que también intentan expresar una variable dependiente como una combinación lineal de otras características o medidas. ^{[2] [3]} Sin embargo, ANOVA utiliza variables independientes categóricas y una variable dependiente continua , mientras que el análisis discriminante tiene variables independientes continuas y una variable dependiente categórica ( es decir, la etiqueta de clase). ^[4] La regresión logística y la regresión probit son más similares a LDA que ANOVA, ya que también explican una variable categórica mediante los valores de variables independientes continuas. Estos otros métodos son preferibles en aplicaciones donde no es razonable suponer que las variables independientes están distribuidas normalmente, lo cual es un supuesto fundamental del método LDA.

LDA también está estrechamente relacionado con el análisis de componentes principales (PCA) y el análisis factorial en el sentido de que ambos buscan combinaciones lineales de variables que expliquen mejor los datos. ^[5] LDA intenta explícitamente modelar la diferencia entre las clases de datos. El PCA, por el contrario, no tiene en cuenta ninguna diferencia de clase, y el análisis factorial construye las combinaciones de características basándose en diferencias más que en similitudes. El análisis discriminante también se diferencia del análisis factorial en que no es una técnica de interdependencia: se debe hacer una distinción entre variables independientes y variables dependientes (también llamadas variables de criterio).

LDA funciona cuando las mediciones realizadas sobre variables independientes para cada observación son cantidades continuas. Cuando se trata de variables independientes categóricas, la técnica equivalente es el análisis de correspondencia discriminante. ^{[6] [7]}

El análisis discriminante se utiliza cuando los grupos se conocen a priori (a diferencia del análisis de conglomerados ). Cada caso debe tener una puntuación en una o más medidas predictivas cuantitativas y una puntuación en una medida grupal. ^[8] En términos simples, el análisis de funciones discriminantes es clasificación: el acto de distribuir cosas en grupos, clases o categorías del mismo tipo.

Historia

El análisis discriminante dicotómico original fue desarrollado por Sir Ronald Fisher en 1936. ^[9] Es diferente de un ANOVA o MANOVA , que se utiliza para predecir una (ANOVA) o múltiples (MANOVA) variables dependientes continuas mediante una o más variables categóricas independientes. . El análisis de funciones discriminantes es útil para determinar si un conjunto de variables es eficaz para predecir la pertenencia a una categoría. ^[10]

LDA para dos clases

Considere un conjunto de observaciones (también llamadas características, atributos, variables o medidas) para cada muestra de un objeto o evento con clase conocida . Este conjunto de muestras se denomina conjunto de entrenamiento . El problema de clasificación es entonces encontrar un buen predictor para la clase de cualquier muestra de la misma distribución (no necesariamente del conjunto de entrenamiento) dada solo una observación . ^{[11] : 338} ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

LDA aborda el problema asumiendo que las funciones de densidad de probabilidad condicional y son la distribución normal con parámetros de media y covarianza y , respectivamente. Bajo este supuesto, la solución óptima de Bayes es predecir puntos como de segunda clase si el logaritmo de los índices de probabilidad es mayor que algún umbral T, de modo que: ${\displaystyle p({\vec {x}}|y=0)}$ ${\displaystyle p({\vec {x}}|y=1)}$ ${\displaystyle \left({\vec {\mu }}_{0},\Sigma _{0}\right)}$ ${\displaystyle \left({\vec {\mu }}_{1},\Sigma _{1}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\vec {\mu }}_{0})^{\mathrm {T} }\Sigma _{0}^{-1}({\vec {x}}-{\vec {\mu }}_{0})+{\frac {1}{2}}\ln |\Sigma _{0}|-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\vec {\mu }}_{1})^{\mathrm {T} }\Sigma _{1}^{-1}({\vec {x}}-{\vec {\mu }}_{1})-{\frac {1}{2}}\ln |\Sigma _{1}|\ >\ T}$

Sin más suposiciones, el clasificador resultante se denomina análisis discriminante cuadrático (QDA).

En cambio, LDA hace el supuesto adicional simplificador de homocedasticidad ( es decir, que las covarianzas de clase son idénticas, por lo tanto ) y que las covarianzas tienen rango completo. En este caso, se cancelan varios términos: ${\displaystyle \Sigma _{0}=\Sigma _{1}=\Sigma }$

${\displaystyle {\vec {x}}^{\mathrm {T} }\Sigma _{0}^{-1}{\vec {x}}={\vec {x}}^{\mathrm {T} }\Sigma _{1}^{-1}{\vec {x}}}$

${\displaystyle {\vec {x}}^{\mathrm {T} }{\Sigma _{i}}^{-1}{\vec {\mu }}_{i}={{\vec {\mu }}_{i}}^{\mathrm {T} }{\Sigma _{i}}^{-1}{\vec {x}}}$ porque es hermitiano ${\displaystyle \Sigma _{i}}$

y el criterio de decisión anterior se convierte en un umbral en el producto escalar

${\displaystyle {\vec {w}}^{\mathrm {T} }{\vec {x}}>c}$

para alguna constante de umbral c , donde

${\displaystyle {\vec {w}}=\Sigma ^{-1}({\vec {\mu }}_{1}-{\vec {\mu }}_{0})}$

${\displaystyle c={\frac {1}{2}}\,{\vec {w}}^{\mathrm {T} }({\vec {\mu }}_{1}+{\vec {\mu }}_{0})}$

Esto significa que el criterio de que una entrada esté en una clase es puramente una función de esta combinación lineal de las observaciones conocidas. ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle y}$

A menudo es útil ver esta conclusión en términos geométricos: el criterio de que una entrada esté en una clase es puramente una función de proyección de un punto del espacio multidimensional sobre un vector (por lo tanto, solo consideramos su dirección). En otras palabras, la observación pertenece a si la correspondiente se encuentra en un determinado lado de un hiperplano perpendicular a . La ubicación del avión está definida por el umbral . ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$ ${\displaystyle c}$

Suposiciones

Los supuestos del análisis discriminante son los mismos que los de MANOVA. El análisis es bastante sensible a los valores atípicos y el tamaño del grupo más pequeño debe ser mayor que el número de variables predictoras. ^[8]

• Normalidad multivariada : las variables independientes son normales para cada nivel de la variable de agrupación. ^{[10] [8]}
• Homogeneidad de la varianza/covarianza ( homocedasticidad ): las varianzas entre las variables del grupo son las mismas en todos los niveles de predictores. Se puede probar con el estadístico M de Box . ^[10] Sin embargo, se ha sugerido que se utilice el análisis discriminante lineal cuando las covarianzas sean iguales, y que se pueda utilizar el análisis discriminante cuadrático cuando las covarianzas no sean iguales. ^[8]
• Independencia : Se supone que los participantes son muestreados aleatoriamente y que la puntuación de un participante en una variable es independiente de las puntuaciones de esa variable para todos los demás participantes. ^{[10] [8]}

Se ha sugerido que el análisis discriminante es relativamente robusto ante violaciones leves de estos supuestos, ^[12] y también se ha demostrado que el análisis discriminante aún puede ser confiable cuando se utilizan variables dicotómicas (donde a menudo se viola la normalidad multivariada). ^[13]

Funciones discriminantes

El análisis discriminante funciona creando una o más combinaciones lineales de predictores, creando una nueva variable latente para cada función. Estas funciones se llaman funciones discriminantes. El número de funciones posibles es donde = número de grupos o (el número de predictores), lo que sea menor. La primera función creada maximiza las diferencias entre grupos en esa función. La segunda función maximiza las diferencias en esa función, pero tampoco debe estar correlacionada con la función anterior. Esto continúa con funciones posteriores con el requisito de que la nueva función no esté correlacionada con ninguna de las funciones anteriores. ${\displaystyle N_{g}-1}$ ${\displaystyle N_{g}}$ ${\displaystyle p}$

Dado un grupo , con conjuntos de espacio muestral, existe una regla discriminante tal que si , entonces . Entonces, el análisis discriminante encuentra regiones "buenas" para minimizar el error de clasificación, lo que conduce a un alto porcentaje de clasificación correcta en la tabla de clasificación. ^[14] ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{j}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{j}}$ ${\displaystyle x\in j}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{j}}$

A cada función se le asigna una puntuación discriminante ^{[ se necesita aclaración ]} para determinar qué tan bien predice la ubicación del grupo.

• Coeficientes de correlación de estructura: la correlación entre cada predictor y la puntuación discriminante de cada función. Esta es una correlación de orden cero (es decir, no corregida para los otros predictores). ^[15]
• Coeficientes estandarizados: el peso de cada predictor en la combinación lineal que es la función discriminante. Como en una ecuación de regresión, estos coeficientes son parciales (es decir, corregidos para los otros predictores). Indica la contribución única de cada predictor en la predicción de la asignación de grupo.
• Funciones en centroides de grupo: se dan puntuaciones discriminantes medias para cada variable de agrupación para cada función. Cuanto más separadas estén las medias, menos error habrá en la clasificación.

Reglas de discriminación

• Máxima verosimilitud : Asigna al grupo que maximiza la densidad de población (grupo). ^[dieciséis] ${\displaystyle x}$
• Regla Discriminante de Bayes: Asigna al grupo que maximiza , donde π _i representa la probabilidad previa de esa clasificación, y representa la densidad de población. ^[dieciséis] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi _{i}f_{i}(x)}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$
• Regla discriminante lineal de Fisher: maximiza la relación entre SS _entre y SS _dentro y encuentra una combinación lineal de los predictores para predecir el grupo. ^[dieciséis]

Valores propios

Un valor propio en el análisis discriminante es la raíz característica de cada función. ^{[ aclaración necesaria ]} Es una indicación de qué tan bien esa función diferencia los grupos, donde cuanto mayor es el valor propio, mejor se diferencia la función. ^[8] Sin embargo, esto debe interpretarse con cautela, ya que los valores propios no tienen límite superior. ^{[10] [8]} El valor propio se puede ver como una relación de SS _entre y SS _dentro como en ANOVA cuando la variable dependiente es la función discriminante y los grupos son los niveles de IV ^{[ aclaración necesaria ]} . ^[10] Esto significa que el valor propio más grande está asociado con la primera función, el segundo más grande con la segunda, etc.

Tamaño del efecto

Algunos sugieren el uso de valores propios como medidas del tamaño del efecto ; sin embargo, esto generalmente no se admite. ^[10] En cambio, la correlación canónica es la medida preferida del tamaño del efecto. Es similar al valor propio, pero es la raíz cuadrada de la relación entre SS _entre y SS _total . Es la correlación entre grupos y la función. ^[10] Otra medida popular del tamaño del efecto es el porcentaje de varianza ^{[ aclaración necesaria ]} para cada función. Esto se calcula mediante: ( λ _x /Σλ _i ) X 100 donde λ _x es el valor propio de la función y Σ λ _i es la suma de todos los valores propios. Esto nos dice qué tan fuerte es la predicción para esa función en particular en comparación con las demás. ^[10] El porcentaje clasificado correctamente también se puede analizar como tamaño del efecto. El valor kappa puede describir esto mientras se corrige por acuerdo aleatorio. ^[10] Kappa normaliza todas las categorías en lugar de estar sesgado por clases de desempeño significativamente bueno o pobre. ^{[ se necesita aclaración ] [17]}

Análisis discriminante canónico para k clases.

El análisis discriminante canónico (CDA) encuentra ejes ( k  − 1 coordenadas canónicas , siendo k el número de clases) que mejor separan las categorías. Estas funciones lineales no están correlacionadas y definen, de hecho, un  espacio k − 1 óptimo a través de la nube de datos n -dimensional que mejor separa (las proyecciones en ese espacio de) los k grupos. Consulte “LDA multiclase” para obtener más detalles a continuación.

Discriminante lineal de Fisher

Los términos discriminante lineal de Fisher y LDA se usan a menudo indistintamente, aunque el artículo original de Fisher ^[2] en realidad describe un discriminante ligeramente diferente, que no asume algunos de los supuestos de LDA, como clases normalmente distribuidas o covarianzas de clases iguales .

Supongamos que dos clases de observaciones tienen medias y covarianzas . Entonces la combinación lineal de características tendrá medias y variaciones para . Fisher definió la separación entre estas dos distribuciones como la relación entre la varianza entre las clases y la varianza dentro de las clases: ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{0},{\vec {\mu }}_{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{0},\Sigma _{1}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}^{\mathrm {T} }{\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}^{\mathrm {T} }{\vec {\mu }}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}^{\mathrm {T} }\Sigma _{i}{\vec {w}}}$ ${\displaystyle i=0,1}$

${\displaystyle S={\frac {\sigma _{\text{between}}^{2}}{\sigma _{\text{within}}^{2}}}={\frac {({\vec {w}}\cdot {\vec {\mu }}_{1}-{\vec {w}}\cdot {\vec {\mu }}_{0})^{2}}{{\vec {w}}^{\mathrm {T} }\Sigma _{1}{\vec {w}}+{\vec {w}}^{\mathrm {T} }\Sigma _{0}{\vec {w}}}}={\frac {({\vec {w}}\cdot ({\vec {\mu }}_{1}-{\vec {\mu }}_{0}))^{2}}{{\vec {w}}^{\mathrm {T} }(\Sigma _{0}+\Sigma _{1}){\vec {w}}}}}$

Esta medida es, en cierto sentido, una medida de la relación señal-ruido para el etiquetado de clases. Se puede demostrar que la separación máxima ocurre cuando

${\displaystyle {\vec {w}}\propto (\Sigma _{0}+\Sigma _{1})^{-1}({\vec {\mu }}_{1}-{\vec {\mu }}_{0})}$

Cuando se cumplen los supuestos de LDA, la ecuación anterior es equivalente a LDA.

Discriminante lineal de Fisher visualizado como un eje

Asegúrese de tener en cuenta que el vector es la normal al hiperplano discriminante . Por ejemplo, en un problema bidimensional, la recta que mejor divide los dos grupos es perpendicular a . ${\displaystyle {\vec {w}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$

Generalmente, los puntos de datos a discriminar se proyectan en ; luego se elige el umbral que mejor separa los datos a partir del análisis de la distribución unidimensional. No existe una regla general para el umbral. Sin embargo, si las proyecciones de puntos de ambas clases exhiben aproximadamente las mismas distribuciones, una buena elección sería el hiperplano entre proyecciones de las dos medias, y . En este caso, el parámetro c en la condición de umbral se puede encontrar explícitamente: ${\displaystyle {\vec {w}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\cdot {\vec {\mu }}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\cdot {\vec {\mu }}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\cdot {\vec {x}}>c}$

${\displaystyle c={\vec {w}}\cdot {\frac {1}{2}}({\vec {\mu }}_{0}+{\vec {\mu }}_{1})={\frac {1}{2}}{\vec {\mu }}_{1}^{\mathrm {T} }\Sigma _{1}^{-1}{\vec {\mu }}_{1}-{\frac {1}{2}}{\vec {\mu }}_{0}^{\mathrm {T} }\Sigma _{0}^{-1}{\vec {\mu }}_{0}}$.

El método de Otsu está relacionado con el discriminante lineal de Fisher y fue creado para binarizar el histograma de píxeles en una imagen en escala de grises seleccionando de manera óptima el umbral blanco/negro que minimiza la variación intraclase y maximiza la variación entre clases dentro/entre las escalas de grises asignadas a negro y Clases de píxeles blancos.

LDA multiclase

Visualización de ejes LDA uno contra todos para 4 clases en 3D

Proyecciones a lo largo de ejes discriminantes lineales para 4 clases.

En el caso de que haya más de dos clases, el análisis utilizado en la derivación del discriminante de Fisher se puede ampliar para encontrar un subespacio que parezca contener toda la variabilidad de las clases. ^[18] Esta generalización se debe a CR Rao . ^[19] Supongamos que cada una de las clases C tiene una media y la misma covarianza . Entonces, la dispersión entre la variabilidad de las clases puede definirse mediante la covarianza muestral de las medias de las clases. ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \Sigma _{b}={\frac {1}{C}}\sum _{i=1}^{C}(\mu _{i}-\mu )(\mu _{i}-\mu )^{\mathrm {T} }}$

¿Dónde está la media de las clases? La separación de clases en una dirección en este caso vendrá dada por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$

${\displaystyle S={\frac {{\vec {w}}^{\mathrm {T} }\Sigma _{b}{\vec {w}}}{{\vec {w}}^{\mathrm {T} }\Sigma {\vec {w}}}}}$

Esto significa que cuando sea un vector propio de la separación será igual al valor propio correspondiente . ${\displaystyle {\vec {w}}}$ ${\displaystyle \Sigma ^{-1}\Sigma _{b}}$

Si es diagonalizable, la variabilidad entre características estará contenida en el subespacio abarcado por los vectores propios correspondientes a los valores propios más grandes de C  − 1 (ya que es de rango C  − 1 como máximo). Estos vectores propios se utilizan principalmente en la reducción de características, como en PCA. Los vectores propios correspondientes a los valores propios más pequeños tenderán a ser muy sensibles a la elección exacta de los datos de entrenamiento y, a menudo, es necesario utilizar la regularización como se describe en la siguiente sección. ${\displaystyle \Sigma ^{-1}\Sigma _{b}}$ ${\displaystyle \Sigma _{b}}$

Si se requiere clasificación, en lugar de reducción de dimensiones , existen varias técnicas alternativas disponibles. Por ejemplo, las clases pueden dividirse y usarse un discriminante estándar de Fisher o LDA para clasificar cada partición. Un ejemplo común de esto es "uno contra el resto", donde los puntos de una clase se colocan en un grupo y todo lo demás en el otro, y luego se aplica LDA. Esto dará como resultado clasificadores C, cuyos resultados se combinan. Otro método común es la clasificación por pares, donde se crea un nuevo clasificador para cada par de clases (dando C ( C  − 1)/2 clasificadores en total), con los clasificadores individuales combinados para producir una clasificación final.

LDA incremental

La implementación típica de la técnica LDA requiere que todas las muestras estén disponibles con anticipación. Sin embargo, hay situaciones en las que todo el conjunto de datos no está disponible y los datos de entrada se observan como una secuencia. En este caso, es deseable que la extracción de características LDA tenga la capacidad de actualizar las características LDA calculadas observando las nuevas muestras sin ejecutar el algoritmo en todo el conjunto de datos. Por ejemplo, en muchas aplicaciones en tiempo real, como la robótica móvil o el reconocimiento facial en línea, es importante actualizar las características LDA extraídas tan pronto como haya nuevas observaciones disponibles. Una técnica de extracción de características LDA que puede actualizar las características LDA simplemente observando nuevas muestras es un algoritmo LDA incremental , y esta idea se ha estudiado ampliamente durante las últimas dos décadas. ^[20] Chatterjee y Roychowdhury propusieron un algoritmo LDA autoorganizado incremental para actualizar las características de LDA. ^[21] En otro trabajo, Demir y Ozmehmet propusieron algoritmos de aprendizaje local en línea para actualizar las características LDA de forma incremental utilizando la corrección de errores y las reglas de aprendizaje hebbianas. ^[22] Posteriormente, Aliyari et al. derivó algoritmos incrementales rápidos para actualizar las características de LDA mediante la observación de las nuevas muestras. ^[20]

Uso práctico

En la práctica, se desconocen las medias y covarianzas de las clases. Sin embargo, pueden estimarse a partir del conjunto de entrenamiento. Se puede utilizar la estimación de máxima verosimilitud o la estimación máxima a posteriori en lugar del valor exacto en las ecuaciones anteriores. Aunque las estimaciones de la covarianza pueden considerarse óptimas en algún sentido, esto no significa que el discriminante resultante obtenido al sustituir estos valores sea óptimo en algún sentido, incluso si el supuesto de clases distribuidas normalmente es correcto.

Otra complicación al aplicar LDA y el discriminante de Fisher a datos reales ocurre cuando el número de mediciones de cada muestra (es decir, la dimensionalidad de cada vector de datos) excede el número de muestras en cada clase. ^[5] En este caso, las estimaciones de covarianza no tienen rango completo y, por lo tanto, no se pueden invertir. Hay varias maneras de abordar esto. Una es utilizar una pseudoinversa en lugar de la matriz inversa habitual en las fórmulas anteriores. Sin embargo, se puede lograr una mejor estabilidad numérica proyectando primero el problema en el subespacio abarcado por . ^[23] Otra estrategia para tratar con un tamaño de muestra pequeño es utilizar un estimador de contracción de la matriz de covarianza, que se puede expresar matemáticamente como ${\displaystyle \Sigma _{b}}$

${\displaystyle \Sigma =(1-\lambda )\Sigma +\lambda I\,}$

donde es la matriz de identidad y es la intensidad de contracción o parámetro de regularización . Esto conduce al marco del análisis discriminante regularizado ^[24] o análisis discriminante de contracción. ^[25] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$

Además, en muchos casos prácticos los discriminantes lineales no son adecuados. LDA y el discriminante de Fisher se pueden ampliar para su uso en clasificación no lineal mediante el truco del núcleo . Aquí, las observaciones originales se mapean efectivamente en un espacio no lineal de dimensiones superiores. La clasificación lineal en este espacio no lineal es entonces equivalente a la clasificación no lineal en el espacio original. El ejemplo más comúnmente utilizado de esto es el discriminante de Fisher del núcleo .

LDA se puede generalizar al análisis discriminante múltiple , donde c se convierte en una variable categórica con N estados posibles, en lugar de solo dos. De manera análoga, si las densidades condicionales de clase son normales con covarianzas compartidas, el estadístico suficiente para son los valores de N proyecciones, que son el subespacio abarcado por las N medias, proyectadas afines por la matriz de covarianza inversa. Estas proyecciones se pueden encontrar resolviendo un problema de valores propios generalizado , donde el numerador es la matriz de covarianza formada al tratar las medias como muestras y el denominador es la matriz de covarianza compartida. Consulte “LDA multiclase” más arriba para obtener más detalles. ${\displaystyle p({\vec {x}}\mid c=i)}$ ${\displaystyle P(c\mid {\vec {x}})}$

Aplicaciones

Además de los ejemplos que se dan a continuación, LDA se aplica en posicionamiento y gestión de productos .

Predicción de quiebra

En la predicción de quiebras basada en ratios contables y otras variables financieras, el análisis discriminante lineal fue el primer método estadístico aplicado para explicar sistemáticamente qué empresas entraron en quiebra y qué empresas sobrevivieron. A pesar de las limitaciones, incluida la conocida no conformidad de los ratios contables con los supuestos de distribución normal de LDA, el modelo de 1968 de Edward Altman ^[26] sigue siendo un modelo líder en aplicaciones prácticas. ^{[27] [28] [29]}

Reconocimiento facial

En el reconocimiento facial computarizado , cada rostro está representado por una gran cantidad de valores de píxeles. El análisis discriminante lineal se utiliza principalmente aquí para reducir la cantidad de características a una cantidad más manejable antes de la clasificación. Cada una de las nuevas dimensiones es una combinación lineal de valores de píxeles, que forman una plantilla. Las combinaciones lineales obtenidas utilizando el discriminante lineal de Fisher se denominan caras de Fisher , mientras que las obtenidas mediante el análisis de componentes principales relacionados se denominan caras propias .

Marketing

En marketing , el análisis discriminante alguna vez se utilizó a menudo para determinar los factores que distinguen diferentes tipos de clientes y/o productos sobre la base de encuestas u otras formas de datos recopilados. Ahora se utilizan con mayor frecuencia la regresión logística u otros métodos. El uso del análisis discriminante en marketing se puede describir mediante los siguientes pasos:

1. Formule el problema y recopile datos. Identifique los atributos destacados que usan los consumidores para evaluar los productos en esta categoría. Utilice técnicas de investigación de mercados cuantitativos (como encuestas ) para recopilar datos de una muestra de clientes potenciales sobre sus calificaciones de todos los atributos del producto. La etapa de recopilación de datos suele ser realizada por profesionales de la investigación de mercados. Las preguntas de la encuesta piden al encuestado que califique un producto del uno al cinco (o del 1 al 7, o del 1 al 10) según una variedad de atributos elegidos por el investigador. Se eligen entre cinco y veinte atributos. Podrían incluir cosas como: facilidad de uso, peso, precisión, durabilidad, colorido, precio o tamaño. Los atributos elegidos variarán según el producto que se estudie. Se hace la misma pregunta sobre todos los productos del estudio. Los datos de múltiples productos se codifican y se ingresan en un programa estadístico como R , SPSS o SAS . (Este paso es el mismo que en el análisis factorial).
2. Calcule los coeficientes de la función discriminante y determine la significación estadística y la validez. Elija el método de análisis discriminante adecuado. El método directo implica estimar la función discriminante de modo que todos los predictores se evalúen simultáneamente. El método paso a paso ingresa los predictores de forma secuencial. El método de los dos grupos debe utilizarse cuando la variable dependiente tiene dos categorías o estados. El método discriminante múltiple se utiliza cuando la variable dependiente tiene tres o más estados categóricos. Utilice Lambda de Wilks para probar la significancia en SPSS o la estadística F en SAS. El método más común utilizado para probar la validez es dividir la muestra en una muestra de estimación o análisis y una muestra de validación o reserva. La muestra de estimación se utiliza para construir la función discriminante. La muestra de validación se utiliza para construir una matriz de clasificación que contiene el número de casos clasificados correctamente e incorrectamente. El porcentaje de casos clasificados correctamente se llama índice de aciertos .
3. Trazar los resultados en un mapa bidimensional, definir las dimensiones e interpretar los resultados. El programa estadístico (o un módulo relacionado) mapeará los resultados. El mapa trazará cada producto (normalmente en un espacio bidimensional). La distancia de los productos entre sí indica cuán diferentes son. Las dimensiones deben ser etiquetadas por el investigador. Esto requiere un juicio subjetivo y, a menudo, supone un gran desafío. Ver mapeo perceptivo .

Estudios biomédicos

La principal aplicación del análisis discriminante en medicina es la evaluación del estado de gravedad de un paciente y el pronóstico del resultado de la enfermedad. Por ejemplo, durante el análisis retrospectivo, los pacientes se dividen en grupos según la gravedad de la enfermedad: forma leve, moderada y grave. Luego se estudian los resultados de los análisis clínicos y de laboratorio para revelar variables estadísticamente diferentes en los grupos estudiados. Utilizando estas variables, se construyen funciones discriminantes que ayudan a clasificar objetivamente la enfermedad en un futuro paciente en forma leve, moderada o grave.

En biología, se utilizan principios similares para clasificar y definir grupos de diferentes objetos biológicos, por ejemplo, para definir tipos de fagos de Salmonella enteritidis basándose en espectros infrarrojos de transformada de Fourier, ^[30] para detectar fuentes animales de Escherichia coli estudiando sus factores de virulencia ^[31] etc.

Ciencia de la Tierra

Este método se puede utilizar para separar las zonas de alteración ^{[ se necesita aclaración ]} . Por ejemplo, cuando se encuentran disponibles diferentes datos de varias zonas, el análisis discriminante puede encontrar el patrón dentro de los datos y clasificarlo de manera efectiva. ^[32]

Comparación con la regresión logística

El análisis de funciones discriminantes es muy similar a la regresión logística y ambos pueden usarse para responder las mismas preguntas de investigación. ^[10] La regresión logística no tiene tantos supuestos y restricciones como el análisis discriminante. Sin embargo, cuando se cumplen los supuestos del análisis discriminante, es más poderoso que la regresión logística. ^[33] A diferencia de la regresión logística, el análisis discriminante se puede utilizar con tamaños de muestra pequeños. Se ha demostrado que cuando los tamaños de muestra son iguales y se mantiene la homogeneidad de la varianza/covarianza, el análisis discriminante es más preciso. ^[8] A pesar de todas estas ventajas, la regresión logística se ha convertido, no obstante, en la opción común, ya que los supuestos del análisis discriminante rara vez se cumplen. ^{[9] [8]}

Discriminante lineal en dimensiones altas.

Las anomalías geométricas en dimensiones superiores conducen a la conocida maldición de la dimensionalidad . Sin embargo, la utilización adecuada de los fenómenos de concentración de medidas puede facilitar el cálculo. ^[34] Donoho y Tanner destacaron un caso importante de estos fenómenos de bendición de dimensionalidad : si una muestra es esencialmente de alta dimensión, entonces cada punto puede separarse del resto de la muestra mediante una desigualdad lineal, con alta probabilidad, incluso para exponencialmente. muestras grandes. ^[35] Estas desigualdades lineales se pueden seleccionar en la forma estándar (de Fisher) del discriminante lineal para una familia rica de distribución de probabilidad. ^[36] En particular, tales teoremas se prueban para distribuciones log-cóncavas, incluida la distribución normal multidimensional (la prueba se basa en las desigualdades de concentración para medidas log-cóncavas ^[37] ) y para medidas de productos en un cubo multidimensional (esto se prueba usando Desigualdad de concentración de Talagrand para espacios de probabilidad de productos). La separabilidad de datos mediante discriminantes lineales clásicos simplifica el problema de la corrección de errores para sistemas de inteligencia artificial en alta dimensión. ^[38]

Ver también

• Procesamiento de datos
• Aprendizaje del árbol de decisión
• Análisis factorial
• Análisis discriminante de Kernel Fisher
• Logit (para regresión logística )
• Regresión lineal
• Análisis discriminante múltiple
• Escalamiento multidimensional
• Reconocimiento de patrones
• Regresión de preferencias
• clasificador cuadrático
• Clasificación estadística

Referencias

1. Holtel, Frederik (20 de febrero de 2023). "El análisis discriminante lineal (LDA) puede ser muy sencillo". Medio . Consultado el 18 de mayo de 2024 .
2. Fisher, RA (1936). "El uso de múltiples medidas en problemas taxonómicos" (PDF) . Anales de la eugenesia . 7 (2): 179–188. doi :10.1111/j.1469-1809.1936.tb02137.x. hdl : 2440/15227 .
3. McLachlan, GJ (2004). Análisis discriminante y reconocimiento de patrones estadísticos . Wiley Interciencia. ISBN 978-0-471-69115-0. SEÑOR  1190469.
4. Análisis de datos cuantitativos: una introducción para investigadores sociales, Debra Wetcher-Hendricks, p.288
5. Martínez, AM; Kak, AC (2001). "PCA versus LDA" (PDF) . Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia artificial . 23 (2): 228–233. doi : 10.1109/34.908974. Archivado desde el original (PDF) el 11 de octubre de 2008 . Consultado el 30 de junio de 2010 .
6. Abdi, H. (2007) "Análisis de correspondencia discriminante". En: NJ Salkind (Ed.): Enciclopedia de medición y estadística . Thousand Oaks (CA): Salvia. págs. 270–275.
7. Perrière, G.; Thioulouse, J. (2003). "Uso del análisis discriminante de correspondencia para predecir la ubicación subcelular de proteínas bacterianas". Métodos y Programas Informáticos en Biomedicina . 70 (2): 99-105. doi :10.1016/s0169-2607(02)00011-1. PMID  12507786.
8. Büyüköztürk, Ş. & Çokluk-Bökeoğlu, Ö. (2008). Análisis de funciones discriminantes: Concepto y aplicación. Egitim Arastirmalari - Revista euroasiática de investigación educativa, 33, 73-92.
9. Cohen y col. Análisis de correlación/regresión múltiple aplicado para las ciencias del comportamiento 3ª ed. (2003). Grupo Taylor y Francis.
10. Hansen, John (2005). "Uso de SPSS para Windows y Macintosh: análisis y comprensión de datos". El estadístico estadounidense . 59 : 113. doi : 10.1198/tas.2005.s139.
11. Venables, WN; Ripley, BD (2002). Estadística aplicada moderna con S (4ª ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95457-8.
12. Lachenbruch, Pensilvania (1975). Análisis discriminante . Nueva York: Hafner
13. Klecka, William R. (1980). Análisis discriminante . Serie Aplicaciones cuantitativas en ciencias sociales, núm. 19. Thousand Oaks, CA: Sage Publications.
14. Hardle, W., Simar, L. (2007). Análisis Estadístico Multivariado Aplicado . Springer Berlín Heidelberg. págs. 289–303.
15. Garson, GD (2008). Análisis de funciones discriminantes. https://web.archive.org/web/20080312065328/http://www2.chass.ncsu.edu/garson/pA765/discrim.htm.
16. Hardle, W., Simar, L. (2007). Análisis Estadístico Multivariado Aplicado . Springer Berlín Heidelberg. págs. 289-303.
17. Israel, Steven A. (junio de 2006). "Métricas de rendimiento: cómo y cuándo". Geocarto Internacional . 21 (2): 23–32. Código Bib : 2006GeoIn..21...23I. doi :10.1080/10106040608542380. ISSN  1010-6049. S2CID  122376081.
18. Garson, GD (2008). Análisis de funciones discriminantes. "PA 765: Análisis de funciones discriminantes". Archivado desde el original el 12 de marzo de 2008 . Consultado el 4 de marzo de 2008 ..
19. Rao, RC (1948). "La utilización de múltiples medidas en problemas de clasificación biológica". Revista de la Royal Statistical Society, Serie B. 10 (2): 159–203. doi :10.1111/j.2517-6161.1948.tb00008.x. JSTOR  2983775.
20. Aliyari Ghassabeh, Youness; Rudzicz, Frank; Moghaddam, Hamid Abrishami (1 de junio de 2015). "Extracción rápida e incremental de funciones LDA". Reconocimiento de patrones . 48 (6): 1999-2012. Código Bib : 2015PatRe..48.1999A. doi :10.1016/j.patcog.2014.12.012.
21. Chatterjee, C.; Roychowdhury, vicepresidente (1 de mayo de 1997). "Sobre redes y algoritmos autoorganizados para funciones de separabilidad de clases". Transacciones IEEE en redes neuronales . 8 (3): 663–678. doi : 10.1109/72.572105. ISSN  1045-9227. PMID  18255669.
22. Demir, GK; Ozmehmet, K. (1 de marzo de 2005). "Algoritmos de aprendizaje local en línea para análisis discriminante lineal". Reconocimiento de patrones. Lett . 26 (4): 421–431. Código Bib : 2005PaReL..26..421D. doi :10.1016/j.patrec.2004.08.005. ISSN  0167-8655.
23. Yu, H.; Yang, J. (2001). "Un algoritmo LDA directo para datos de alta dimensión, con aplicación al reconocimiento facial". Reconocimiento de patrones . 34 (10): 2067–2069. Código Bib : 2001PatRe..34.2067Y. CiteSeerX 10.1.1.70.3507 . doi :10.1016/s0031-3203(00)00162-x. 
24. Friedman, JH (1989). «Análisis discriminante regularizado» (PDF) . Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 84 (405): 165-175. CiteSeerX 10.1.1.382.2682 . doi :10.2307/2289860. JSTOR  2289860. SEÑOR  0999675. 
25. Ahdesmäki, M.; Strimmer, K. (2010). "Selección de funciones en problemas de predicción ómica utilizando puntuaciones de gato y control de tasa de no descubrimiento falso". Anales de Estadística Aplicada . 4 (1): 503–519. arXiv : 0903.2003 . doi :10.1214/09-aoas277. S2CID  2508935.
26. Altman, Eduardo I. (1968). "Ratios financieros, análisis discriminante y predicción de quiebras empresariales". La Revista de Finanzas . 23 (4): 589–609. doi :10.2307/2978933. JSTOR  2978933.
27. Agarwal, Vineet; Taffler, Richard (2005). "Veinticinco años de puntuaciones z en el Reino Unido: ¿realmente funcionan?" (PDF) .
28. Agarwal, Vineet; Taffler, Richard (2007). "Veinticinco años del modelo Taffler Z-Score: ¿realmente tiene capacidad predictiva?". Investigación Contable y Empresarial . 37 (4): 285–300. doi :10.1080/00014788.2007.9663313.
29. Bimpong, Patricio; et al. (2020). "Evaluación del poder predictivo y las manipulaciones de ingresos. Estudio aplicado sobre empresas de servicios y bienes de consumo que cotizan en bolsa en Ghana utilizando 3 modelos de puntuación Z". Revista Experta en Finanzas . 8 (1): 1–26.
30. Preisner, O; Guiomar, R; Machado, J; Menezes, JC; Lopes, JA (2010). "Aplicación de quimiometría y espectroscopia infrarroja por transformada de Fourier para la diferenciación de tipos de fagos de Salmonella enterica serovar Enteritidis". Appl Environ Microbiol . 76 (11): 3538–3544. Código Bib : 2010ApEnM..76.3538P. doi :10.1128/aem.01589-09. PMC 2876429 . PMID  20363777. 
31. David, DE; Lynne, AM; Han, J; Foley, SL (2010). "Evaluación del perfil de factores de virulencia en la caracterización de aislados veterinarios de Escherichia coli". Appl Environ Microbiol . 76 (22): 7509–7513. Código Bib : 2010ApEnM..76.7509D. doi :10.1128/aem.00726-10. PMC 2976202 . PMID  20889790. 
32. Tahmasebi, P.; Hezarkhani, A.; Mortazavi, M. (2010). "Aplicación del análisis discriminante para la separación de alteraciones; depósito de cobre Sungun, Azerbaiyán Oriental, Irán. Australia" (PDF) . Revista de Ciencias Básicas y Aplicadas . 6 (4): 564–576.
33. Trevor Hastie; Robert Tibshirani; Jerónimo Friedman. Los elementos del aprendizaje estadístico. Minería de datos, inferencia y predicción (segunda ed.). Saltador. pag. 128.
34. Kainen PC (1997) Utilización de anomalías geométricas de alta dimensión: cuando la complejidad facilita el cálculo. En: Kárný M., Warwick K. (eds) Métodos informáticos intensivos en control y procesamiento de señales: la maldición de la dimensionalidad, Springer, 1997, págs.
35. Donoho, D., Tanner, J. (2009) Universalidad observada de las transiciones de fase en geometría de alta dimensión, con implicaciones para el análisis de datos y el procesamiento de señales modernos, Phil. Trans. R. Soc. A 367, 4273–4293.
36. Gorban, Alexander N.; Golubkov, Alejandro; Grechuck, Bogdan; Mirkes, Evgeny M.; Tyukin, Ivan Y. (2018). "Corrección de sistemas de IA mediante discriminantes lineales: fundamentos probabilísticos". Ciencias de la Información . 466 : 303–322. arXiv : 1811.05321 . doi :10.1016/j.ins.2018.07.040. S2CID  52876539.
37. Guédon, O., Milman, E. (2011) Interpolación de estimaciones de capa delgada y de desviación grande para medidas isotrópicas log-cóncavas, Geom. Función. Anal. 21 (5), 1043–1068.
38. Gorban, Alexander N.; Makarov, Valeri A.; Tyukin, Ivan Y. (julio de 2019). "La eficacia irrazonable de pequeños conjuntos neuronales en cerebros de alta dimensión". Reseñas de Física de la Vida . 29 : 55–88. arXiv : 1809.07656 . Código Bib : 2019PhLRv..29...55G. doi : 10.1016/j.plrev.2018.09.005 . PMID  30366739.

Otras lecturas

• Duda, RO; Hart, PE; Cigüeña, DH (2000). Clasificación de patrones (2ª ed.). Wiley Interciencia. ISBN 978-0-471-05669-0. SEÑOR  1802993.
• Hilbe, JM (2009). Modelos de regresión logística . Chapman y Hall/CRC Press. ISBN 978-1-4200-7575-5.
• Mika, S.; et al. (1999). "Análisis discriminante de Fisher con núcleos". Redes neuronales para el procesamiento de señales IX: Actas del taller de la Sociedad de procesamiento de señales IEEE de 1999 (n.º de catálogo 98TH8468) . págs. 41–48. CiteSeerX  10.1.1.35.9904 . doi :10.1109/NNSP.1999.788121. ISBN 978-0-7803-5673-3. S2CID  8473401.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
• McFarland, H. Richard; Donald, St. P. Richards (2001). "Probabilidades exactas de clasificación errónea de funciones discriminantes cuadráticas normales enchufables. I. El caso de medias iguales". Revista de análisis multivariado . 77 (1): 21–53. doi : 10.1006/jmva.2000.1924 .
• McFarland, H. Richard; Donald, St. P. Richards (2002). "Probabilidades exactas de clasificación errónea de funciones discriminantes cuadráticas normales enchufables. II. El caso heterogéneo". Revista de análisis multivariado . 82 (2): 299–330. doi : 10.1006/jmva.2001.2034 .
• Haghighat, M.; Abdel-Mottaleb, M.; Alhalabi, W. (2016). "Análisis de correlación discriminante: fusión de niveles de funciones en tiempo real para el reconocimiento biométrico multimodal". Transacciones IEEE sobre seguridad y ciencia forense de la información . 11 (9): 1984–1996. doi :10.1109/TIFS.2016.2569061. S2CID  15624506.

enlaces externos

• Análisis de correlación discriminante (DCA) del artículo de Haghighat (ver arriba)
• ALGLIB contiene una implementación LDA de código abierto en C#/C++/Pascal/VBA.
• LDA en Python- Implementación de LDA en Python
• Tutorial de LDA usando MS Excel
• Estadísticas biomédicas. Análisis discriminante
• StatQuest: Análisis discriminante lineal (LDA) explicado claramente en YouTube
• Notas del curso, Análisis de funciones discriminantes por G. David Garson, Universidad Estatal de Carolina del Norte
• Tutorial de análisis discriminante en Microsoft Excel por Kardi Teknomo
• Notas del curso, Análisis de funciones discriminantes por David W. Stockburger, Universidad Estatal de Missouri Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
• Análisis de funciones discriminantes (DA) por John Poulsen y Aaron French, Universidad Estatal de San Francisco