El analista (subtitulado Un discurso dirigido a un matemático infiel: en el que se examina si el objeto, los principios y las inferencias del análisis moderno están más claramente concebidos o más evidentemente deducidos que los misterios religiosos y los puntos de fe ) es un libro de George Berkeley . Fue publicado por primera vez en 1734, primero por J. Tonson (Londres) y luego por S. Fuller (Dublín). Se cree que el "matemático infiel" fue Edmond Halley , aunque otros han especulado quese trataba de Sir Isaac Newton . [1]
El libro contiene un ataque directo a los fundamentos del cálculo , específicamente a la noción de fluxiones de Isaac Newton y a la noción de cambio infinitesimal de Leibniz .
Desde sus primeros días como escritor, Berkeley había tomado su pluma satírica para atacar a los entonces llamados " librepensadores " ( secularistas , escépticos , agnósticos , ateos , etc.; en resumen, cualquiera que dudara de las verdades de la religión cristiana recibida). o pidió una disminución de la religión en la vida pública). [2] En 1732, en la última entrega de este esfuerzo, Berkeley publicó su Alciphron , una serie de diálogos dirigidos a diferentes tipos de "librepensadores". Uno de los arquetipos que abordó Berkeley fue el del científico secular, que descartó los misterios cristianos como supersticiones innecesarias y declaró su confianza en la certeza de la razón y la ciencia humanas. Contra sus argumentos, Berkeley organizó una sutil defensa de la validez y utilidad de estos elementos de la fe cristiana.
Alciphron fue muy leído y causó cierto revuelo. Pero fue un comentario casual, burlándose de los argumentos de Berkeley, del "librepensador" astrónomo real Sir Edmund Halley lo que impulsó a Berkeley a tomar de nuevo su pluma y probar un nuevo rumbo. El resultado fue The Analyst , concebido como una sátira que atacaba los fundamentos de las matemáticas con el mismo vigor y estilo con el que los "librepensadores" atacaban habitualmente las verdades religiosas.
Berkeley buscó desmantelar los entonces fundamentos del cálculo, afirmó haber descubierto numerosas lagunas en la prueba, atacó el uso de los infinitesimales , la diagonal del cuadrado unitario , la existencia misma de los números, etc. El objetivo general no era tanto burlarse de las matemáticas. o matemáticos, sino más bien mostrar que los matemáticos, como los cristianos, se basaban en " misterios " incomprensibles en los fundamentos de su razonamiento. Además, la existencia de estas "supersticiones" no fue fatal para el razonamiento matemático; de hecho, fue una ayuda. Lo mismo ocurre con los fieles cristianos y sus "misterios". Berkeley concluyó que la certeza de las matemáticas no es mayor que la certeza de la religión.
El analista fue un ataque directo a los fundamentos del cálculo , específicamente a la noción de fluxiones de Newton y a la noción de cambio infinitesimal de Leibniz . En la sección 16, Berkeley critica
...la forma falaz de proceder hasta cierto punto sobre la suposición de un incremento, y luego de inmediato cambiar su suposición a la de ningún incremento. . . Puesto que si esta segunda Suposición se hubiera hecho ante la División común por o , todo se habría desvanecido a la vez, y no habrías obtenido nada con tu Suposición. Mientras que mediante este Artificio de dividir primero y luego cambiar su Suposición, usted retiene 1 y nx n-1 . Pero, a pesar de todo este discurso para cubrirlo, la falacia sigue siendo la misma. [3]
Es un pasaje citado con frecuencia, particularmente cuando escribió: [4] [5]
¿Y qué son estas Fluxiones? ¿Las velocidades de los incrementos evanescentes? ¿Y qué son esos mismos Incrementos evanescentes? No son Cantidades finitas ni Cantidades infinitamente pequeñas, ni tampoco nada. ¿No podemos llamarlos fantasmas de cantidades desaparecidas? [6]
Berkeley no cuestionó los resultados del cálculo; reconoció que los resultados eran ciertos. La idea central de su crítica fue que el cálculo no era lógicamente más riguroso que la religión. En cambio, cuestionó si los matemáticos "se someten a la autoridad, toman las cosas bajo confianza" [7] tal como lo hacían los seguidores de principios religiosos. Según Burton, Berkeley introdujo una ingeniosa teoría de compensación de errores que pretendía explicar la exactitud de los resultados del cálculo. Berkeley sostuvo que los practicantes del cálculo introdujeron varios errores que los cancelaban, dejando la respuesta correcta. En sus propias palabras, "en virtud de un doble error se llega, aunque no a la ciencia, sí a la verdad". [8]
La idea de que Newton fuera el destinatario previsto del discurso se pone en duda por un pasaje que aparece hacia el final del libro: "Pregunta 58: ¿Será realmente un efecto del pensamiento el que los mismos hombres admiren al gran autor por su ¿Fluxions y burlarse de él por su religión?" [9]
Aquí Berkeley ridiculiza a quienes celebran a Newton (el inventor de las "fluxiones", aproximadamente equivalentes a los diferenciales de versiones posteriores del cálculo diferencial) como un genio mientras se burla de su conocida religiosidad. Dado que Berkeley llama aquí explícitamente la atención sobre la fe religiosa de Newton, eso parece indicar que no pretendía que sus lectores identificaran al "matemático infiel (es decir, carente de fe)" con Newton.
La historiadora de las matemáticas Judith Grabiner comenta: "Las críticas de Berkeley al rigor del cálculo fueron ingeniosas, crueles y, con respecto a las prácticas matemáticas que criticaba, esencialmente correctas". [10] Si bien sus críticas a las prácticas matemáticas fueron sólidas, su ensayo ha sido criticado por motivos lógicos y filosóficos.
Por ejemplo, David Sherry sostiene que la crítica de Berkeley al cálculo infinitesimal consiste en una crítica lógica y una crítica metafísica. La crítica lógica es la de una falacia suppositionis , que significa ganar puntos en un argumento mediante un supuesto y, manteniendo esos puntos, concluir el argumento con un supuesto contradictorio. La crítica metafísica es un desafío a la existencia misma de conceptos como fluxiones, momentos e infinitesimales, y tiene sus raíces en la filosofía empirista de Berkeley , que no tolera ninguna expresión sin un referente. [11] Andersen (2011) demostró que la doctrina de Berkeley sobre la compensación de errores contiene una circularidad lógica. Es decir, Berkeley se basa en la determinación de Apolonio de la tangente de la parábola en la determinación del propio Berkeley de la derivada de la función cuadrática.
Dos años después de esta publicación, Thomas Bayes publicó de forma anónima "Una introducción a la doctrina de las fluxiones y una defensa de los matemáticos contra las objeciones del autor del analista" (1736), en el que defendía los fundamentos lógicos del cálculo de Isaac Newton. contra las críticas esbozadas en The Analyst . El Tratado de fluxiones en dos volúmenes de Colin Maclaurin , publicado en 1742, también comenzó como una respuesta a los ataques de Berkeley, con la intención de demostrar que el cálculo de Newton era riguroso reduciéndolo a los métodos de la geometría griega . [10]
A pesar de estos intentos, el cálculo continuó desarrollándose utilizando métodos no rigurosos hasta alrededor de 1830 cuando Augustin Cauchy , y más tarde Bernhard Riemann y Karl Weierstrass , redefinieron la derivada y la integral utilizando una definición rigurosa del concepto de límite . La idea de utilizar límites como base para el cálculo había sido sugerida por d'Alembert , pero la definición de d'Alembert no era rigurosa según los estándares modernos. [12] El concepto de límite ya había aparecido en la obra de Newton, [13] pero no estaba enunciado con suficiente claridad como para resistir las críticas de Berkeley. [14]
En 1966, Abraham Robinson introdujo el Análisis no estándar , que proporcionó una base rigurosa para trabajar con cantidades infinitamente pequeñas. Esto proporcionó otra forma de poner el cálculo sobre una base matemáticamente rigurosa, la forma en que se hacía antes de que se desarrollara completamente la definición de límite (ε, δ) .
Hacia el final de The Analyst, Berkeley aborda posibles justificaciones de los fundamentos del cálculo que los matemáticos pueden proponer. En respuesta a la idea de que las fluxiones podrían definirse utilizando proporciones últimas de cantidades evanescentes, [15] Berkeley escribió:
De hecho, debe reconocerse que [Newton] usó Fluxions, como el andamio de un edificio, como cosas que debían dejarse a un lado o deshacerse de ellas, tan pronto como se descubriera que las líneas finitas eran proporcionales a ellas. Pero luego estos exponentes finitos se encuentran con la ayuda de Fluxions. Por lo tanto, todo lo que se obtenga mediante tales Exponentes y Proporciones debe atribuirse a Fluxiones: lo cual, por lo tanto, debe entenderse previamente. ¿Y qué son estas Fluxions? ¿Las velocidades de los incrementos evanescentes? ¿Y qué son esos mismos Incrementos evanescentes? No son Cantidades finitas ni Cantidades infinitamente pequeñas, ni tampoco nada. ¿No podemos llamarlos los Fantasmas de las Cantidades fallecidas? [6]
Edwards describe esto como el punto más memorable del libro. [14] Katz y Sherry sostienen que la expresión pretendía abordar tanto los infinitesimales como la teoría de las fluxiones de Newton. [dieciséis]
Hoy en día, la frase "fantasmas de cantidades desaparecidas" también se utiliza cuando se analizan los ataques de Berkeley a otros posibles fundamentos del Cálculo. En particular, se utiliza cuando se analizan infinitesimales , [17] pero también se utiliza cuando se analizan diferenciales , [18] y una igualdad . [19]
El texto completo de The Analyst se puede leer en Wikisource , así como en el sitio web de David R. Wilkins, [20] que incluye algunos comentarios y enlaces a respuestas de los contemporáneos de Berkeley.
El Analista también se reproduce, con comentarios, en trabajos recientes:
Ewald concluye que las objeciones de Berkeley al cálculo de su época fueron en su mayoría bien tomadas en ese momento.
Trabajos relacionados con El analista: un discurso dirigido a un matemático infiel en Wikisource