Distribución lambda de Wilks

Probability distribution used in multivariate hypothesis testing

En estadística , la distribución lambda de Wilks (llamada así por Samuel S. Wilks ), es una distribución de probabilidad utilizada en las pruebas de hipótesis multivariadas , especialmente con respecto a la prueba de razón de verosimilitud y el análisis de varianza multivariado (MANOVA).

Definición

La distribución lambda de Wilks se define a partir de dos variables independientes distribuidas por Wishart como la distribución de razón de sus determinantes , ^[1]

dado

${\displaystyle \mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)}$

independiente y con ${\displaystyle m\geq p}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)}$

donde p es el número de dimensiones. En el contexto de las pruebas de razón de verosimilitud, m son típicamente los grados de libertad del error y n son los grados de libertad de la hipótesis, por lo que son los grados de libertad totales. ^[1] ${\displaystyle n+m}$

Aproximaciones

Los cálculos o tablas de la distribución de Wilks para dimensiones superiores no están fácilmente disponibles y normalmente se recurre a aproximaciones. Una aproximación se atribuye a MS Bartlett y funciona para m grandes ^[2] permite aproximar la lambda de Wilks con una distribución chi-cuadrado

${\displaystyle \left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.}$^[1]

Otra aproximación se atribuye a CR Rao . ^{[1] [3]}

Propiedades

Existe una simetría entre los parámetros de la distribución de Wilks, ^[1]

${\displaystyle \Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+n-p,p)}$

Distribuciones relacionadas

La distribución se puede relacionar con un producto de variables aleatorias independientes distribuidas beta.

${\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+i-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).}$

Como tal, puede considerarse como una generalización multivariada de la distribución beta.

De ello se deduce directamente que para un problema unidimensional, cuando las distribuciones de Wishart son unidimensionales (es decir, distribuidas con chi-cuadrado), entonces la distribución de Wilks es igual a la distribución beta con un determinado conjunto de parámetros, ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).}$

A partir de las relaciones entre una distribución beta y una distribución F , la lambda de Wilks se puede relacionar con la distribución F cuando uno de los parámetros de la distribución lambda de Wilks es 1 o 2, por ejemplo, ^[1]

${\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},}$

y

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.}$

Ver también

• Distribución chi-cuadrado
• Distribución de Dirichlet
• F -distribución
• Distribución gamma
• Distribución T cuadrada de Hotelling
• Distribución t de Student
• distribución de deseos

Referencias

1. Kanti Mardia , John T. Kent y John Bibby (1979). Analisis multivariable . Prensa académica. ISBN 0-12-471250-9.
2. MS Bartlett (1954). "Una nota sobre los factores multiplicadores para diversas aproximaciones". JR Stat Soc Ser B. 16 (2): 296–298. JSTOR  2984057. ${\displaystyle \chi ^{2}}$
3. CR Rao (1951). "Una expansión asintótica de la distribución del criterio de Wilks". Boletín del Instituto Internacional de Estadística . 33 : 177–180.