En la teoría de sistemas dinámicos y teoría del control , un sistema lineal invariante en el tiempo es marginalmente estable si no es ni asintóticamente estable ni inestable . En términos generales, un sistema es estable si siempre regresa y permanece cerca de un estado particular (llamado estado estacionario ), y es inestable si se aleja cada vez más de cualquier estado, sin estar acotado. Un sistema marginal, a veces denominado de estabilidad neutral, [1] se encuentra entre estos dos tipos: cuando se desplaza, no regresa a un estado estacionario cercano a un común, ni se aleja de donde comenzó sin límite.
La estabilidad marginal, como la inestabilidad, es una característica que la teoría del control busca evitar; deseamos que, cuando sea perturbado por alguna fuerza externa, un sistema regrese al estado deseado. Esto requiere el uso de algoritmos de control diseñados apropiadamente.
En econometría , la presencia de una raíz unitaria en las series de tiempo observadas , haciéndolas marginalmente estables, puede conducir a resultados de regresión no válidos con respecto a los efectos de las variables independientes sobre una variable dependiente , a menos que se utilicen técnicas apropiadas para convertir el sistema en un sistema estable.
Un sistema lineal continuo homogéneo invariante en el tiempo es marginalmente estable si y sólo si la parte real de cada polo ( valor propio ) en la función de transferencia del sistema no es positiva , uno o más polos tienen parte real cero y todos los polos tienen parte real cero. parte son raíces simples (es decir, los polos en el eje imaginario son todos distintos entre sí). Por el contrario, si todos los polos tienen partes reales estrictamente negativas, el sistema es asintóticamente estable. Si el sistema no es ni estable ni marginalmente estable, es inestable.
Si el sistema está en representación del espacio de estados , la estabilidad marginal se puede analizar derivando la forma normal de Jordan : [2] si y sólo si los bloques de Jordan correspondientes a polos con parte real cero son escalares, el sistema es marginalmente estable.
Un sistema homogéneo discreto lineal invariante en el tiempo es marginalmente estable si y sólo si la mayor magnitud de cualquiera de los polos (valores propios) de la función de transferencia es 1, y los polos con magnitud igual a 1 son todos distintos. Es decir, el radio espectral de la función de transferencia es 1. Si el radio espectral es menor que 1, el sistema es asintóticamente estable.
Un ejemplo simple involucra una única ecuación lineal en diferencias de primer orden : supongamos que una variable de estado x evoluciona de acuerdo con
con parámetro a > 0. Si el sistema se ve perturbado por el valor, su secuencia posterior de valores es Si a < 1, estos números se acercan cada vez más a 0 independientemente del valor inicial, mientras que si a > 1 los números se hacen cada vez más grandes sin atado. Pero si a = 1, los números no hacen ninguna de estas cosas: en cambio, todos los valores futuros de x son iguales al valor. Por lo tanto, el caso a = 1 exhibe estabilidad marginal.
Un sistema marginalmente estable es aquel que, si se le da un impulso de magnitud finita como entrada, no "explotará" y dará una producción ilimitada, pero tampoco la producción volverá a cero. Un desplazamiento u oscilaciones acotadas en la producción persistirán indefinidamente, por lo que en general no habrá una producción final en estado estacionario. Si a un sistema continuo se le da una entrada a una frecuencia igual a la frecuencia de un polo con parte real cero, la salida del sistema aumentará indefinidamente (esto se conoce como resonancia pura [3] ). Esto explica por qué para que un sistema sea BIBO estable , las partes reales de los polos tienen que ser estrictamente negativas (y no sólo no positivas).
Un sistema continuo que tenga polos imaginarios, es decir, que tenga una parte real cero en el polo(s), producirá oscilaciones sostenidas en la salida. Por ejemplo, un sistema de segundo orden no amortiguado, como el sistema de suspensión de un automóvil (un sistema masa-resorte-amortiguador ), al que se le ha quitado el amortiguador y el resorte es ideal, es decir, no hay fricción, en teoría oscilará eternamente. una vez perturbado. Otro ejemplo es un péndulo sin fricción . Un sistema con un polo en el origen también es marginalmente estable pero en este caso no habrá oscilación en la respuesta ya que la parte imaginaria también es cero ( jw = 0 significa w = 0 rad/seg). Un ejemplo de tal sistema es una masa sobre una superficie con fricción. Cuando se aplica un impulso lateral, la masa se moverá y nunca volverá a cero. Sin embargo, la masa quedará en reposo debido a la fricción y el movimiento lateral permanecerá limitado.
Dado que las ubicaciones de los polos marginales deben estar exactamente en el eje imaginario o círculo unitario (para sistemas de tiempo continuo y discreto respectivamente) para que un sistema sea marginalmente estable, es poco probable que esta situación ocurra en la práctica a menos que la estabilidad marginal sea una condición teórica inherente. característica del sistema.
La estabilidad marginal también es un concepto importante en el contexto de la dinámica estocástica . Por ejemplo, algunos procesos pueden seguir un paseo aleatorio , dado en tiempo discreto como
donde es un término de error iid . Esta ecuación tiene una raíz unitaria (un valor de 1 para el valor propio de su ecuación característica ) y, por lo tanto, exhibe estabilidad marginal, por lo que se deben utilizar técnicas especiales de series de tiempo al modelar empíricamente un sistema que contenga dicha ecuación.
Los procesos de Markov marginalmente estables son aquellos que poseen clases recurrentes nulas .
