Fórmula de Euler-Maclaurin

Fórmula de suma

En matemáticas , la fórmula de Euler-Maclaurin es una fórmula para la diferencia entre una integral y una suma estrechamente relacionada . Se puede utilizar para aproximar integrales mediante sumas finitas o, a la inversa, para evaluar sumas finitas y series infinitas utilizando integrales y la maquinaria del cálculo . Por ejemplo, muchas expansiones asintóticas se derivan de la fórmula, y la fórmula de Faulhaber para la suma de potencias es una consecuencia inmediata.

La fórmula fue descubierta independientemente por Leonhard Euler y Colin Maclaurin alrededor de 1735. Euler la necesitaba para calcular series infinitas de convergencia lenta, mientras que Maclaurin la utilizaba para calcular integrales. Más tarde se generalizó a la fórmula de Darboux .

La fórmula

Si m y n son números naturales y f ( x ) es una función continua de valor real o complejo para números reales x en el intervalo [ m , n ] , entonces la integral puede aproximarse por la suma (o viceversa) (véase el método del rectángulo ). La fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresiones para la diferencia entre la suma y la integral en términos de las derivadas superiores f ^{( k )} ( x ) evaluadas en los puntos finales del intervalo, es decir x = m y x = n . $${\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}$$ $${\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}$$

Explícitamente, para p un entero positivo y una función f ( x ) que es p veces continuamente diferenciable en el intervalo [ m , n ] , tenemos donde B _k es el k- ésimo número de Bernoulli (con B ₁ = ⁠ $${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},}$$1/2⁠ ) ​​y R _p es un término de error que depende de n , m , p y f y suele ser pequeño para valores adecuados de p .

La fórmula se escribe a menudo con el subíndice tomando solo valores pares, ya que los números de Bernoulli impares son cero excepto B ₁ . En este caso tenemos ^{[1] [2]} o alternativamente $${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},}$$ $${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}.}$$

El término restante

El término restante surge porque la integral no suele ser exactamente igual a la suma. La fórmula se puede derivar aplicando integraciones repetidas por partes a intervalos sucesivos [ r , r + 1] para r = m , m + 1, …, n − 1 . Los términos de contorno en estas integraciones conducen a los términos principales de la fórmula, y las integrales sobrantes forman el término restante.

El término restante tiene una expresión exacta en términos de las funciones de Bernoulli periodizadas P _k ( x ) . Los polinomios de Bernoulli se pueden definir recursivamente por B ₀ ( x ) = 1 y, para k ≥ 1 , Las funciones de Bernoulli periodizadas se definen como donde ⌊ x ⌋ denota el entero más grande menor o igual a x , de modo que x − ⌊ x ⌋ siempre se encuentra en el intervalo [0,1) . $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},}$$

Con esta notación, el término restante R _p es igual a $${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$$

Cuando k > 0 , se puede demostrar que para 0 ≤ x ≤ 1 , donde ζ denota la función zeta de Riemann ; un enfoque para demostrar esta desigualdad es obtener la serie de Fourier para los polinomios B _k ( x ) . La cota se logra para k par cuando x es cero. El término ζ ( k ) se puede omitir para k impar pero la demostración en este caso es más compleja (véase Lehmer). ^[3] Utilizando esta desigualdad, el tamaño del término restante se puede estimar como $${\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}$$ $${\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}$$

Casos de orden bajo

Los números de Bernoulli de B ₁ a B ₇ son ⁠1/2⁠ , ⁠1/6⁠ , 0, − ⁠1/30⁠ , 0, ⁠1/42⁠ , 0 . Por lo tanto, los casos de orden inferior de la fórmula de Euler-Maclaurin son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$$

Aplicaciones

El problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en determinar la suma $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Euler calculó esta suma con 20 decimales con solo unos pocos términos de la fórmula de Euler-Maclaurin en 1735. Esto probablemente lo convenció de que la suma es igual a ⁠π2^​/6⁠ , lo cual demostró en el mismo año. ^[4]

Sumas que involucran un polinomio

Si f es un polinomio y p es suficientemente grande, entonces el término restante se anula. Por ejemplo, si f ( x ) = x ³ , podemos elegir p = 2 para obtener, después de la simplificación, $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$$

Aproximación de integrales

La fórmula proporciona un medio para aproximar una integral finita. Sean a < b los puntos finales del intervalo de integración. Fije N , la cantidad de puntos a utilizar en la aproximación, y denote el tamaño del paso correspondiente por h = ⁠b - a/N -1⁠ . Sea x _i = a + ( i − 1) h , de modo que x ₁ = a y x _N = b . Entonces: ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}$$

Esto puede verse como una extensión de la regla del trapezoide mediante la inclusión de términos de corrección. Nótese que esta expansión asintótica no suele ser convergente; existe algún p , que depende de f y h , tal que los términos que superan el orden p aumentan rápidamente. Por lo tanto, el término restante generalmente exige una atención minuciosa. ^[5]

La fórmula de Euler-Maclaurin también se utiliza para el análisis detallado de errores en cuadratura numérica . Explica el rendimiento superior de la regla trapezoidal en funciones periódicas suaves y se utiliza en ciertos métodos de extrapolación . La cuadratura de Clenshaw-Curtis es esencialmente un cambio de variables para convertir una integral arbitraria en términos de integrales de funciones periódicas donde el enfoque de Euler-Maclaurin es muy preciso (en ese caso particular, la fórmula de Euler-Maclaurin toma la forma de una transformada de coseno discreta ). Esta técnica se conoce como transformación de periodización.

Expansión asintótica de sumas

En el contexto del cálculo de expansiones asintóticas de sumas y series , normalmente la forma más útil de la fórmula de Euler-Maclaurin es $${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$$

donde a y b son números enteros. ^[6] A menudo, la expansión sigue siendo válida incluso después de tomar los límites a → −∞ o b → +∞ o ambos. En muchos casos, la integral del lado derecho se puede evaluar en forma cerrada en términos de funciones elementales , aunque la suma del lado izquierdo no pueda. Entonces, todos los términos de la serie asintótica se pueden expresar en términos de funciones elementales. Por ejemplo, $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$$

Aquí el lado izquierdo es igual a ψ ⁽¹⁾ ( z ) , es decir, la función poligamma de primer orden definida por

${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z);}$

La función gamma Γ( z ) es igual a ( z − 1)! cuando z es un entero positivo . Esto da como resultado una expansión asintótica para ψ ⁽¹⁾ ( z ) . Esa expansión, a su vez, sirve como punto de partida para una de las derivaciones de estimaciones precisas de error para la aproximación de Stirling de la función factorial .

Ejemplos

Si s es un entero mayor que 1 tenemos: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}$$

Reuniendo las constantes en un valor de la función zeta de Riemann , podemos escribir una expansión asintótica: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}$$

Para s igual a 2 esto se simplifica a o $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}$$

Cuando s = 1 , la técnica correspondiente da una expansión asintótica para los números armónicos : donde γ ≈ 0,5772... es la constante de Euler-Mascheroni . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}$$

Pruebas

Derivación por inducción matemática

Esbozamos el argumento dado en Apostol. ^[1]

Los polinomios de Bernoulli B _n ( x ) y las funciones periódicas de Bernoulli P _n ( x ) para n = 0, 1, 2, ... se introdujeron anteriormente.

Los primeros polinomios de Bernoulli son $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Los valores B _n (1) son los números de Bernoulli B _n . Nótese que para n ≠ 1 tenemos y para n = 1 , $${\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}$$ $${\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}$$

Las funciones P _n concuerdan con los polinomios de Bernoulli en el intervalo [0, 1] y son periódicas con periodo 1. Además, excepto cuando n = 1 , también son continuas. Por lo tanto, $${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}$$

Sea k un número entero y considere la integral donde $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$$

Integrando por partes , obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Usando B ₁ (0) = − ⁠1/2⁠ , B ₁ (1) = ⁠1/2⁠ , y sumando lo anterior desde k = 0 hasta k = n − 1 , obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Añadiendo ⁠f ( n )−f ( 0)/2⁠ a ambos lados y reordenando, tenemos $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$$

Este es el caso p = 1 de la fórmula de suma. Para continuar con la inducción, aplicamos la integración por partes al término de error: donde $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$$

El resultado de integrar por partes es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Sumando desde k = 0 hasta k = n − 1 y sustituyendo esto por el término de error de orden inferior se obtiene el caso p = 2 de la fórmula, $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$$

Este proceso puede iterarse. De esta manera obtenemos una prueba de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin que puede formalizarse por inducción matemática , en la que el paso de inducción se basa en la integración por partes y en identidades para funciones de Bernoulli periódicas.

Véase también

• Resumen de Cesáro
• Suma de Euler
• Fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod
• La fórmula de Darboux
• Suma de Euler-Boole

Referencias

1. Apostol, TM (1 de mayo de 1999). "Una visión elemental de la fórmula de suma de Euler". The American Mathematical Monthly . 106 (5). Asociación Matemática de América: 409–418. doi :10.2307/2589145. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589145.
2. "Biblioteca digital de funciones matemáticas: sumas y sucesiones". Instituto Nacional de Estándares y Tecnología .
3. Lehmer, DH (1940). "Sobre los máximos y mínimos de los polinomios de Bernoulli". The American Mathematical Monthly . 47 (8): 533–538. doi :10.2307/2303833. JSTOR  2303833.
4. Pengelley, David J. (2007). "Bailes entre lo continuo y lo discreto: la fórmula de suma de Euler". Euler a los 300 años . MAA Spectrum. Washington, DC: Asociación Matemática de América. págs. 169–189. arXiv : 1912.03527 . MR  2349549.
5. Devries, Paul L.; Hasbrun, Javier E. (2011). Un primer curso de física computacional (2.ª ed.). Jones and Bartlett Publishers. pág. 156.
6. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Nueva York: Dover Publications . págs. 16, 806, 886. ISBN 978-0-486-61272-0.

Lectura adicional

• Gould, HW; Squire, William (1963). "La segunda fórmula de Maclaurin y su generalización". Amer. Math. Monthly . 70 (1): 44–52. doi :10.2307/2312783. JSTOR  2312783. MR  0146551.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2002). "Introducción a los números de Bernoulli".
• Martensen, Erich (2005). "Sobre la fórmula generalizada de Euler-Maclaurin". Z. Angew. Matemáticas. Mec . 85 (12): 858–863. Código Bib : 2005ZaMM...85..858M. doi :10.1002/zamm.200410217. SEÑOR  2184846. S2CID  123419717.
• Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol. 97. Págs. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fórmulas de integración Euler-Maclaurin". MundoMatemático .