Estado de Werner

Un estado de Werner ^[1] es una matriz de densidad de estados cuánticos bipartita de dimensión × que es invariante bajo todos los operadores unitarios de la forma . Es decir, es un estado cuántico bipartito que satisface ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle U\otimes U}$ ${\displaystyle \rho _{AB}}$

${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger })}$

para todos los operadores unitarios U que actúan en un espacio de Hilbert de dimensión d . Estos estados fueron desarrollados por primera vez por Reinhard F. Werner en 1989.

Definición general

Cada estado de Werner es una mezcla de proyectores sobre los subespacios simétricos y antisimétricos, siendo el peso relativo el parámetro principal que define el estado, además de la dimensión : ${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}}$ ${\displaystyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}=p{\frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{\text{sym}}+(1-p){\frac {2}{d(d-1)}}P_{AB}^{\text{as}},}$

dónde

${\displaystyle P_{AB}^{\text{sym}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}+F_{AB}),}$

${\displaystyle P_{AB}^{\text{as}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}-F_{AB}),}$

son los proyectores y

${\displaystyle F_{AB}=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|_{A}\otimes |j\rangle \langle i|_{B}}$

es el operador de permutación o inversión que intercambia los dos subsistemas A y B.

Los estados de Werner son separables para p ≥ 1 ⁄ 2 y entrelazados para p < 1 ⁄ 2 . Todos los estados de Werner entrelazados violan el criterio de separabilidad de PPT , pero para d ≥ 3 ningún estado de Werner viola el criterio de reducción más débil . Los estados de Werner se pueden parametrizar de diferentes maneras. Una forma de escribirlos es

${\displaystyle \rho _{AB}={\frac {1}{d^{2}-d\alpha }}(I_{AB}-\alpha F_{AB}),}$

donde el nuevo parámetro α varía entre −1 y 1 y se relaciona con p como

${\displaystyle \alpha =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).}$

Ejemplo de dos qubits

Los estados de Werner de dos cúbits, correspondientes a lo anterior, se pueden escribir explícitamente en forma matricial como De manera equivalente, se pueden escribir como una combinación convexa del estado totalmente mixto con (la proyección sobre) un estado de Bell: donde (o, limitándose a valores positivos, ) está relacionado con por . Entonces, los estados de Werner de dos cúbits son separables para y entrelazados para . ${\displaystyle d=2}$ $${\displaystyle W_{AB}^{(p,2)}={\frac {p}{6}}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}+{\frac {(1-p)}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {p}{3}}&0&0&0\\0&{\frac {3-2p}{6}}&{\frac {-3+4p}{6}}&0\\0&{\frac {-3+4p}{6}}&{\frac {3-2p}{6}}&0\\0&0&0&{\frac {p}{3}}\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle W_{AB}^{(\lambda ,2)}=\lambda |\Psi ^{-}\rangle \!\langle \Psi ^{-}|+{\frac {1-\lambda }{4}}I_{AB},\qquad |\Psi ^{-}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle ),}$$ ${\displaystyle \lambda \in [-1/3,1]}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda =(3-4p)/3}$ ${\displaystyle \lambda \leq 1/3}$ ${\displaystyle \lambda >1/3}$

Canales de Werner-Holevo

Un canal cuántico de Werner-Holevo con parámetros y números enteros se define como ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}}$ ${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$ ${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}},}$

donde los canales cuánticos y se definen como ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}(X_{A})={\frac {1}{d+1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}(X_{A})={\frac {1}{d-1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

y denota el mapa de transposición parcial en el sistema A. Nótese que el estado de Choi del canal de Werner-Holevo es un estado de Werner: ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{p,d}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}(\Phi _{RA})=p{\frac {2}{d\left(d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_{RB}^{\text{as}},}$

dónde . ${\displaystyle \Phi _{RA}={\frac {1}{d}}\sum _{i,j}|i\rangle \langle j|_{R}\otimes |i\rangle \langle j|_{A}}$

Estados multipartidistas de Werner

Los estados de Werner se pueden generalizar al caso multipartito. ^[5] Un estado de Werner de N partes es un estado que es invariante para cualquier U unitario en un solo subsistema. El estado de Werner ya no se describe por un solo parámetro, sino por N ! − 1 parámetros, y es una combinación lineal de las N ! permutaciones diferentes en N sistemas. ${\displaystyle U\otimes U\otimes \cdots \otimes U}$

Referencias

1. Reinhard F. Werner (1989). "Estados cuánticos con correlaciones de Einstein-Podolsky-Rosen que admiten un modelo de variable oculta". Physical Review A . 40 (8): 4277–4281. Bibcode :1989PhRvA..40.4277W. doi :10.1103/PhysRevA.40.4277. PMID  9902666.
2. Reinhard F. Werner y Alexander S. Holevo (2002). "Contraejemplo de una conjetura de aditividad para la pureza de salida de los canales cuánticos". Journal of Mathematical Physics . 43 (9): 4353–4357. arXiv : quant-ph/0203003 . Bibcode :2002JMP....43.4353W. doi :10.1063/1.1498491. S2CID  42832247.
3. Fannes, Mark; Haegeman, B.; Mosonyi, Milan; Vanpeteghem, D. (2004). "Aditividad de la salida de entropía mínima para una clase de canales covariantes". inédito . arXiv : quant-ph/0410195 . Código Bibliográfico :2004quant.ph.10195F.
4. Debbie Leung y William Matthews (2015). "Sobre el poder de los códigos que preservan y no señalizan PPT". IEEE Transactions on Information Theory . 61 (8): 4486–4499. arXiv : 1406.7142 . doi :10.1109/TIT.2015.2439953. S2CID  14083225.
5. Eggeling, Tilo; Werner, Reinhard (2001). "Propiedades de separabilidad de estados tripartitos con simetría UxUxU". Physical Review A . 63 : 042111. arXiv : quant-ph/0010096 . doi :10.1103/PhysRevA.63.042111. S2CID  119350302.