Estado del clúster

En información cuántica y computación cuántica , un estado de clúster ^[1] es un tipo de estado altamente entrelazado de múltiples qubits . Los estados de clúster se generan en redes de qubits con interacciones de tipo Ising . Un clúster C es un subconjunto conectado de una red d -dimensional, y un estado de clúster es un estado puro de los qubits ubicados en C. Se diferencian de otros tipos de estados entrelazados, como los estados GHZ o los estados W, en que es más difícil eliminar el entrelazamiento cuántico (a través de mediciones proyectivas ) en el caso de los estados de clúster. Otra forma de pensar en los estados de clúster es como una instancia particular de estados de grafo , donde el grafo subyacente es un subconjunto conectado de una red d -dimensional. Los estados de clúster son especialmente útiles en el contexto de la computadora cuántica unidireccional . Para una introducción comprensible al tema, consulte. ^[2]

Formalmente, los estados del clúster son estados que obedecen las ecuaciones de valores propios establecidas: ${\displaystyle |\phi _{\{\kappa \}}\rangle _{C}}$

${\displaystyle K^{(a)}{\left|\phi _{\{\kappa \}}\right\rangle _{C}}=(-1)^{\kappa _{a}}{\left|\phi _{\{\kappa \}}\right\rangle _{C}}}$

¿Dónde están los operadores de correlación? ${\displaystyle K^{(a)}}$

${\displaystyle K^{(a)}=\sigma _{x}^{(a)}\bigotimes _{b\in \mathrm {N} (a)}\sigma _{z}^{(b)}}$

con y siendo matrices de Pauli , que denotan la vecindad de y siendo un conjunto de parámetros binarios que especifican la instancia particular de un estado de clúster. ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle N(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{\kappa _{a}\in \{0,1\}|a\in C\}}$

Ejemplos con qubits

A continuación se muestran algunos ejemplos de estados de clúster unidimensionales ( d = 1), para , donde es el número de cúbits. Tomamos para todos , lo que significa que el estado de clúster es el único estado propio simultáneo que tiene un valor propio correspondiente 1 bajo todos los operadores de correlación. En cada ejemplo se enumera el conjunto de operadores de correlación y el estado de clúster correspondiente. ${\displaystyle n=2,3,4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \kappa _{a}=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{K^{(a)}\}_{a}}$

• ${\displaystyle n=2}$
  ${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z},\ \sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0+\rangle +|1-\rangle )}$
Este es un par EPR (hasta transformaciones locales).

• ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z}I,\ \sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z},\ I\sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+0+\rangle +|-1-\rangle )}$
Este es el estado GHZ (hasta transformaciones locales).

• ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z}II,\ \sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z}I,\ I\sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z},\ II\sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{2}}(|+0+0\rangle +|+0-1\rangle +|-1-0\rangle +|-1+1\rangle )}$.

Este no es un estado GHZ y no se puede convertir a un estado GHZ con operaciones locales .

En todos los ejemplos se utiliza el operador identidad y se omiten los productos tensoriales. Los estados anteriores se pueden obtener a partir del estado de todos los ceros aplicando primero una compuerta Hadamard a cada cúbit y luego una compuerta Z controlada entre todos los cúbits adyacentes entre sí. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle |0\ldots 0\rangle }$

Creación experimental de estados de cluster

Los estados de cúmulos se pueden lograr experimentalmente. Una forma de crear un estado de cúmulos es codificando cúbits lógicos en la polarización de fotones. Una codificación común es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{cases}|0\rangle _{\rm {L}}\longleftrightarrow |{\rm {H\rangle }}\\|1\rangle _{\rm {L}}\longleftrightarrow |{\rm {V\rangle }}\end{cases}}}$

Esta no es la única codificación posible, pero es una de las más simples: con esta codificación se pueden crear pares entrelazados experimentalmente a través de una conversión descendente paramétrica espontánea . ^{[3] [4]} Los pares entrelazados que se pueden generar de esta manera tienen la forma

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|{\rm {H\rangle |{\rm {H\rangle +e^{i\phi }|{\rm {V\rangle |{\rm {V\rangle {\big )}}}}}}}}}}$

equivalente al estado lógico

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle |0\rangle +e^{i\phi }|1\rangle |1\rangle {\big )}}$

Para las dos opciones de fase se obtienen los dos estados de Bell : estos son en sí dos ejemplos de estados de cúmulos de dos qubits. Mediante el uso de dispositivos ópticos lineales como divisores de haz o placas de onda, estos estados de Bell pueden interactuar y formar estados de cúmulos más complejos. ^[5] Los estados de cúmulos también se han creado en redes ópticas de átomos fríos . ^[6] ${\displaystyle \phi =0,\pi }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ,|\Phi ^{-}\rangle }$

Criterios de entrelazamiento y desigualdades de Bell para estados de cúmulos

Después de crear un estado de cúmulo en un experimento, es importante verificar que, efectivamente, se haya creado un estado cuántico entrelazado. La fidelidad con respecto al estado de cúmulo de -qubits se da por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |C_{N}\rangle }$

${\displaystyle F_{CN}={\rm {Tr}}(\rho |C_{N}\rangle \langle C_{N}|),}$

Se ha demostrado que si , entonces el estado tiene un entrelazamiento multipartícula genuino. ^[7] Por lo tanto, se puede obtener un testigo de entrelazamiento que detecte el entrelazamiento cerca de los estados del grupo como ${\displaystyle F_{CN}>1/2}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle W_{CN}={\frac {1}{2}}{\rm {Identity}}-|C_{N}\rangle \langle C_{N}|.}$

donde se señala un genuino entrelazamiento de múltiples partículas. ${\displaystyle \langle W_{CN}\rangle <0}$

Este tipo de testigo no se puede medir directamente, sino que se debe descomponer en una suma de términos de correlación que luego se pueden medir. Sin embargo, para sistemas grandes, este enfoque puede resultar difícil.

También hay testigos de entrelazamiento que funcionan en sistemas muy grandes y que también detectan entrelazamiento multipartito genuino cerca de estados de cúmulos. Solo necesitan los dos ajustes de medición locales mínimos. ^[7] También se pueden utilizar condiciones similares para poner un límite inferior a la fidelidad con respecto a un estado de cúmulo ideal. ^[8] Estos criterios se han utilizado por primera vez en un experimento para realizar estados de cúmulos de cuatro cúbits con fotones. ^[4] Estos enfoques también se han utilizado para proponer métodos para detectar entrelazamiento en una parte más pequeña de un estado de cúmulo grande o un estado de grafo realizado en redes ópticas. ^[9]

También se han desarrollado desigualdades de Bell para estados de clúster. ^{[10] [11] [12]} Todas estas condiciones de entrelazamiento y desigualdades de Bell se basan en el formalismo estabilizador. ^[13]

Véase también

• Estado de campana
• Estado del gráfico
• Estado del grupo óptico

Referencias

1. HJ Briegel; R. Raussendorf (2001). "Entrelazamiento persistente en matrices de partículas interactuantes". Physical Review Letters . 86 (5): 910–3. arXiv : quant-ph/0004051 . Código Bibliográfico :2001PhRvL..86..910B. doi :10.1103/PhysRevLett.86.910. PMID  11177971. S2CID  21762622.
2. Briegel, Hans J. (12 de agosto de 2009). "Estados del grupo". En Greenberger, Daniel; Hentschel, Klaus y Weinert, Friedel (eds.). Compendio de Física Cuántica - Conceptos, Experimentos, Historia y Filosofía . Saltador. págs. 96-105. ISBN 978-3-540-70622-9.
3. P. Walther, KJ Resch, T. Rudolph, E. Schenck, H. Weinfurter, V. Vedral, M. Aspelmeyer y A. Zeilinger (2005). "Computación cuántica unidireccional experimental". Nature . 434 (7030): 169–76. arXiv : quant-ph/0503126 . Código Bibliográfico :2005Natur.434..169W. doi :10.1038/nature03347. PMID  15758991. S2CID  119329998.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. N. Kiesel; C. Schmid; U. Weber; G. Tóth; O. Gühne; R. Ursin; H. Weinfurter (2005). "Análisis experimental de un estado de clúster de 4 cúbits". Phys. Rev. Lett . 95 (21): 210502. arXiv : quant-ph/0508128 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..95u0502K. doi :10.1103/PhysRevLett.95.210502. PMID  16384122. S2CID  5322108.
5. Zhang, An-Ning; Lu, Chao-Yang; Zhou, Xiao-Qi; Chen, Yu-Ao; Zhao, Zhi; Yang, Tao; Pan, Jian-Wei (17 de febrero de 2006). "Construcción experimental de estados de cúmulos multiqubit ópticos a partir de estados de Bell". Physical Review A . 73 (2): 022330. arXiv : quant-ph/0501036 . Código Bibliográfico :2006PhRvA..73b2330Z. doi :10.1103/PhysRevA.73.022330. ISSN  1050-2947. S2CID  118882320.
6. O. Mandel; M. Greiner; A. Widera; T. Rom; T. W. Hänsch; I. Bloch (2003). "Colisiones controladas para el entrelazamiento de múltiples partículas de átomos atrapados ópticamente". Nature . 425 (6961): 937–940. arXiv : quant-ph/0308080 . Bibcode :2003Natur.425..937M. doi :10.1038/nature02008. PMID  14586463. S2CID  4408587.
7. Tóth, Géza; Gühne, Otfried (17 de febrero de 2005). "Detección de entrelazamiento multipartito genuino con dos mediciones locales". Physical Review Letters . 94 (6): 060501. arXiv : quant-ph/0405165 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..94f0501T. doi :10.1103/PhysRevLett.94.060501. PMID  15783712. S2CID  13371901.
8. Tóth, Géza; Gühne, Otfried (29 de agosto de 2005). "Detección de entrelazamiento en el formalismo estabilizador". Physical Review A . 72 (2): 022340. arXiv : quant-ph/0501020 . Código Bibliográfico :2005PhRvA..72b2340T. doi :10.1103/PhysRevA.72.022340. S2CID  56269409.
9. Alba, Emilio; Tóth, Géza; García-Ripoll, Juan José (21 de diciembre de 2010). "Mapeo de la distribución espacial del entrelazamiento en redes ópticas". Revisión física A. 82 (6). arXiv : 1007.0985 . doi : 10.1103/PhysRevA.82.062321.
10. Scarani, Valerio; Acín, Antonio; Schenck, Emmanuel; Aspelmeyer, Markus (18 de abril de 2005). "No localidad de estados de cúbits en grupos". Physical Review A . 71 (4): 042325. arXiv : quant-ph/0405119 . Bibcode :2005PhRvA..71d2325S. doi :10.1103/PhysRevA.71.042325. S2CID  4805039.
11. Gühne, Otfried; Tóth, Géza; Hyllus, Philipp; Briegel, Hans J. (14 de septiembre de 2005). "Inecuaciones de Bell para estados de grafos". Physical Review Letters . 95 (12): 120405. arXiv : quant-ph/0410059 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..95l0405G. doi :10.1103/PhysRevLett.95.120405. PMID  16197057. S2CID  5973814.
12. Tóth, Géza; Gühne, Otfried; Briegel, Hans J. (2 de febrero de 2006). "Inecuaciones de Bell de dos configuraciones para estados de grafos". Physical Review A . 73 (2): 022303. arXiv : quant-ph/0510007 . Código Bibliográfico :2006PhRvA..73b2303T. doi :10.1103/PhysRevA.73.022303. S2CID  108291031.
13. Gottesman, Daniel (1 de septiembre de 1996). "Clase de códigos de corrección de errores cuánticos que saturan el límite cuántico de Hamming". Physical Review A . 54 (3): 1862–1868. arXiv : quant-ph/9604038 . Código Bibliográfico :1996PhRvA..54.1862G. doi :10.1103/PhysRevA.54.1862. PMID  9913672. S2CID  16407184.