Estado de campana

Estados cuánticos de dos qubits

En la ciencia de la información cuántica , los estados de Bell o pares EPR ^{[1] : 25} son estados cuánticos específicos de dos qubits que representan los ejemplos más simples de entrelazamiento cuántico . Los estados de Bell son una forma de vectores base entrelazados y normalizados . Esta normalización implica que la probabilidad general de que las partículas estén en uno de los estados mencionados es 1: . El entrelazamiento es un resultado independiente de la base de la superposición . ^[2] Debido a esta superposición, la medición del qubit lo "colapsará " en uno de sus estados base con una probabilidad dada. ^[1] Debido al entrelazamiento, la medición de un qubit "colapsará" el otro qubit a un estado cuya medición producirá uno de dos valores posibles, donde el valor depende de en qué estado de Bell se encuentren inicialmente los dos qubits. Los estados de Bell se pueden generalizar a ciertos estados cuánticos de sistemas multi-qubit, como el estado GHZ para tres o más subsistemas. ${\displaystyle \langle \Phi |\Phi \rangle =1}$

La comprensión de los estados de Bell es útil en el análisis de la comunicación cuántica, como la codificación superdensa y la teletransportación cuántica . ^[3] El teorema de no comunicación impide que este comportamiento transmita información más rápido que la velocidad de la luz. ^[1]

Bell afirma

Los estados de Bell son cuatro estados cuánticos específicos de dos cúbits con el máximo entrelazamiento . Están en una superposición de 0 y 1, una combinación lineal de los dos estados. Su entrelazamiento significa lo siguiente:

El qubit que posee Alice (subíndice "A") puede estar en una superposición de 0 y 1. Si Alice midiera su qubit en la base estándar, el resultado sería 0 o 1, cada uno con una probabilidad de 1/2; si Bob (subíndice "B") también midiera su qubit, el resultado sería el mismo que para Alice. Por lo tanto, Alice y Bob aparentemente tendrían un resultado aleatorio. A través de la comunicación descubrirían que, aunque sus resultados por separado parecían aleatorios, estaban perfectamente correlacionados.

Esta correlación perfecta a distancia es especial: tal vez las dos partículas "acordaron" de antemano, cuando se creó el par (antes de que se separaran los qubits), qué resultado mostrarían en caso de una medición.

Por lo tanto, siguiendo a Einstein , Podolsky y Rosen en su famoso " artículo EPR " de 1935, hay algo que falta en la descripción del par de cúbits dada anteriormente, a saber, este "acuerdo", llamado más formalmente una variable oculta . En su famoso artículo de 1964, John S. Bell mostró mediante argumentos simples de teoría de la probabilidad que estas correlaciones (la de la base 0, 1 y la de la base +, −) no pueden perfeccionarse mediante el uso de cualquier "preacuerdo" almacenado en algunas variables ocultas, pero que la mecánica cuántica predice correlaciones perfectas. En una formulación más refinada conocida como la desigualdad Bell-CHSH , se muestra que una cierta medida de correlación no puede exceder el valor 2 si se supone que la física respeta las restricciones de la teoría local de "variables ocultas" (una especie de formulación de sentido común de cómo se transmite la información), pero ciertos sistemas permitidos en la mecánica cuántica pueden alcanzar valores tan altos como . Por tanto, la teoría cuántica viola la desigualdad de Bell y la idea de "variables ocultas" locales. ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

Base de campana

Cuatro estados específicos de dos cúbits con el valor máximo de se denominan "estados de Bell". Se conocen como los cuatro estados de Bell de dos cúbits máximamente entrelazados y forman una base máximamente entrelazada, conocida como la base de Bell, del espacio de Hilbert de cuatro dimensiones para dos cúbits: ^[1] ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (1)}$

${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (2)}$

${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (3)}$

${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (4)}$

Creación de estados de Bell mediante circuitos cuánticos

Circuito cuántico para crear el estado de Bell . ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

Aunque hay muchas formas posibles de crear estados de Bell entrelazados a través de circuitos cuánticos , la más simple toma una base computacional como entrada y contiene una compuerta Hadamard y una compuerta CNOT (ver imagen). Como ejemplo, el circuito cuántico ilustrado toma la entrada de dos qubits y la transforma en el primer estado de Bell. Explícitamente, la compuerta Hadamard se transforma en una superposición de . Esto actuará entonces como una entrada de control para la compuerta CNOT, que solo invierte el objetivo (el segundo qubit) cuando el control (el primer qubit) es 1. Por lo tanto, la compuerta CNOT transforma el segundo qubit de la siguiente manera . ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle .}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle (|0\rangle |0\rangle +|1\rangle |0\rangle ) \over {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {(|00\rangle +|11\rangle )}{\sqrt {2}}}=|\Phi ^{+}\rangle }$

Para las cuatro entradas básicas de dos cúbits, , el circuito genera los cuatro estados de Bell (enumerados anteriormente). De manera más general, el circuito transforma la entrada de acuerdo con la ecuación ${\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle }$

$${\displaystyle |\beta (x,y)\rangle =\left({\frac {|0,y\rangle +(-1)^{x}|1,{\bar {y}}\rangle }{\sqrt {2}}}\right),}$$

donde es la negación de . ^[1] ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle y}$

Propiedades de los estados de Bell

El resultado de una medición de un solo qubit en un estado de Bell es indeterminado, pero al medir el primer qubit en la base z , se garantiza que el resultado de la medición del segundo qubit arrojará el mismo valor (para los estados de Bell) o el valor opuesto (para los estados de Bell). Esto implica que los resultados de la medición están correlacionados. John Bell fue el primero en demostrar que las correlaciones de medición en el estado de Bell son más fuertes de lo que podría existir entre sistemas clásicos. Esto sugiere que la mecánica cuántica permite el procesamiento de información más allá de lo que es posible con la mecánica clásica. Además, los estados de Bell forman una base ortonormal y, por lo tanto, se pueden definir con una medición apropiada. Debido a que los estados de Bell son estados entrelazados, se puede conocer información sobre todo el sistema, mientras que se retiene información sobre los subsistemas individuales. Por ejemplo, el estado de Bell es un estado puro , pero el operador de densidad reducida del primer qubit es un estado mixto . El estado mixto implica que no se conoce toda la información sobre este primer qubit. ^[1] Los estados de Bell son simétricos o antisimétricos con respecto a los subsistemas. ^[2] Los estados de Bell están máximamente entrelazados en el sentido de que sus operadores de densidad reducida están máximamente mezclados, la generalización multipartita de los estados de Bell en este espíritu se denomina estado absolutamente máximamente entrelazado (AME) . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Medición del estado de la campana

La medida de Bell es un concepto importante en la ciencia de la información cuántica : es una medida cuántico-mecánica conjunta de dos qubits que determina en cuál de los cuatro estados de Bell se encuentran los dos qubits.

Circuito cuántico que realiza la decodificación de Bell. Los estados de Bell a veces se denominan pares EPR. Observe que el circuito que decodifica el estado de Bell es el circuito adjunto al circuito que codifica o crea los estados de Bell (descrito anteriormente).

Un ejemplo útil de medición cuántica en la base de Bell se puede ver en la computación cuántica. Si se aplica una compuerta CNOT a los cúbits A y B, seguida de una compuerta Hadamard al cúbit A, se puede realizar una medición en la base computacional. La compuerta CNOT realiza el acto de desenredar los dos cúbits previamente entrelazados. Esto permite convertir la información de información cuántica en una medición de información clásica.

La medición cuántica obedece a dos principios clave. El primero, el principio de medición diferida , establece que cualquier medición puede trasladarse al final del circuito. El segundo principio, el principio de medición implícita, establece que al final de un circuito cuántico, se puede suponer que se ha realizado una medición para cualquier cable sin terminación. ^[1]

Las siguientes son aplicaciones de las mediciones del estado de Bell:

La medición del estado de Bell es el paso crucial en la teletransportación cuántica . El resultado de una medición del estado de Bell es utilizado por el cómplice para reconstruir el estado original de una partícula teletransportada a partir de la mitad de un par entrelazado (el "canal cuántico") que anteriormente se compartía entre los dos extremos.

Los experimentos que utilizan las técnicas denominadas de "evolución lineal, medición local" no pueden realizar una medición completa del estado de Bell. La evolución lineal significa que el aparato de detección actúa sobre cada partícula independientemente del estado o evolución de la otra, y la medición local significa que cada partícula se localiza en un detector particular que registra un "clic" para indicar que se ha detectado una partícula. Dichos dispositivos pueden construirse a partir de, por ejemplo, espejos, divisores de haz y placas de onda, y son atractivos desde una perspectiva experimental porque son fáciles de usar y tienen una gran sección transversal de medición .

En el caso del entrelazamiento en una única variable de cúbit, solo se pueden distinguir tres clases distintas de cuatro estados de Bell utilizando estas técnicas ópticas lineales. Esto significa que no se pueden distinguir dos estados de Bell entre sí, lo que limita la eficiencia de los protocolos de comunicación cuántica, como la teletransportación . Si se mide un estado de Bell a partir de esta clase ambigua, el evento de teletransportación falla.

El entrelazamiento de partículas en múltiples variables de qubit, como (para sistemas fotónicos) la polarización y un subconjunto de dos elementos de estados de momento angular orbital , permite al experimentador rastrear una variable y lograr una medición completa del estado de Bell en la otra. ^[4] El aprovechamiento de los denominados sistemas hiperentrelazados tiene, por tanto, una ventaja para la teletransportación. También tiene ventajas para otros protocolos como la codificación superdensa , en la que el hiperentrelazamiento aumenta la capacidad del canal.

En general, en el caso del hiperentrelazamiento en variables, se pueden distinguir como máximo clases de estados de Bell utilizando técnicas ópticas lineales. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ ${\displaystyle 4^{n}}$

Correlaciones de estados de campana

Las mediciones independientes realizadas en dos qubits que están entrelazados en estados de Bell se correlacionan positivamente de manera perfecta si cada qubit se mide en la base relevante. Para el estado, esto significa seleccionar la misma base para ambos qubits. Si un experimentador decidiera medir ambos qubits en un estado de Bell utilizando la misma base, los qubits aparecerían correlacionados positivamente al medir en la base, anticorrelacionados en la base ^[a] y parcialmente correlacionados (probabilísticamente) en otras bases. ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$

Las correlaciones se pueden entender midiendo ambos cúbits en la misma base y observando resultados perfectamente anticorrelacionados. De manera más general, se pueden entender midiendo el primer cúbit en la base , el segundo cúbit en la base , y observando resultados perfectamente correlacionados positivamente. ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}=X.b_{1}}$

Relación entre las bases correlacionadas de dos qubits en el estado. ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$

Aplicaciones

Codificación superdensa

La codificación superdensa permite que dos personas se comuniquen dos bits de información clásica enviando un solo cúbit. La base de este fenómeno son los estados entrelazados o estados de Bell de un sistema de dos cúbits. En este ejemplo, Alice y Bob están muy lejos uno del otro y a cada uno se le ha asignado un cúbit del estado entrelazado.

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$.

En este ejemplo, Alice está intentando comunicar dos bits de información clásica, una de cuatro cadenas de dos bits: o . Si Alice elige enviar el mensaje de dos bits , realizaría el cambio de fase a su cúbit. De manera similar, si Alice quiere enviar , aplicaría una compuerta NOT; si quisiera enviar , aplicaría la compuerta a su cúbit; y finalmente, si Alice quisiera enviar el mensaje de dos bits , no haría nada a su cúbit. Alice realiza estas transformaciones de compuerta cuántica localmente, transformando el estado entrelazado inicial en uno de los cuatro estados de Bell. ${\displaystyle '00','01','10',}$ ${\displaystyle '11'}$ ${\displaystyle '01'}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle '10'}$ ${\displaystyle '11'}$ ${\displaystyle iY}$ ${\displaystyle '00'}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Los pasos a continuación muestran las transformaciones de puerta cuántica necesarias y los estados de Bell resultantes que Alice debe aplicar a su qubit para cada posible mensaje de dos bits que desee enviar a Bob.

${\displaystyle 00:I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{+}}\rangle }$

${\displaystyle 01:Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle -|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{-}}\rangle }$

${\displaystyle 10:X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle +|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{+}}\rangle }$

${\displaystyle 11:-iY=XZ={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle -|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{-}}\rangle }$.

Después de que Alice aplica las transformaciones deseadas a su cúbit, se las envía a Bob, quien luego realiza una medición en el estado de Bell, que proyecta el estado entrelazado en uno de los cuatro vectores base de dos cúbits, uno de los cuales coincidirá con el mensaje original de dos bits que Alice intentaba enviar.

Teletransportación cuántica

La teletransportación cuántica es la transferencia de un estado cuántico a distancia. Se facilita mediante el entrelazamiento entre A, el emisor, y B, el receptor de este estado cuántico. Este proceso se ha convertido en un tema de investigación fundamental para la comunicación y la computación cuántica. Más recientemente, los científicos han estado probando sus aplicaciones en la transferencia de información a través de fibras ópticas. ^[6] El proceso de teletransportación cuántica se define de la siguiente manera:

Alice y Bob comparten un par EPR y cada uno tomó un cúbit antes de separarse. Alice debe entregar un cúbit de información a Bob, pero no conoce el estado de este cúbit y solo puede enviarle información clásica.

Se realiza paso a paso de la siguiente manera:

1. Alice envía sus qubits a través de una puerta CNOT .
2. Luego, Alicia envía el primer qubit a través de una puerta Hadamard .
3. Alice mide sus qubits, obtiene uno de cuatro resultados y envía esta información a Bob.
4. Dadas las mediciones de Alice, Bob realiza una de cuatro operaciones en su mitad del par EPR y recupera el estado cuántico original. ^[1]

El siguiente circuito cuántico describe la teletransportación:

Circuito cuántico para teletransportar un qubit

Criptografía cuántica

La criptografía cuántica es el uso de propiedades mecánicas cuánticas para codificar y enviar información de forma segura. La teoría que sustenta este proceso es que es imposible medir un estado cuántico de un sistema sin perturbarlo. Esto se puede utilizar para detectar escuchas clandestinas dentro de un sistema.

La forma más común de criptografía cuántica es la distribución de claves cuánticas . Permite que dos partes produzcan una clave secreta aleatoria compartida que se puede utilizar para cifrar mensajes. Su clave privada se crea entre las dos partes a través de un canal público. ^[1]

La criptografía cuántica puede considerarse un estado de entrelazamiento entre dos sistemas multidimensionales, también conocido como entrelazamiento de dos qudit (dígitos cuánticos). ^[2]

Véase también

• Experimentos de prueba de campana
• Desigualdad de Bell
• Paradoja del EPR
• Estado de GHZ
• Codificación superdensa
• Teletransportación cuántica
• Criptografía cuántica
• Circuitos cuánticos
• Estado diagonal de campana

Notas

1. ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|+\rangle _{A}+|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}+|-\rangle _{B})-(|+\rangle _{A}-|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}-|-\rangle _{B}))}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle -|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle -|--\rangle )}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )}$

Referencias

1. Nielsen, Michael (2010). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press. ISBN 9781139495486.
2. Sych, Denis (7 de enero de 2009). "Una base completa de los estados de Bell generalizados". New Journal of Physics . 11 (1): 013006. Bibcode :2009NJPh...11a3006S. doi : 10.1088/1367-2630/11/1/013006 – vía IOP Science.
3. Zaman, Fakhar; Jeong, Youngmin (2 de octubre de 2018). "Análisis contrafactual de Bell-State". Scientific Reports . 8 (1): 14641. Bibcode :2018NatSR...814641Z. doi : 10.1038/s41598-018-32928-8 . PMC 6168595 . PMID  30279547. 
4. Kwiat, Weinfurter. "Análisis de estado de campana integrado"
5. Pisenti, Gaebler, Lynn. "Distinguibilidad de estados de campana hiperenredados mediante evolución lineal y medición local"
6. Huo, Meiru (19 de octubre de 2018). "Teletransportación cuántica determinista a través de canales de fibra". Science Advances . 4 (10): eaas9401. Bibcode :2018SciA....4.9401H. doi : 10.1126/sciadv.aas9401 . PMC 6195333 . PMID  30345350. 

• Nielsen, Michael A. ; Chuang, Isaac L. (2000), Computación cuántica e información cuántica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5, págs. 25.
• Kaye, Phillip; Laflamme, Raymond ; Mosca, Michele (2007), Introducción a la computación cuántica , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-857049-3, págs. 75.
• Sobre la paradoja de Einstein Podolsky y Rosen , Bell System Technical Journal , 1964.