Extensiones finitas de campos locales

En la teoría de números algebraicos , a través de la terminación, el estudio de la ramificación de un ideal primo a menudo se puede reducir al caso de campos locales donde se puede realizar un análisis más detallado con la ayuda de herramientas como los grupos de ramificación .

En este artículo, un campo local no es arquimediano y tiene un campo de residuos finitos .

Extensión no ramificada

Sea una extensión finita de Galois de cuerpos locales no arquimedianos con cuerpos de residuos finitos y grupo de Galois . Entonces los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \ell /k}$ ${\displaystyle G}$

• (i) no está ramificado . ${\displaystyle L/K}$
• (ii) es un campo, donde es el ideal máximo de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$
• (iii) ${\displaystyle [L:K]=[\ell :k]}$
• (iv) El subgrupo de inercia de es trivial. ${\displaystyle G}$
• (v) Si es un elemento uniformizador de , entonces es también un elemento uniformizador de . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L}$

Cuando no está ramificado, por (iv) (o (iii)), G puede identificarse con , que es cíclico finito . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\ell /k)}$

Lo anterior implica que existe una equivalencia de categorías entre las extensiones finitas no ramificadas de un campo local K y las extensiones finitas separables del campo de residuos  de K.

Extensión totalmente ramificada

De nuevo, sea una extensión finita de Galois de cuerpos locales no arquimedianos con cuerpos de residuos finitos y grupo de Galois . Los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle l/k}$ ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle L/K}$está totalmente ramificado
• ${\displaystyle G}$coincide con su subgrupo de inercia.
• ${\displaystyle L=K[\pi ]}$donde es una raíz de un polinomio de Eisenstein . ${\displaystyle \pi }$
• La norma contiene un uniformizador de . ${\displaystyle N(L/K)}$ ${\displaystyle K}$

Véase también

• El lema de Abhyankar
• Morfismo no ramificado

Referencias

• Cassels, JWS (1986). Campos locales. Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 3. Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5.Zbl 0595.12006  .
• Weiss, Edwin (1976). Teoría algebraica de números (2.ª edición sin modificaciones). Chelsea Publishing . ISBN 0-8284-0293-0.Zbl 0348.12101  .