Funtor

Mapeo entre categorías

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , un funtor es un mapeo entre categorías . Los functores se consideraron por primera vez en topología algebraica , donde los objetos algebraicos (como el grupo fundamental ) están asociados a espacios topológicos , y los mapas entre estos objetos algebraicos están asociados a mapas continuos entre espacios. Hoy en día, los functores se utilizan en todas las matemáticas modernas para relacionar varias categorías. Por tanto, los functores son importantes en todas las áreas de las matemáticas a las que se aplica la teoría de categorías .

Los matemáticos tomaron prestadas las palabras categoría y funtor de los filósofos Aristóteles y Rudolf Carnap , respectivamente. ^[1] Este último utilizó functor en un contexto lingüístico ; ^[2] ver palabra funcional .

Definición

Una categoría con objetos X, Y, Z y morfismos f, g, g ∘ f

Functor debe preservar la composición de morfismos y ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Sean C y D categorías . _ Un funtor F de C a D es un mapeo que ^[3]

• asocia cada objeto en C a un objeto en D , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$
• asocia cada morfismo en C a un morfismo en D tal que se cumplan las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$para cada objeto en C , ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$para todos los morfismos y en C . ${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Es decir, los functores deben preservar los morfismos de identidad y la composición de los morfismos.

Covarianza y contravarianza

Hay muchas construcciones en matemáticas que serían funtores si no fuera por el hecho de que "invierten los morfismos" y "invierten la composición". Luego definimos un functor contravariante F de C a D como un mapeo que

• asocia cada objeto en C con un objeto en D , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$
• asocia cada morfismo en C con un morfismo en D tal que se cumplan las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$para cada objeto en C , ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$para todos los morfismos y en C . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Tenga en cuenta que los functores contravariantes invierten la dirección de la composición.

Los functores ordinarios también se denominan funtores covariantes para distinguirlos de los contravariantes. Tenga en cuenta que también se puede definir un funtor contravariante como un funtor covariante en la categoría opuesta . ^[4] Algunos autores prefieren escribir todas las expresiones de forma covariante. Es decir, en lugar de decir que es un functor contravariante, simplemente escriben (o a veces ) y lo llaman functor. ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D}$ ${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$

Los functores contravariantes también se denominan ocasionalmente cofunctores . ^[5]

Existe una convención que se refiere a los "vectores" (es decir, campos vectoriales , elementos del espacio de secciones de un paquete tangente) como "contravariantes" y a los "covectores" (es decir, formas 1 , elementos del espacio de secciones de un paquete cotangente , como "covariante". Esta terminología tiene su origen en la física, y su fundamento tiene que ver con la posición de los índices ("arriba" y "abajo") en expresiones como for o for . En este formalismo se observa que el símbolo de transformación de coordenadas (que representa a la matriz ) actúa sobre las "coordenadas covectores" "de la misma manera" que sobre los vectores base: —mientras que actúa "de manera opuesta" sobre las "coordenadas vectoriales" (pero "de la misma manera" que sobre los covectores base: ) . Esta terminología es contraria a la utilizada en la teoría de categorías porque son los covectores los que tienen retrocesos en general y, por lo tanto , son contravariantes , mientras que los vectores en general son covariantes ya que pueden impulsarse hacia adelante . Véase también Covarianza y contravarianza de vectores . ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle {x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.}$ ${\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$

Funtor opuesto

Cada funtor induce al funtor opuesto , donde y son las categorías opuestas a y . ^[6] Por definición, asigna objetos y morfismos de la misma manera que lo hace . Ya que no coincide con como categoría, y de igual manera para , se distingue de . Por ejemplo, al componer con , se debe utilizar o . Tenga en cuenta que, siguiendo la propiedad de la categoría opuesta , . ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$ ${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$ ${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$ ${\displaystyle \left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F}$

Bifunctores y multifunctores

Un bifunctor (también conocido como funtor binario ) es un funtor cuyo dominio es una categoría de producto . Por ejemplo, el funtor Hom es del tipo C ^op × C → Set . Puede verse como un functor en dos argumentos. El funtor Hom es un ejemplo natural; es contravariante en un argumento y covariante en el otro.

Un multifunctor es una generalización del concepto de functor a n variables. Entonces, por ejemplo, un bifunctor es un multifunctor con n = 2 .

Propiedades

Dos consecuencias importantes de los axiomas de los functores son:

• F transforma cada diagrama conmutativo en C en un diagrama conmutativo en D ;
• si f es un isomorfismo en C , entonces F ( f ) es un isomorfismo en D.

Se pueden componer funtores, es decir, si F es un funtor de A a B y G es un funtor de B a C , entonces se puede formar el funtor compuesto G ∘ F de A a C. La composición de los functores es asociativa donde se define. La identidad de la composición de funtores es el funtor de identidad. Esto muestra que los functores pueden considerarse como morfismos en categorías de categorías, por ejemplo en la categoría de categorías pequeñas .

Una categoría pequeña con un solo objeto es lo mismo que un monoide : los morfismos de una categoría de un solo objeto pueden considerarse elementos del monoide, y la composición en la categoría se considera la operación monoide. Los functores entre categorías de un solo objeto corresponden a homomorfismos monoides . Entonces, en cierto sentido, los funtores entre categorías arbitrarias son una especie de generalización de homomorfismos monoides a categorías con más de un objeto.

Ejemplos

Diagrama

Para las categorías C y J , un diagrama de tipo J en C es un functor covariante . ${\displaystyle D\colon J\to C}$

(Categoría teórica) prehaz

Para las categorías C y J , un J -presheaf en C es un funtor contravariante . ${\displaystyle D\colon C\to J}$

En el caso especial en el que J es Set , la categoría de conjuntos y funciones, D se denomina presheaf en C.

Presheaves (sobre un espacio topológico)

Si X es un espacio topológico , entonces los conjuntos abiertos en X forman un conjunto parcialmente ordenado Abierto ( X ) bajo inclusión. Como todo conjunto parcialmente ordenado, Open( X ) forma una pequeña categoría agregando una sola flecha U → V si y solo si . Los functores contravariantes en Open( X ) se denominan presheaves en X . Por ejemplo, al asignar a cada conjunto abierto U el álgebra asociativa de funciones continuas de valores reales en U , se obtiene un prehaz de álgebras en X. ${\displaystyle U\subseteq V}$

funtor constante

El funtor C → D que asigna cada objeto de C a un objeto fijo X en D y cada morfismo en C al morfismo identidad en X. Este tipo de funtor se denomina funtor constante o de selección .

endofunctor

Un funtor que asigna una categoría a esa misma categoría; por ejemplo, functor polinomial .

funtor de identidad

En la categoría C , escrita 1 _C o id _C , asigna un objeto a sí mismo y un morfismo a sí mismo. El funtor de identidad es un endofuntor.

functor diagonal

El funtor diagonal se define como el funtor de D a la categoría de funtor D ^C que envía cada objeto en D al funtor constante en ese objeto.

funtor límite

Para una categoría de índice fijo J , si cada funtor J → C tiene un límite (por ejemplo, si C es completo), entonces el funtor límite C ^J → C asigna a cada funtor su límite. La existencia de este funtor se puede demostrar al darse cuenta de que es el adjunto derecho del functor diagonal e invocar el teorema del funtor adjunto de Freyd . Esto requiere una versión adecuada del axioma de elección . Se aplican observaciones similares al funtor colimit (que asigna a cada funtor su colimit y es covariante).

Functor de conjuntos de potencias

El functor de conjunto de potencias P  : Conjunto → Conjunto asigna cada conjunto a su conjunto de potencias y cada función al mapa que envía a su imagen . También se puede considerar el funtor de conjunto de potencias contravariante que envía al mapa que envía a su imagen inversa. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

Por ejemplo, si entonces . Supongamos y . Entonces es la función que envía cualquier subconjunto de a su imagen , lo que en este caso significa , donde denota el mapeo bajo , por lo que esto también podría escribirse como . Para los demás valores, tenga en cuenta que, en consecuencia, genera la topología trivial en . También tenga en cuenta que, aunque la función en este ejemplo se asignó al conjunto de potencias de , ese no tiene por qué ser el caso en general. ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$ ${\displaystyle f(0)=\{\}}$ ${\displaystyle f(1)=X}$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}$ ${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\ }$ ${\displaystyle \{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\ }$ ${\displaystyle \{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.}$ ${\displaystyle f(\{0,1\})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Espacio vectorial dual

El mapa que asigna a cada espacio vectorial su espacio dual y a cada mapa lineal su dual o transpuesto es un functor contravariante de la categoría de todos los espacios vectoriales sobre un campo fijo a sí mismo.

grupo fundamental

Considere la categoría de espacios topológicos puntiagudos , es decir, espacios topológicos con puntos distinguidos. Los objetos son pares ( X , x ₀ ) , donde X es un espacio topológico y x ₀ es un punto en X. Un morfismo de ( X , x ₀ ) a ( Y , y ₀ ) viene dado por un mapa continuo f  : X → Y con f ( x ₀ ) = y ₀ .

Para cada espacio topológico X con punto distinguido x ₀ , se puede definir el grupo fundamental basado en x ₀ , denotado π ₁ ( X , x ₀ ) . Este es el grupo de clases de homotopía de bucles basados ​​en x ₀ , con la operación grupal de concatenación. Si f  : X → Y es un morfismo de espacios puntiagudos , entonces cada bucle en X con punto base x ₀ puede componerse con f para producir un bucle en Y con punto base y ₀ . Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopía y la composición de bucles, y obtenemos un homomorfismo de grupo de π( X , x ₀ ) a π( Y , y ₀ ) . Obtenemos así un functor de la categoría de espacios topológicos puntiagudos a la categoría de grupos .

En la categoría de espacios topológicos (sin punto distinguido), se consideran clases de homotopía de curvas genéricas, pero no pueden componerse a menos que compartan un punto final. Por tanto, tenemos el grupoide fundamental en lugar del grupo fundamental, y esta construcción es funtorial.

Álgebra de funciones continuas

Un functor contravariante de la categoría de espacios topológicos (con mapas continuos como morfismos) a la categoría de álgebras asociativas reales se obtiene asignando a cada espacio topológico X el álgebra C( X ) de todas las funciones continuas de valor real en ese espacio. Cada aplicación continua f  : X → Y induce un homomorfismo de álgebra C( f ) : C( Y ) → C( X ) por la regla C( f )( φ ) = φ ∘ f para cada φ en C( Y ).

Paquetes tangentes y cotangentes

El mapa que envía cada variedad diferenciable a su paquete tangente y cada mapa suave a su derivada es un funtor covariante de la categoría de variedades diferenciables a la categoría de paquetes de vectores .

Hacer estas construcciones puntualmente da el espacio tangente , un funtor covariante de la categoría de variedades diferenciables puntiagudas a la categoría de espacios vectoriales reales. Asimismo, el espacio cotangente es un functor contravariante, esencialmente la composición del espacio tangente con el espacio dual arriba.

Acciones/representaciones grupales

Todo grupo G puede considerarse como una categoría con un solo objeto cuyos morfismos son los elementos de G. Un funtor de G a Set no es entonces más que una acción grupal de G en un conjunto particular, es decir, un G -conjunto. Asimismo, un functor de G a la categoría de espacios vectoriales , Vect _K , es una representación lineal de G. En general, un funtor G → C puede considerarse como una "acción" de G sobre un objeto de la categoría C. Si C es un grupo, entonces esta acción es un homomorfismo de grupo.

Álgebras de mentira

Asignar a cada grupo de Lie real (complejo) su álgebra de Lie real (compleja) define un functor.

Productos tensoriales

Si C denota la categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo, con aplicaciones lineales como morfismos, entonces el producto tensorial define un funtor C × C → C que es covariante en ambos argumentos. ^[7] ${\displaystyle V\otimes W}$

Functores olvidadizos

El funtor U  : Grp → Conjunto que asigna un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupo a su función subyacente de conjuntos es un funtor. ^[8] Los funtores como estos, que "olvidan" alguna estructura, se denominan funtores olvidadizos . Otro ejemplo es el funtor Rng → Ab que asigna un anillo a su grupo abeliano aditivo subyacente . Los morfismos en Rng ( homomorfismos de anillo ) se convierten en morfismos en Ab (homomorfismos de grupo abeliano).

Funtores libres

En la dirección opuesta a los funtores olvidadizos están los funtores libres. El funtor libre F  : Set → Grp envía cada conjunto X al grupo libre generado por X . Las funciones se asignan a homomorfismos de grupo entre grupos libres. Existen construcciones libres para muchas categorías basadas en conjuntos estructurados. Ver objeto libre .

Grupos de homomorfismo

A cada par A , B de grupos abelianos se le puede asignar el grupo abeliano Hom( A , B ) que consta de todos los homomorfismos de grupo de A a B. Este es un funtor que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo argumento, es decir, es un funtor Ab ^op × Ab → Ab (donde Ab denota la categoría de grupos abelianos con homomorfismos de grupo). Si f  : A ₁ → A ₂ y g  : B ₁ → B ₂ son morfismos en Ab , entonces el homomorfismo de grupo Hom( f , g ) : Hom( A ₂ , B ₁ ) → Hom( A ₁ , B ₂ ) es dado por φ ↦ gramo ∘ φ ∘ f . Véase Hom funtor .

Funtores representables

Podemos generalizar el ejemplo anterior a cualquier categoría C. A cada par X , Y de objetos en C se le puede asignar el conjunto Hom( X , Y ) de morfismos de X a Y . Esto define un funtor para Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, es decir, es un funtor C ^op × C → Set . Si f  : X ₁ → X ₂ y g  : Y ₁ → Y ₂ son morfismos en C , entonces se da el mapa Hom( f , g ) : Hom( X ₂ , Y ₁ ) → Hom( X ₁ , Y ₂ ) por φ ↦ gramo ∘ φ ∘ f .

Functores como estos se denominan functores representables . Un objetivo importante en muchos entornos es determinar si un functor determinado es representable.

Relación con otros conceptos categóricos

Sean C y D categorías. La colección de todos los funtores de C a D forma los objetos de una categoría: la categoría de funtores . Los morfismos en esta categoría son transformaciones naturales entre functores.

Los functores suelen definirse mediante propiedades universales ; ejemplos son el producto tensorial , la suma directa y producto directo de grupos o espacios vectoriales, construcción de grupos y módulos libres, límites directos e inversos . Los conceptos de límite y colimit generalizan varios de los anteriores.

Las construcciones universales suelen dar lugar a pares de functores adjuntos .

Implementaciones informáticas

Los funtores aparecen a veces en la programación funcional . Por ejemplo, el lenguaje de programación Haskell tiene una clase Functor donde fmaphay una función politípica que se utiliza para asignar funciones ( morfismos en Hask , la categoría de tipos de Haskell) ^[9] entre tipos existentes a funciones entre algunos tipos nuevos. ^[10]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Categoría de funtor
• Extensión Kan
• pseudofuntor

Notas

1. Mac Lane, Saunders (1971), Categorías para el matemático que trabaja , Nueva York: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
2. Carnap, Rudolf (1937). La sintaxis lógica del lenguaje , Routledge & Kegan, págs. 13-14.
3. Jacobson (2009), pág. 19, def. 1.2.
4. Jacobson (2009), págs. 19-20.
5. Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Teoría de las categorías. Dordrecht: Springer. pag. 12.ISBN _ 9789400995505. Consultado el 23 de abril de 2016 .
6. Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992), Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría del topos , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
7. Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
8. Jacobson (2009), pág. 20, ej. 2.
9. No está del todo claro que los tipos de datos de Haskell realmente formen una categoría. Consulte https://wiki.haskell.org/Hask para obtener más detalles.
10. Consulte https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell para obtener más información.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 2 (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.

enlaces externos

• "Functor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• consulte funtor en el n Lab y las variaciones discutidas y vinculadas allí.
• André Joyal , CatLab, un proyecto wiki dedicado a la exposición de las matemáticas categóricas
• Hillman, Chris (2001). "Una introducción categórica". CiteSeerX  10.1.1.24.3264 : {{cite web}}: Introducción formal faltante o vacía |url=( ayuda ) a la teoría de categorías.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos Archivado el 21 de abril de 2015 en la Wayback Machine.
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Teoría de categorías" - por Jean-Pierre Marquis. Amplia bibliografía.
• Lista de conferencias académicas sobre teoría de categorías
• Baez, John, 1996, "El cuento de las n categorías". Una introducción informal a las categorías de orden superior.
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores, transformaciones naturales , propiedades universales .
• The catsters, un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
• Archivo de vídeos de charlas grabadas relevantes para categorías, lógica y fundamentos de la física.
• Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.