En la teoría del control , un sistema lineal continuo invariante en el tiempo (LTI) es exponencialmente estable si y sólo si el sistema tiene valores propios (es decir, los polos de los sistemas de entrada a salida) con partes reales estrictamente negativas (es decir, en la mitad izquierda del plano complejo ). [1] Un sistema LTI de entrada a salida en tiempo discreto es exponencialmente estable si y sólo si los polos de su función de transferencia se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. Los sistemas que no son LTI son exponencialmente estables si su convergencia está limitada por una caída exponencial . La estabilidad exponencial es una forma de estabilidad asintótica , válida para sistemas dinámicos más generales .
Un sistema LTI exponencialmente estable es aquel que no "explota" (es decir, no da una salida ilimitada) cuando se le da una entrada finita o una condición inicial distinta de cero. Además, si al sistema se le da una entrada fija y finita (es decir, un paso ), entonces cualquier oscilación resultante en la salida decaerá a una tasa exponencial , y la salida tenderá asintóticamente a un nuevo valor final en estado estacionario. Si, en cambio, se le da al sistema un impulso delta de Dirac como entrada, las oscilaciones inducidas desaparecerán y el sistema volverá a su valor anterior. Si las oscilaciones no desaparecen, o el sistema no regresa a su salida original cuando se aplica un impulso, el sistema es marginalmente estable .
El gráfico de la derecha muestra la respuesta al impulso de dos sistemas similares. La curva verde es la respuesta del sistema con respuesta impulso , mientras que la azul representa el sistema . Aunque una respuesta es oscilatoria, ambas regresan al valor original de 0 con el tiempo.
Imagínese poner una canica en un cucharón. Se asentará en el punto más bajo del cucharón y, a menos que lo molesten, permanecerá allí. Ahora imagina darle un empujón a la pelota, que es una aproximación a un impulso delta de Dirac . La canica rodará hacia adelante y hacia atrás pero eventualmente se reasentará en el fondo del cucharón. Dibujar la posición horizontal de la canica a lo largo del tiempo daría una sinusoide que disminuye gradualmente, similar a la curva azul en la imagen de arriba.
En este caso, una entrada escalonada requiere sostener la canica lejos del fondo del cucharón, para que no pueda retroceder. Permanecerá en la misma posición y, como sería el caso si el sistema fuera sólo marginalmente estable o completamente inestable, no continuará alejándose del fondo de la cuchara bajo esta fuerza constante igual a su peso.
Es importante señalar que en este ejemplo el sistema no es estable para todas las entradas. Dale a la canica un empujón lo suficientemente grande y se caerá del cucharón y caerá, deteniéndose solo cuando llegue al suelo. Por lo tanto, para algunos sistemas es apropiado afirmar que un sistema es exponencialmente estable en un cierto rango de entradas .
