Estado separable

Estados cuánticos que no están entrelazados

En mecánica cuántica , los estados separables son estados cuánticos multipartitos que pueden escribirse como una combinación convexa de estados producto. Los estados producto son estados cuánticos multipartitos que pueden escribirse como un producto tensorial de estados en cada espacio. La intuición física detrás de estas definiciones es que los estados producto no tienen correlación entre los diferentes grados de libertad, mientras que los estados separables pueden tener correlaciones, pero todas esas correlaciones pueden explicarse como debidas a una variable aleatoria clásica, en lugar de ser debidas al entrelazamiento.

En el caso especial de estados puros la definición se simplifica: un estado puro es separable si y sólo si es un estado producto.

Se dice que un estado está entrelazado si no es separable. En general, determinar si un estado es separable no es sencillo y el problema se clasifica como NP-hard .

Separabilidad de sistemas bipartitos

Consideremos primero estados compuestos con dos grados de libertad, denominados estados bipartitos . Mediante un postulado de la mecánica cuántica, estos pueden describirse como vectores en el espacio de productos tensoriales . En este análisis nos centraremos en el caso de los espacios de Hilbert y en su dimensión finita. ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Estados puros

Sean y bases ortonormales para y , respectivamente. Una base para es entonces , o en notación más compacta . A partir de la propia definición del producto tensorial, cualquier vector de norma 1, es decir, un estado puro del sistema compuesto, puede escribirse como ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}}$ ${\displaystyle \{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|a_{i}b_{j}\rangle \}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,}$

donde es una constante. Si se puede escribir como un tensor simple , es decir, en la forma con un estado puro en el i -ésimo espacio, se dice que es un estado producto y, en particular, separable . De lo contrario, se dice que está entrelazado . Nótese que, aunque las nociones de estados producto y separable coinciden para los estados puros, no lo hacen en el caso más general de los estados mixtos. ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Los estados puros se entrelazan si y solo si sus estados parciales no son puros . Para ver esto, escriba la descomposición de Schmidt de como ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{k=1}^{r_{\psi }}{\sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ),}$

donde son números reales positivos, es el rango de Schmidt de , y y son conjuntos de estados ortonormales en y , respectivamente. El estado está entrelazado si y solo si . Al mismo tiempo, el estado parcial tiene la forma ${\displaystyle {\sqrt {p_{k}}}>0}$ ${\displaystyle r_{\psi }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{|u_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{1}}$ ${\displaystyle \{|v_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle r_{\psi }>1}$

${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \!\langle \psi |)=\sum _{k=1}^{r_{\psi }}p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.}$

De ello se deduce que es pura --- es decir, es proyección con rango unitario --- si y sólo si , lo que equivale a ser separable. ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle r_{\psi }=1}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Físicamente, esto significa que no es posible asignar un estado (puro) definido a los subsistemas, que en cambio deberían describirse como conjuntos estadísticos de estados puros, es decir, como matrices de densidad . Por lo tanto, un estado puro está entrelazado si y solo si la entropía de von Neumann del estado parcial es distinta de cero. ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \!\langle \psi |}$ ${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )}$

Formalmente, la incrustación de un producto de estados en el espacio de productos está dada por la incrustación de Segre . ^[1] Es decir, un estado puro mecánico-cuántico es separable si y solo si está en la imagen de la incrustación de Segre.

Por ejemplo, en un espacio de dos qubits, donde , los estados , , , son todos estados puros producto (y por lo tanto separables), como sucede con . Por otro lado, estados como o no son separables. ${\displaystyle H_{1}=H_{2}=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle |0\rangle \otimes |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle \otimes |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle \otimes |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle \otimes |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\sqrt {1/3}}|0\rangle +{\sqrt {2/3}}|1\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {1/2}}|00\rangle +{\sqrt {1/2}}|11\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {1/3}}|01\rangle +{\sqrt {2/3}}|10\rangle }$

Estados mixtos

Consideremos el caso de estado mixto. Un estado mixto del sistema compuesto se describe mediante una matriz de densidad que actúa sobre . Un estado de este tipo es separable si existen , y que son estados mixtos de los respectivos subsistemas tales que ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$

dónde

${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

De lo contrario, se denomina estado entrelazado. Podemos suponer sin pérdida de generalidad en la expresión anterior que y son todas proyecciones de rango 1, es decir, representan conjuntos puros de los subsistemas apropiados. De la definición se desprende claramente que la familia de estados separables es un conjunto convexo . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$

Nótese que, nuevamente a partir de la definición del producto tensorial, cualquier matriz de densidad, de hecho cualquier matriz que actúe sobre el espacio de estados compuesto, puede escribirse trivialmente en la forma deseada, si descartamos el requisito de que y sean ellos mismos estados y si se cumplen estos requisitos, entonces podemos interpretar el estado total como una distribución de probabilidad sobre estados de producto no correlacionados . ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$ ${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

En términos de canales cuánticos , se puede crear un estado separable de cualquier otro estado usando acciones locales y comunicación clásica, mientras que un estado entrelazado no.

Cuando los espacios de estados son de dimensión infinita, las matrices de densidad se reemplazan por operadores de clase de traza positiva con traza 1, y un estado es separable si puede aproximarse, en la norma de traza, por estados de la forma anterior.

Si solo hay un único distinto de cero , entonces el estado se puede expresar simplemente como y se llama simplemente estado separable o estado producto . Una propiedad del estado producto es que en términos de entropía , ${\displaystyle p_{k}}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$

${\displaystyle S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).}$

Ampliación al caso multipartito

La discusión anterior se generaliza fácilmente al caso de un sistema cuántico que consta de más de dos subsistemas. Sea un sistema con n subsistemas y un espacio de estados . Un estado puro es separable si adopta la forma ${\displaystyle H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in H}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{n}\rangle .}$

De manera similar, un estado mixto ρ que actúa sobre H es separable si es una suma convexa

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}.}$

O, en el caso de dimensión infinita, ρ es separable si puede aproximarse en la norma de traza mediante estados de la forma anterior.

Criterio de separabilidad

El problema de decidir si un estado es separable en general a veces se denomina problema de separabilidad.en la teoría de la información cuántica . Se considera un problema difícil. Se ha demostrado que es NP-hard en muchos casos ^{[2] [3]} y se cree que es así en general. Se puede obtener cierta apreciación de esta dificultad si se intenta resolver el problema empleando el enfoque de fuerza bruta directa, para una dimensión fija. El problema rápidamente se vuelve intratable, incluso para dimensiones bajas. Por lo tanto, se requieren formulaciones más sofisticadas. El problema de la separabilidad es un tema de investigación actual.

Un criterio de separabilidad es una condición necesaria que un estado debe satisfacer para ser separable. En los casos de baja dimensión ( 2 X 2 y 2 X 3 ), el criterio de Peres-Horodecki es en realidad una condición necesaria y suficiente para la separabilidad. Otros criterios de separabilidad incluyen (pero no se limitan a) el criterio de rango , el criterio de reducción y aquellos basados ​​en relaciones de incertidumbre. ^{[4] [5] [6] [7]} Consulte la referencia ^[8] para una revisión de los criterios de separabilidad en sistemas de variables discretas.

En sistemas de variables continuas, también se aplica el criterio de Peres-Horodecki . En concreto, Simon ^[9] formuló una versión particular del criterio de Peres-Horodecki en términos de los momentos de segundo orden de los operadores canónicos y demostró que es necesario y suficiente para los estados gaussianos de modo - (véase la referencia ^[10] para un enfoque aparentemente diferente pero esencialmente equivalente). Más tarde se descubrió ^[11] que la condición de Simon también es necesaria y suficiente para los estados gaussianos de modo -, pero ya no es suficiente para los estados gaussianos de modo -. La condición de Simon se puede generalizar teniendo en cuenta los momentos de orden superior de los operadores canónicos ^{[12] [13]} o utilizando medidas entrópicas. ^{[14] [15]} ${\displaystyle 1\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus n}$ ${\displaystyle 2\oplus 2}$

Caracterización mediante geometría algebraica

La mecánica cuántica puede modelarse sobre un espacio proyectivo de Hilbert , y el producto categórico de dos de estos espacios es la incrustación de Segre . En el caso bipartito, un estado cuántico es separable si y solo si se encuentra en la imagen de la incrustación de Segre. Jon Magne Leinaas , Jan Myrheim y Eirik Ovrum en su artículo "Aspectos geométricos del entrelazamiento" ^[16] describen el problema y estudian la geometría de los estados separables como un subconjunto de las matrices de estados generales. Este subconjunto tiene alguna intersección con el subconjunto de estados que cumplen el criterio de Peres-Horodecki. En este artículo, Leinaas et al. también ofrecen un enfoque numérico para probar la separabilidad en el caso general.

Prueba de separabilidad

La prueba de separabilidad en el caso general es un problema NP-hard. ^{[2] [3]} Leinaas et al. ^[16] formularon un algoritmo iterativo y probabilístico para probar si un estado dado es separable. Cuando el algoritmo tiene éxito, proporciona una representación explícita y aleatoria del estado dado como un estado separable. De lo contrario, proporciona la distancia del estado dado al estado separable más cercano que puede encontrar.

Véase también

• Testigo de enredo

Referencias

1. Gharahi, Masoud; Mancini, Stefano; Ottaviani, Giorgio (1 de octubre de 2020). "Clasificación de estructura fina de entrelazamiento multiqubit mediante geometría algebraica". Physical Review Research . 2 (4): 043003. arXiv : 1910.09665 . Código Bibliográfico :2020PhRvR...2d3003G. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.043003 . S2CID  204824024.
2. Gurvits, L., Complejidad determinista clásica del problema de Edmonds y entrelazamiento cuántico, en Actas del 35º Simposio ACM sobre teoría de la computación, ACM Press, Nueva York, 2003.
3. Sevag Gharibian, Fuerte NP-dureza del problema de separabilidad cuántica, Información y computación cuántica, vol. 10, núm. 3 y 4, págs. 343-360, 2010. arXiv:0810.4507.
4. Hofmann, Holger F.; Takeuchi, Shigeki (22 de septiembre de 2003). "Violación de las relaciones de incertidumbre local como una señal de entrelazamiento". Physical Review A . 68 (3): 032103. arXiv : quant-ph/0212090 . Bibcode :2003PhRvA..68c2103H. doi :10.1103/PhysRevA.68.032103. S2CID  54893300.
5. Gühne, Otfried (18 de marzo de 2004). "Caracterización del entrelazamiento mediante relaciones de incertidumbre". Physical Review Letters . 92 (11): 117903. arXiv : quant-ph/0306194 . Código Bibliográfico :2004PhRvL..92k7903G. doi :10.1103/PhysRevLett.92.117903. PMID  15089173. S2CID  5696147.
6. Gühne, Otfried; Lewenstein, Maciej (24 de agosto de 2004). "Relaciones de incertidumbre entrópica y entrelazamiento". Physical Review A . 70 (2): 022316. arXiv : quant-ph/0403219 . Código Bibliográfico :2004PhRvA..70b2316G. doi :10.1103/PhysRevA.70.022316. S2CID  118952931.
7. Huang, Yichen (29 de julio de 2010). "Criterios de entrelazamiento a través de relaciones de incertidumbre de función cóncava". Physical Review A . 82 (1): 012335. Bibcode :2010PhRvA..82a2335H. doi :10.1103/PhysRevA.82.012335.
8. Gühne, Otfried; Tóth, Géza (2009). "Detección de entrelazamiento". Physics Reports . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Código Bibliográfico :2009PhR...474....1G. doi :10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
9. Simon, R. (2000). "Criterio de separabilidad de Peres-Horodecki para sistemas de variables continuas". Physical Review Letters . 84 (12): 2726–2729. arXiv : quant-ph/9909044 . Código Bibliográfico :2000PhRvL..84.2726S. doi :10.1103/PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310. S2CID  11664720.
10. Duan, Lu-Ming; Giedke, G.; Cirac, JI; Zoller, P. (2000). "Criterio de inseparabilidad para sistemas de variables continuas". Physical Review Letters . 84 (12): 2722–2725. arXiv : quant-ph/9908056 . Código Bibliográfico :2000PhRvL..84.2722D. doi :10.1103/PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309. S2CID  9948874.
11. Werner, RF; Wolf, MM (2001). "Estados gaussianos entrelazados ligados". Physical Review Letters . 86 (16): 3658–3661. arXiv : quant-ph/0009118 . Código Bibliográfico :2001PhRvL..86.3658W. doi :10.1103/PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047. S2CID  20897950.
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15. Yichen Huang (octubre de 2013). "Detección de entrelazamiento: complejidad y criterios entrópicos de Shannon". IEEE Transactions on Information Theory . 59 (10): 6774–6778. doi :10.1109/TIT.2013.2257936. S2CID  7149863.
16. "Aspectos geométricos del entrelazamiento", Physical Review A 74, 012313 (2006)

Enlaces externos

• Aplicación web "StateSeparator"