Explotando

Tipo de transformación geométrica

Ampliación del plano afín.

En matemáticas , la explosión o estallido es un tipo de transformación geométrica que reemplaza un subespacio de un espacio dado por el espacio de todas las direcciones que apuntan hacia afuera de ese subespacio. Por ejemplo, la explosión de un punto en un plano reemplaza el punto por el espacio tangente proyectivizado en ese punto. La metáfora es la de hacer zoom en una fotografía para agrandar parte de la imagen, en lugar de referirse a una explosión . La operación inversa se llama derribar .

Las ampliaciones son la transformación más fundamental en la geometría biracional , porque cada morfismo biracional entre variedades proyectivas es una ampliación. El teorema de factorización débil dice que cada función biracional puede factorizarse como una composición de ampliaciones particularmente simples. El grupo de Cremona , el grupo de automorfismos biracionales del plano, se genera mediante ampliaciones.

Además de su importancia para describir las transformaciones biracionales, las ampliaciones también son una forma importante de construir nuevos espacios. Por ejemplo, la mayoría de los procedimientos para la resolución de singularidades se realizan ampliando las singularidades hasta que se suavizan. Una consecuencia de esto es que las ampliaciones se pueden utilizar para resolver las singularidades de los mapas biracionales.

Clásicamente, las explosiones se definían de forma extrínseca, definiendo primero la explosión en espacios como el espacio proyectivo utilizando una construcción explícita en coordenadas y luego definiendo las explosiones en otros espacios en términos de una incrustación. Esto se refleja en parte de la terminología, como el término clásico transformación monoidal . La geometría algebraica contemporánea trata la explosión como una operación intrínseca en una variedad algebraica. Desde esta perspectiva, una explosión es la forma universal (en el sentido de la teoría de categorías ) de convertir una subvariedad en un divisor de Cartier .

Una explosión también puede denominarse transformación monoidal , transformación cuadrática local , dilatación , proceso σ o mapa de Hopf .

La explosión de un punto en un plano

El caso más simple de explosión es la explosión de un punto en un plano. La mayoría de las características generales de la explosión se pueden ver en este ejemplo.

La explosión tiene una descripción sintética como correspondencia de incidencia. Recordemos que el Grassmanniano G (1,2) parametriza el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto del plano. La explosión del plano proyectivo P ² en el punto P , que denotaremos X , es

${\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2).}$

Aquí Q denota otro punto y es un elemento del Grassmanniano. X es una variedad proyectiva porque es una subvariedad cerrada de un producto de variedades proyectivas. Viene con un morfismo natural π a P ² que lleva el par a Q . Este morfismo es un isomorfismo en el subconjunto abierto de todos los puntos con Q ≠ P porque la línea está determinada por esos dos puntos. Cuando Q = P , sin embargo, la línea puede ser cualquier línea a través de P . Estas líneas corresponden al espacio de direcciones a través de P , que es isomorfo a P ¹ . Este P ¹ se llama divisor excepcional , y por definición es el espacio normal proyectivizado en P . Debido a que P es un punto, el espacio normal es el mismo que el espacio tangente, por lo que el divisor excepcional es isomorfo al espacio tangente proyectivizado en P . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (Q,\ell )}$ ${\displaystyle (Q,\ell )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

Para dar coordenadas en la ampliación, podemos escribir ecuaciones para la correspondencia de incidencia anterior. Dar coordenadas homogéneas a P ² [ X ₀ : X ₁ : X ₂ ] en las que P es el punto [ P ₀ : P ₁ : P ₂ ]. Por dualidad proyectiva , G (1,2) es isomorfo a P ² , por lo que podemos darle coordenadas homogéneas [ L ₀ : L ₁ : L ₂ ]. Una línea es el conjunto de todas las [ X ₀ : X ₁ : X ₂ ] tales que X ₀ L ₀ + X ₁ L ₁ + X ₂ L ₂ = 0. Por lo tanto, la ampliación puede describirse como ${\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$

${\displaystyle X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.}$

La explosión es un isomorfismo que se aleja de P , y al trabajar en el plano afín en lugar del plano proyectivo, podemos dar ecuaciones más simples para la explosión. Después de una transformación proyectiva, podemos suponer que P = [0:0:1]. Escriba x e y para las coordenadas en el plano afín X ₂ ≠0. La condición P ∈ implica que L ₂ = 0, por lo que podemos reemplazar el Grassmanniano con un P ¹ . Entonces la explosión es la variedad ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.}$

Es más común cambiar las coordenadas para invertir uno de los signos. Entonces la ampliación se puede escribir como

${\displaystyle \left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.}$

Esta ecuación es más fácil de generalizar que la anterior.

La explosión se puede visualizar fácilmente si eliminamos el punto infinito del Grassmanniano, por ejemplo, estableciendo w  = 1, y obtenemos la superficie de silla de montar estándar y  =  xz en el espacio 3D.

La explosión también se puede describir directamente utilizando coordenadas en el espacio normal al punto. Nuevamente trabajamos en el plano afín A ² . El espacio normal al origen es el espacio vectorial m / m ² , donde m = ( x , y ) es el ideal máximo del origen. Algebraicamente, la proyectivización de este espacio vectorial es Proj de su álgebra simétrica, es decir,

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

En este ejemplo, esto tiene una descripción concreta como

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),}$

donde x e y tienen grado 0 y z y w tienen grado 1.

Sobre los números reales o complejos, la ampliación tiene una descripción topológica como la suma conexa . Supóngase que P es el origen en A ² ⊆ P ² , y escribimos L para la recta en el infinito. A ² \ {0} tiene una función de inversión t que envía ( x , y ) a ( x /(| x | ² + | y ​​| ² ), y /(| x | ² + | y ​​| ² )). t es la inversión del círculo con respecto a la esfera unitaria S : fija S , conserva cada recta que pasa por el origen e intercambia el interior de la esfera con el exterior. t se extiende a una función continua P ² \ {0} → A ² enviando la recta en el infinito al origen. Esta extensión, que también denotamos t , puede usarse para construir la ampliación. Sea C el complemento de la bola unitaria. La ampliación X es la variedad obtenida al unir dos copias de C a lo largo de S . X tiene una función π sobre P ² , que es la identidad en la primera copia de C y t sobre la segunda copia de C . Esta función es un isomorfismo que se aleja de P , y la fibra sobre P es la línea en el infinito en la segunda copia de C . Cada punto de esta línea corresponde a una línea única que pasa por el origen, por lo que la fibra sobre π corresponde a las posibles direcciones normales que pasan por el origen. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}}$

Para CP ^2, este proceso debería producir una variedad orientada. Para que esto suceda, las dos copias de C deberían tener orientaciones opuestas. En símbolos, X es , donde es CP ² con la orientación opuesta a la estándar. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$

Explosión de puntos en un espacio complejo

Sea Z el origen en el espacio complejo de n dimensiones , C ⁿ . Es decir, Z es el punto donde las n funciones de coordenadas se anulan simultáneamente. Sea P ^{n - 1} un espacio proyectivo complejo de ( n - 1) dimensiones con coordenadas homogéneas . Sea el subconjunto de C ⁿ × P ^{n - 1} que satisface simultáneamente las ecuaciones para i, j = 1, ..., n . La proyección ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$ ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

${\displaystyle \pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}$

induce naturalmente un mapa holomórfico

${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.}$

Este mapa π (o, a menudo, el espacio ) se llama explosión (escrito de diversas formas, blow up o blowup ) de C ⁿ . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

El divisor excepcional E se define como la imagen inversa del lugar geométrico de explosión Z bajo π. Es fácil ver que

${\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}$

es una copia del espacio proyectivo. Es un divisor efectivo . Lejos de E , π es un isomorfismo entre y C ⁿ \ Z ; es una función biracional entre y C ⁿ . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

Si en cambio consideramos la proyección holomorfa

${\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}}$

obtenemos el fibrado lineal tautológico de y podemos identificar el divisor excepcional con su sección cero, es decir que asigna a cada punto el elemento cero en la fibra sobre . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {0} _{p}}$ ${\displaystyle p}$

Explosión de subvariedades en variedades complejas

En términos más generales, se puede ampliar cualquier subvariedad compleja de codimensión k Z de C ⁿ . Supóngase que Z es el lugar geométrico de las ecuaciones , y sean coordenadas homogéneas en P ^{k - 1} . Entonces, la ampliación es el lugar geométrico de las ecuaciones para todas las i y j , en el espacio C ⁿ × P ^{k - 1} . ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

De manera más general, se puede expandir cualquier subvariedad de cualquier variedad compleja X aplicando esta construcción localmente. El efecto es, como antes, reemplazar el lugar geométrico de expansión Z con el divisor excepcional E . En otras palabras, la función de expansión

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

es una aplicación biracional que, lejos de E , induce un isomorfismo y, en E , una fibración localmente trivial con fibra P ^{k - 1} . De hecho, la restricción se ve naturalmente como la proyectivización del fibrado normal de Z en X . ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$

Como E es un divisor liso, su fibrado normal es un fibrado lineal . No es difícil demostrar que E se interseca consigo mismo negativamente. Esto significa que su fibrado normal no posee secciones holomorfas; E es el único complejo liso representativo de su clase de homología en . (Supongamos que E pudiera perturbarse fuera de sí mismo a otra subvariedad compleja en la misma clase. Entonces las dos subvariedades se intersecarían positivamente —como siempre lo hacen las subvariedades complejas— contradiciendo la autointersección negativa de E .) Es por esto que el divisor se llama excepcional. ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Sea V alguna subvariedad de X distinta de Z . Si V es disjunta de Z , entonces esencialmente no se ve afectada por la explosión a lo largo de Z . Sin embargo, si interseca a Z , entonces hay dos análogos distintos de V en la explosión . Uno es la transformada propia (o estricta ) , que es el cierre de ; su fibrado normal en es típicamente diferente del de V en X . El otro es la transformada total , que incorpora parte o la totalidad de E ; es esencialmente el pullback de V en cohomología . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Explotando esquemas

Para perseguir la explosión en su mayor generalidad, sea X un esquema y sea un haz coherente de ideales en X. La explosión de X con respecto a es un esquema junto con un morfismo. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$

tal que es un haz invertible , caracterizado por esta propiedad universal : para cualquier morfismo f : Y → X tal que es un haz invertible, f se factoriza únicamente a través de π. ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

tiene esta propiedad; así es como se construye la explosión. Aquí Proj es la construcción Proj sobre haces graduados de anillos conmutativos .

Divisores excepcionales

El divisor excepcional de una explosión es el subesquema definido por la imagen inversa del haz ideal , que a veces se denota . De la definición de la explosión en términos de Proj se deduce que este subesquema E está definido por el haz ideal . Este haz ideal es también el relativo de π. ${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

π es un isomorfismo alejado del divisor excepcional, pero el divisor excepcional no necesita estar en el lugar excepcional de π. Es decir, π puede ser un isomorfismo en E . Esto sucede, por ejemplo, en la situación trivial donde ya es un haz invertible. En particular, en tales casos el morfismo π no determina el divisor excepcional. Otra situación donde el lugar excepcional puede ser estrictamente menor que el divisor excepcional es cuando X tiene singularidades. Por ejemplo, sea X el cono afín sobre P ¹ × P ¹ . X puede darse como el lugar de desaparición de xw − yz en A ⁴ . Los ideales ( x , y ) y ( x , z ) definen dos planos, cada uno de los cuales pasa por el vértice de X . Lejos del vértice, estos planos son hipersuperficies en X , por lo que la explosión es un isomorfismo allí. El lugar excepcional de la explosión de cualquiera de estos planos está, por tanto, centrado sobre el vértice del cono y, en consecuencia, es estrictamente menor que el divisor excepcional. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Más ejemplos

Explosiones de subespacios lineales

Sea un espacio proyectivo n -dimensional. Fijemos un subespacio lineal L de codimensión d . Hay varias formas explícitas de describir la ampliación de a lo largo de L . Supongamos que tiene coordenadas . Después de cambiar las coordenadas, podemos suponer que . La ampliación puede estar incrustada en . Sea coordenadas en el segundo factor. Como L está definido por una secuencia regular, la ampliación está determinada por la desaparición de los menores dos por dos de la matriz Este sistema de ecuaciones es equivalente a afirmar que las dos filas son linealmente dependientes. Un punto está en L si y solo si, cuando sus coordenadas se sustituyen en la primera fila de la matriz anterior, esa fila es cero. En este caso, no hay condiciones en Q . Sin embargo, si esa fila no es cero, entonces la dependencia lineal implica que la segunda fila es un múltiplo escalar de la primera y, por lo tanto, que hay un único punto tal que está en la ampliación. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle L=\{X_{n-d+1}=\dots =X_{n}=0\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle Y_{0},\dots ,Y_{n-d}}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle P\in \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Q\in \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle (P,Q)}$

A esta ampliación también se le puede dar una descripción sintética como la correspondencia de incidencia donde denota el Grassmanniano de subespacios -dimensionales en . Para ver la relación con la coordinatización anterior, observe que el conjunto de todos los que contienen a L es isomorfo a un espacio proyectivo . Esto se debe a que cada subespacio M es la unión lineal de L y un punto Q que no está en L , y dos puntos Q y Q' determinan el mismo M si y solo si tienen la misma imagen bajo la proyección de lejos de L . Por lo tanto, el Grassmanniano puede reemplazarse por una copia de . Cuando , solo hay un subespacio M que contiene a P , la unión lineal de P y L . En las coordenadas anteriores, este es el caso donde no es el vector cero. El caso corresponde a ser el vector cero, y en este caso, se permite cualquier Q , es decir, es posible cualquier M que contenga a L. $${\displaystyle \{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),}$$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ ${\displaystyle (n-d+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle P\not \in L}$ ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$ ${\displaystyle P\in L}$ ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$

Explosión de intersecciones de curvas esquema-teóricamente

Sean polinomios homogéneos genéricos de grado (es decir, sus variedades proyectivas asociadas se intersecan en puntos según el teorema de Bézout ). El siguiente morfismo proyectivo de esquemas proporciona un modelo de explosión en puntos: Observar las fibras explica por qué esto es cierto: si tomamos un punto , entonces el diagrama de pullback nos dice que la fibra es un punto siempre que o y la fibra es si . ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle f(p)\neq 0}$ ${\displaystyle g(p)\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle f(p)=g(p)=0}$

Construcciones relacionadas

En la ampliación de C ⁿ descrita anteriormente, no había nada esencial en el uso de números complejos; las ampliaciones se pueden realizar sobre cualquier cuerpo . Por ejemplo, la ampliación real de R ² en el origen da como resultado la banda de Möbius ; correspondientemente, la ampliación de la biesfera S ² da como resultado el plano proyectivo real .

La deformación del cono normal es una técnica de ampliación que se utiliza para demostrar muchos resultados en geometría algebraica. Dado un esquema X y un subesquema cerrado V , se amplía

${\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}$

Entonces

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }$

es una fibración. La fibra general es naturalmente isomorfa a X , mientras que la fibra central es una unión de dos esquemas: uno es la expansión de X a lo largo de V , y el otro es el cono normal de V con sus fibras completadas a espacios proyectivos.

Las explosiones también pueden realizarse en la categoría simpléctica, dotando a la variedad simpléctica de una estructura casi compleja compatible y procediendo con una explosión compleja. Esto tiene sentido en un nivel puramente topológico; sin embargo, dotar a la explosión de una forma simpléctica requiere cierto cuidado, porque no se puede extender arbitrariamente la forma simpléctica a través del divisor excepcional E . Se debe alterar la forma simpléctica en un entorno de E , o realizar la explosión cortando un entorno de Z y colapsando el límite de una manera bien definida. Esto se entiende mejor utilizando el formalismo de corte simpléctico , del cual la explosión simpléctica es un caso especial. El corte simpléctico, junto con la operación inversa de suma simpléctica , es el análogo simpléctico de la deformación al cono normal a lo largo de un divisor suave.

Véase también

• Punto infinitamente cercano
• Resolución de singularidades

Referencias

• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (1998). Introducción a la topología simpléctica . Oxford University Press. ISBN 0-19-850451-9.