Estado del grupo óptico

Los estados de cúmulos ópticos son una herramienta propuesta para lograr la universalidad computacional cuántica en la computación cuántica óptica lineal (LOQC). ^[1] Como las operaciones de entrelazamiento directo con fotones a menudo requieren efectos no lineales , se ha propuesto la generación probabilística de estados de recursos entrelazados como un camino alternativo al enfoque directo.

Creación del estado del clúster

En un chip fotónico de silicio , una de las plataformas más comunes para implementar LOQC, existen dos opciones típicas para codificar información cuántica , aunque existen muchas más opciones. ^[2] Los fotones tienen grados de libertad útiles en los modos espaciales de las posibles trayectorias de los fotones o en la polarización de los fotones mismos. La forma en que se genera un estado de clúster varía según la codificación que se haya elegido para la implementación.

El almacenamiento de información en los modos espaciales de las trayectorias de los fotones se suele denominar codificación de doble carril. En un caso sencillo, se podría considerar la situación en la que un fotón tiene dos trayectorias posibles, una trayectoria horizontal con operador de creación y una trayectoria vertical con operador de creación , donde los estados lógicos cero y uno se representan entonces mediante ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle b^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|0_{a},0_{b}\rangle =|1_{a},0_{b}\rangle =|0\rangle _{L}}$

y

${\displaystyle b^{\dagger }|0_{a},0_{b}\rangle =|0_{a},1_{b}\rangle =|1\rangle _{L}}$.

Las operaciones de un solo cúbit se realizan entonces mediante divisores de haz , que permiten la manipulación de los pesos de superposición relativos de los modos, y desfasadores, que permiten la manipulación de las fases relativas de los dos modos. Este tipo de codificación se presta al protocolo de Nielsen para generar estados de clúster. En la codificación con polarización de fotones , el cero y el uno lógicos se pueden codificar a través de los estados horizontales y verticales de un fotón, p. ej.

${\displaystyle |H\rangle =|0\rangle _{L}}$

y

${\displaystyle |V\rangle =|1\rangle _{L}}$.

Con esta codificación, se pueden realizar operaciones de un solo cúbit utilizando placas de onda . Esta codificación se puede utilizar con el protocolo Browne-Rudolph.

Protocolo Nielsen

En 2004, Nielsen propuso un protocolo para crear estados de clúster, ^[3] tomando prestadas técnicas del protocolo Knill-Laflamme-Milburn (protocolo KLM) para crear de manera probabilística conexiones Z controladas entre cúbits que, cuando se realizan en un par de estados (ignorando la normalización), forman la base para los estados de clúster. Mientras que el protocolo KLM requiere corrección de errores y una cantidad bastante grande de modos para obtener una puerta de dos cúbits de probabilidad muy alta, el protocolo de Nielsen solo requiere una probabilidad de éxito por puerta mayor a la mitad. Dado que la probabilidad de éxito para una conexión que utiliza fotones ancillarios es , la relajación de la probabilidad de éxito de casi uno a algo más de la mitad presenta una ventaja importante en recursos, así como simplemente reduce la cantidad de elementos requeridos en el circuito fotónico. ${\displaystyle |+\rangle =|0\rangle +|1\rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}/(n+1)^{2}}$

Para ver cómo Nielsen logró esta mejora, considere los fotones que se generan para los cúbits como vértices en una cuadrícula bidimensional y las operaciones Z controladas como aristas agregadas de manera probabilística entre los vecinos más cercanos. Usando los resultados de la teoría de la percolación , se puede demostrar que mientras la probabilidad de agregar aristas sea superior a un cierto umbral, existirá una cuadrícula completa como un subgrafo con una probabilidad cercana a la unidad. Debido a esto, el protocolo de Nielsen no depende de que cada conexión individual sea exitosa, solo de una cantidad suficiente de ellas para que las conexiones entre fotones permitan una cuadrícula.

Protocolo Yoran-Reznik

Entre las primeras propuestas de utilización de estados de recursos para la computación cuántica óptica se encontraba el protocolo Yoran-Reznik en 2003. ^[4] Si bien el recurso propuesto en este protocolo no era exactamente un estado de clúster, atrajo muchos de los mismos conceptos clave a la atención de quienes consideraban las posibilidades de la computación cuántica óptica y aún requería conectar múltiples cadenas unidimensionales separadas de fotones entrelazados a través de operaciones Z controladas. Este protocolo es algo único en el sentido de que utiliza tanto el grado de libertad del modo espacial junto con el grado de libertad de polarización para ayudar al entrelazamiento entre qubits.

Dado un camino horizontal, denotado por , y un camino vertical, denotado por , un divisor de haz 50:50 que conecta los caminos seguido por un desfasador en el camino , podemos realizar las transformaciones ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle |H,a\rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H,b\rangle +|V,a\rangle )}$

${\displaystyle |V,a\rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H,a\rangle -|V,b\rangle )}$

${\displaystyle |H,b\rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H,b\rangle -|V,a\rangle )}$

${\displaystyle |V,b\rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H,a\rangle +|V,b\rangle )}$

donde denota un fotón con polarización en la trayectoria . De esta manera, tenemos la trayectoria del fotón entrelazada con su polarización. Esto a veces se conoce como hiperentrelazamiento, una situación en la que los grados de libertad de una sola partícula están entrelazados entre sí. Esto, junto con el efecto Hong-Ou-Mandel y las mediciones proyectivas en el estado de polarización, se puede utilizar para crear un entrelazamiento de trayectorias entre fotones en una cadena lineal. ${\displaystyle |\lambda ,k\rangle }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

Estas cadenas unidimensionales de fotones entrelazados aún necesitan ser conectadas a través de operaciones Z controladas, similares al protocolo KLM. Estas conexiones Z controladas entre cadenas aún son probabilísticas, y dependen de la teletransportación dependiente de la medición con estados de recursos especiales. Sin embargo, debido al hecho de que este método no incluye mediciones de Fock en los fotones que se utilizan para el cálculo como lo hace el protocolo KLM, la naturaleza probabilística de la implementación de operaciones Z controladas presenta un problema mucho menor. De hecho, siempre que las conexiones ocurran con una probabilidad mayor que la mitad, el entrelazamiento presente entre cadenas será suficiente para realizar un cálculo cuántico útil, en promedio.

Protocolo Browne-Rudolph

Un enfoque alternativo para construir estados de cúmulos que se centra completamente en la polarización de fotones es el protocolo Browne-Rudolph. ^[5] Este método se basa en realizar comprobaciones de paridad en un par de fotones para unir conjuntos de fotones ya entrelazados, lo que significa que este protocolo requiere fuentes de fotones entrelazadas. Browne y Rudolph propusieron dos formas de hacerlo, llamadas fusión de tipo I y tipo II.

Fusión de tipo I

En la fusión de tipo I, los fotones con polarización vertical u horizontal se inyectan en los modos y , conectados por un divisor de haz polarizador. Cada uno de los fotones enviados a este sistema es parte de un par de Bell que este método intentará entrelazar. Al pasar por el divisor de haz polarizador, los dos fotones irán en direcciones opuestas si tienen la misma polarización o en la misma dirección si tienen la polarización opuesta, por ejemplo ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle |H_{a},H_{b}\rangle \rightarrow |H_{a},H_{b}\rangle }$

o

${\displaystyle |H_{a},V_{b}\rangle \rightarrow |H_{a}V_{a},0_{b}\rangle }$

Luego, en uno de estos modos, se realiza una medición proyectiva sobre la base . Si la medición es exitosa, es decir, si detecta algo, entonces el fotón detectado se destruye, pero los fotones restantes de los pares de Bell se enredan. Si no se detecta nada, se produce una pérdida efectiva de los fotones involucrados de una manera que rompe cualquier cadena de fotones entrelazados en la que estuvieran. Esto puede hacer que intentar hacer conexiones entre cadenas ya desarrolladas sea potencialmente riesgoso. ${\displaystyle |H\rangle \pm |V\rangle }$

Fusión de tipo II

La fusión de tipo II funciona de manera similar a la fusión de tipo I, con las diferencias de que se utiliza un divisor de haz polarizador diagonal y el par de fotones se mide en la base de Bell de dos cúbits . Una medición exitosa aquí implica medir el par para que esté en un estado de Bell sin fase relativa entre la superposición de estados (por ejemplo, en lugar de ). Esto nuevamente entrelaza dos grupos ya formados. Una falla aquí realiza una complementación local en el subgrafo local, haciendo que una cadena existente sea más corta en lugar de cortarla a la mitad. De esta manera, si bien requiere el uso de más cúbits para combinar recursos entrelazados, la pérdida potencial por los intentos de conectar dos cadenas entre sí no es tan costosa para la fusión de tipo II como lo es para la fusión de tipo I. ${\displaystyle |H,H\rangle +|V,V\rangle }$ ${\displaystyle |H,H\rangle -|V,V\rangle }$

Computación con estados de clúster

Una vez que se ha generado correctamente un estado de clúster, se pueden realizar cálculos con el estado del recurso directamente aplicando mediciones a los cúbits en la red. Este es el modelo de computación cuántica basada en mediciones (MQC) y es equivalente al modelo de circuito .

Las operaciones lógicas en MQC surgen de los operadores de subproducto que ocurren durante la teletransportación cuántica . Por ejemplo, dado un solo estado de cúbit , se puede conectar este cúbit a un estado positivo a través de una operación Z controlada de dos cúbits. Luego, al medir el primer cúbit (el original ) en la base Pauli-X, el estado original del primer cúbit se teletransporta al segundo cúbit con una rotación adicional que depende del resultado de la medición, que se puede ver a partir del producto interno parcial de la medición que actúa sobre el estado de dos cúbits: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |+\rangle =|0\rangle +|1\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle (\left\langle +\right|Z^{m}\otimes I)CZ(\left|\psi \right\rangle \otimes \left|+\right\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}HZ^{m}\left|\psi \right\rangle }$.

para denotar el resultado de la medición como el estado propio de Pauli-X para o el estado propio para . Un estado de dos qubits conectado por un par de operaciones Z controladas al estado produce una operación de dos qubits en el estado teletransportado después de medir los qubits originales: ${\displaystyle m=0,1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle CZ|+\rangle ^{\otimes 2}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle (\langle +|Z^{m_{1}}\otimes \langle +|Z^{m_{2}}\otimes I)CZ_{1,3}CZ_{2,4}(|\phi \rangle \otimes CZ|+\rangle ^{\otimes 2})={\frac {1}{2}}CZ(HZ^{m_{1}}\otimes HZ^{m_{2}})|\phi \rangle }$.

para los resultados de las mediciones y . Este concepto básico se extiende a una cantidad arbitraria de qubits y, por lo tanto, el cálculo lo realizan los operadores de subproducto de la teletransportación a lo largo de una cadena. Ajustar las puertas de un solo qubit deseadas es simplemente una cuestión de ajustar la base de medición en cada qubit, y las mediciones no Pauli son necesarias para la computación cuántica universal. ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

Implementaciones experimentales

Codificación espacial

La mezcla de cuatro ondas puede considerarse como la absorción y emisión por pares de fotones por parte de los electrones en un material.

En los últimos años, se han generado estados de dos cúbits entrelazados en laboratorios sobre chips fotónicos de silicio, lo que ha supuesto un avance importante en la generación de estados de cúmulos ópticos. Entre los métodos para lograrlo, se ha demostrado experimentalmente que se puede utilizar la mezcla espontánea de cuatro ondas con el uso adecuado de resonadores de microring y otras guías de ondas para el filtrado a fin de generar en el chip estados de Bell de dos fotones, que son equivalentes a estados de cúmulos de dos cúbits hasta operaciones unitarias locales.

Para ello, se inyecta un pulso láser corto en una guía de ondas integrada en el chip que se divide en dos caminos. Esto obliga al pulso a realizar una superposición de las posibles direcciones que podría tomar. Los dos caminos están acoplados a resonadores de microring que permiten la circulación del pulso láser hasta que se produce una mezcla espontánea de cuatro ondas, tomando dos fotones del pulso láser y convirtiéndolos en un par de fotones, llamados señal e inactivo , con diferentes frecuencias de una manera que conserva la energía. Para evitar la generación de múltiples pares de fotones a la vez, el procedimiento aprovecha la conservación de la energía y garantiza que solo haya suficiente energía en el pulso láser para crear un solo par de fotones. Debido a esta restricción, la mezcla espontánea de cuatro ondas solo puede ocurrir en uno de los resonadores de microring a la vez, lo que significa que la superposición de caminos que podría tomar el pulso láser se convierte en una superposición de caminos en los que podrían estar los dos fotones. Matemáticamente, si denota el pulso láser, las trayectorias se etiquetan como y , el proceso se puede escribir como ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\alpha _{a}\rangle +|\alpha _{b}\rangle )\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{s,a},0_{s,b},1_{i,a},0_{i,b}\rangle +|0_{s,a},1_{s,b},0_{i,a},1_{i,b}\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle _{L}+|11\rangle _{L})}$

donde es la representación de la presencia de un fotón en la trayectoria . Al estar los dos fotones en este tipo de superposición, están entrelazados, lo que se puede verificar mediante pruebas de desigualdades de Bell. ${\displaystyle |n_{x,y}\rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Codificación de polarización

También se han producido pares de fotones entrelazados por polarización en chip. ^[6] La configuración implica una guía de ondas de cable de silicio que se divide a la mitad mediante un rotador de polarización . Este proceso, al igual que la generación de entrelazamiento descrita para la codificación de doble carril, hace uso del proceso no lineal de mezcla espontánea de cuatro ondas, que puede ocurrir en el cable de silicio a cada lado del rotador de polarización. Sin embargo, la geometría de estos cables está diseñada de tal manera que se prefiere la polarización horizontal en la conversión de fotones de bombeo láser en fotones de señal y fotones inactivos. Por lo tanto, cuando se genera el par de fotones, ambos fotones deben tener la misma polarización, es decir,

${\displaystyle |\psi \rangle =|H_{s},H_{i}\rangle }$.

El rotador de polarización se diseña entonces con las dimensiones específicas de modo que la polarización horizontal se cambie a polarización vertical. De este modo, todos los pares de fotones generados antes del rotador salen de la guía de ondas con polarización vertical y todos los pares generados en el otro extremo del cable salen de la guía de ondas con polarización horizontal. Matemáticamente, el proceso es, hasta la normalización general,

${\displaystyle |\alpha \rangle \rightarrow |\alpha '\rangle +|H_{s},H_{i}\rangle \rightarrow |\alpha '\rangle +|V_{s},V_{i}\rangle \rightarrow |H_{s},H_{i}\rangle +e^{i\phi }|V_{s},V_{i}\rangle }$.

Suponiendo que un espacio igual en cada lado del rotador hace que la mezcla espontánea de cuatro ondas sea igualmente probable en cada lado, el estado de salida de los fotones está máximamente entrelazado:

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H_{s},H_{i}\rangle +e^{i\phi }|V_{s},V_{i}\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle _{L}+e^{i\phi }|11\rangle _{L})}$.

Los estados generados de esta manera podrían usarse potencialmente para construir un estado de clúster utilizando el protocolo Browne-Rudolph.

Referencias

1. Kok, Pieter; Munro, WJ; Nemoto, Kae ; Ralph, TC; Dowling, Jonathan P.; Milburn, GJ (24 de enero de 2007). "Computación cuántica óptica lineal con qubits fotónicos". Reseñas de Física Moderna . 79 (1). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 135–174. arXiv : quant-ph/0512071 . Código Bibliográfico :2007RvMP...79..135K. doi :10.1103/revmodphys.79.135. ISSN  0034-6861. S2CID  119335959.
2. Rudolph, "Por qué soy optimista sobre la ruta de silicio-fotónica hacia la computación cuántica", APL Photonics , 2017.
3. Nielsen, Michael A. (21 de julio de 2004). "Computación cuántica óptica utilizando estados de clúster". Physical Review Letters . 93 (4). American Physical Society (APS): 040503. arXiv : quant-ph/0402005 . Código Bibliográfico :2004PhRvL..93d0503N. doi :10.1103/physrevlett.93.040503. ISSN  0031-9007. PMID  15323741. S2CID  7720448.
4. Kok, Pieter; Munro, WJ; Nemoto, Kae ; Ralph, TC; Dowling, Jonathan P.; Milburn, GJ (24 de enero de 2007). "Computación cuántica óptica lineal con qubits fotónicos". Reseñas de Física Moderna . 79 (1). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 135–174. arXiv : quant-ph/0512071 . Código Bibliográfico :2007RvMP...79..135K. doi :10.1103/revmodphys.79.135. ISSN  0034-6861. S2CID  119335959.
5. Browne, Daniel E.; Rudolph, Terry (27 de junio de 2005). "Computación cuántica óptica lineal con uso eficiente de recursos". Physical Review Letters . 95 (1): 010501. arXiv : quant-ph/0405157 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..95a0501B. doi :10.1103/physrevlett.95.010501. ISSN  0031-9007. PMID  16090595. S2CID  27224760.
6. Matsuda, Nobuyuki; Le Jeannic, Hanna; Fukuda, Hiroshi; Tsuchizawa, Tai; Munro, William John; et al. (12 de noviembre de 2012). "Una fuente de pares de fotones entrelazados con polarización monolíticamente integrada en un chip de silicio". Scientific Reports . 2 (1): 817. arXiv : 1211.2885 . Bibcode :2012NatSR...2E.817M. doi : 10.1038/srep00817 . ISSN  2045-2322. PMC 3495342 . PMID  23150781.