Escleronómico

Sistema mecánico cuyas restricciones son independientes del tiempo.

Un sistema mecánico es escleronómico si las ecuaciones de restricciones no contienen el tiempo como variable explícita y la ecuación de restricciones puede describirse mediante coordenadas generalizadas. Tales restricciones se denominan restricciones escleronómicas . El opuesto de escleronómico es reonómico .

Solicitud

En el espacio 3D, una partícula con masa y velocidad tiene energía cinética. ${\displaystyle m\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!.}$

La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo . Utilice la regla de la cadena para varias variables : ${\displaystyle r\,\!}$ ${\displaystyle t\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!.}$

donde son coordenadas generalizadas . ${\displaystyle q_{i}\,\!}$

Por lo tanto,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!.}$

Reordenando los términos con cuidado, ^[1]

${\displaystyle T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!:}$

${\displaystyle T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!,}$

${\displaystyle T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,}$

${\displaystyle T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\,\!,}$

donde , , son respectivamente funciones homogéneas de grado 0, 1 y 2 en velocidades generalizadas. Si este sistema es escleronómico, entonces la posición no depende explícitamente del tiempo: ${\displaystyle T_{0}\,\!}$ ${\displaystyle T_{1}\,\!}$ ${\displaystyle T_{2}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!.}$

Por lo tanto, sólo el término no desaparece: ${\displaystyle T_{2}\,\!}$

${\displaystyle T=T_{2}\,\!.}$

La energía cinética es una función homogénea de grado 2 en velocidades generalizadas.

Ejemplo: péndulo

Un péndulo simple

Como se muestra a la derecha, un péndulo simple es un sistema compuesto por un peso y una cuerda. La cuerda está unida en el extremo superior a un pivote y en el extremo inferior a un peso. Al ser inextensible, la longitud de la cuerda es constante. Por lo tanto, este sistema es escleronómico; obedece a la restricción escleronómica.

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!,}$

donde es la posición del peso y es la longitud de la cuerda. ${\displaystyle (x,y)\,\!}$ ${\displaystyle L\,\!}$

Un péndulo simple con punto de pivote oscilante

Tomemos un ejemplo más complicado. Veamos la siguiente figura a la derecha. Supongamos que el extremo superior de la cuerda está unido a un punto de pivote que experimenta un movimiento armónico simple.

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\cos \omega t\,\!,}$

donde es la amplitud, es la frecuencia angular y es el tiempo. ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ ${\displaystyle \omega \,\!}$ ${\displaystyle t\,\!}$

Aunque el extremo superior de la cuerda no es fijo, la longitud de esta cuerda inextensible sigue siendo constante. La distancia entre el extremo superior y el peso debe permanecer igual. Por lo tanto, este sistema es reonómico, ya que obedece a una restricción que depende explícitamente del tiempo.

${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!.}$

Véase también

• Mecánica lagrangiana
• Sistema holonómico
• Sistema no holonómico
• Reonomo
• Matriz de masa

Referencias

1. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (3.ª ed.). Estados Unidos de América: Addison Wesley. pág. 25. ISBN 0-201-65702-3.