Energía potencial eléctrica

Energía potencial que resulta de las fuerzas conservativas de Coulomb

La energía potencial eléctrica es una energía potencial (medida en julios ) que resulta de fuerzas de Coulomb conservativas y está asociada con la configuración de un conjunto particular de cargas puntuales dentro de un sistema definido . Se puede decir que un objeto tiene energía potencial eléctrica en virtud de su propia carga eléctrica o de su posición relativa con respecto a otros objetos cargados eléctricamente .

El término "energía potencial eléctrica" ​​se utiliza para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos variables en el tiempo , mientras que el término "energía potencial electrostática" se utiliza para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos invariantes en el tiempo .

Definición

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo necesario para ensamblar este sistema de cargas acercándolas, como en el caso del sistema desde una distancia infinita. Alternativamente, la energía potencial eléctrica de cualquier carga o sistema de cargas dado se define como el trabajo total realizado por un agente externo para llevar la carga o el sistema de cargas desde el infinito a la configuración actual sin sufrir ninguna aceleración.

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en la posición r en presencia de un campo eléctrico E se define como el negativo del trabajo W realizado por la fuerza electrostática para llevarla desde la posición de referencia r _ref ^{[nota 1]} a esa posición r . ^{[1] [2] : §25-1}

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{\mathbf {r} }_{\rm {ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} }$

donde E es el campo electrostático y d r' es el vector de desplazamiento en una curva desde la posición de referencia r _ref hasta la posición final r .

La energía potencial electrostática también se puede definir a partir del potencial eléctrico de la siguiente manera:

La energía potencial electrostática, UE , de una carga puntual q en la posición _r en presencia de un potencial eléctrico se define como el producto de la carga por el potencial eléctrico. ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )}$

donde es el potencial eléctrico generado por las cargas, que es función de la posición r . ${\displaystyle V}$

Unidades

La unidad de energía potencial eléctrica del SI es el julio (llamado así por el físico inglés James Prescott Joule ). En el sistema CGS, el ergio es la unidad de energía, que equivale a 10 ⁻⁷ julios. También se pueden utilizar electronvoltios , 1 eV = 1,602×10 ⁻¹⁹ julios.

Energía potencial electrostática de una carga puntual

Un punto de cargaqen presencia de otra carga puntualQ

Una carga puntual q en el campo eléctrico de otra carga Q.

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en la posición r en presencia de una carga puntual Q , tomando una separación infinita entre las cargas como posición de referencia, es:

${\displaystyle U_{E}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}}$

donde r es la distancia entre las cargas puntuales q y Q , y q y Q son las cargas (no los valores absolutos de las cargas, es decir, un electrón tendría un valor de carga negativo cuando se lo coloca en la fórmula). El siguiente esquema de prueba establece la derivación de la definición de energía potencial eléctrica y la ley de Coulomb a esta fórmula.

Esquema de la prueba

La fuerza electrostática F que actúa sobre una carga q se puede escribir en términos del campo eléctrico E como $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

Por definición, el cambio en la energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q que se ha movido desde la posición de referencia r _ref a la posición r en presencia de un campo eléctrico E es el negativo del trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevarla desde la posición de referencia r _ref a esa posición r .

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

dónde:

• r = posición en el espacio 3d de la carga q , usando coordenadas cartesianas r = ( x , y , z ), tomando la posición de la carga Q en r = (0,0,0), el escalar r = | r | es la norma del vector de posición,
• d s = vector de desplazamiento diferencial a lo largo de una trayectoria C que va desde r _ref hasta r ,
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$es el trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de referencia r _ref a r ,

Generalmente U _E se establece en cero cuando r _ref es infinito: entonces $${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$ $${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

Cuando el rizo ∇ × E es cero, la integral de línea anterior no depende de la trayectoria específica C elegida, sino solo de sus puntos finales. Esto sucede en campos eléctricos invariantes en el tiempo. Cuando se habla de energía potencial electrostática, siempre se supone que los campos eléctricos son invariantes en el tiempo, por lo que, en este caso, el campo eléctrico es conservativo y se puede utilizar la ley de Coulomb.

Usando la ley de Coulomb , se sabe que la fuerza electrostática F y el campo eléctrico E creados por una carga puntual discreta Q están dirigidos radialmente desde Q. Por la definición del vector de posición r y el vector de desplazamiento s , se deduce que r y s también están dirigidos radialmente desde Q. Por lo tanto, E y d deben ser paralelos:

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$$

Usando la ley de Coulomb, el campo eléctrico está dado por

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

y la integral se puede evaluar fácilmente:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

Un punto de cargaqen presencia denortecargos puntualesQ yo

Energía potencial electrostática de q debido al sistema de carga Q ₁ y Q _{2 :} ${\displaystyle U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)}$

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q _i , tomando una separación infinita entre las cargas como posición de referencia, es:

${\displaystyle U_{E}(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},}$

donde r _i es la distancia entre las cargas puntuales q y Q _i , y q y Q _i son los valores asignados de las cargas.

Energía potencial electrostática almacenada en un sistema de cargas puntuales

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de N cargas q ₁ , q ₂ , …, q _N en las posiciones r ₁ , r ₂ , …, r _N respectivamente, es:

donde, para cada valor i , V( r _i ) es el potencial electrostático debido a todas las cargas puntuales excepto la que está en r _i , ^{[nota 2]} y es igual a: donde r _ij es la distancia entre q _i y q _j . $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},}$$

Esquema de la prueba

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de dos cargas es igual a la energía potencial electrostática de una carga en el potencial electrostático generado por la otra. Es decir, si la carga q ₁ genera un potencial electrostático V ₁ , que es función de la posición r , entonces $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

Haciendo el mismo cálculo con respecto a la otra carga, obtenemos $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

La energía potencial electrostática es compartida mutuamente por y , por lo que la energía total almacenada es ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

Esto se puede generalizar para decir que la energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de n cargas q ₁ , q ₂ , …, q _n en las posiciones r ₁ , r ₂ , …, r _n respectivamente, es:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

Energía almacenada en un sistema de una carga puntual

La energía potencial electrostática de un sistema que contiene sólo una carga puntual es cero, ya que no hay otras fuentes de fuerza electrostática contra las cuales un agente externo deba realizar trabajo para mover la carga puntual desde el infinito hasta su ubicación final.

Una pregunta frecuente que surge es la interacción de una carga puntual con su propio potencial electrostático. Como esta interacción no actúa para mover la carga puntual en sí, no contribuye a la energía almacenada del sistema.

Energía almacenada en un sistema de dos cargas puntuales

Considere llevar una carga puntual, q , a su posición final cerca de una carga puntual, Q ₁ . El potencial eléctrico V( r ) debido a Q ₁ es $${\displaystyle V(\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}$$

Por lo tanto obtenemos la energía potencial electrostática de q en el potencial de Q ₁ como donde r ₁ es la separación entre las dos cargas puntuales. $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}}$$

Energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales

La energía potencial electrostática de un sistema de tres cargas no debe confundirse con la energía potencial electrostática de Q ₁ debida a dos cargas Q ₂ y Q ₃ , porque esta última no incluye la energía potencial electrostática del sistema de las dos cargas Q ₂ y Q ₃ .

La energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas es: $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Esquema de la prueba

Utilizando la fórmula dada en ( 1 ), la energía potencial electrostática del sistema de las tres cargas será entonces: $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

Donde es el potencial eléctrico en r ₁ creado por las cargas Q ₂ y Q ₃ , es el potencial eléctrico en r ₂ creado por las cargas Q ₁ y Q ₃ , y es el potencial eléctrico en r ₃ creado por las cargas Q ₁ y Q ₂ . Los potenciales son: ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

Donde r _ij es la distancia entre la carga Q _i y Q _j .

Si sumamos todo:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

Finalmente obtenemos que la energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Energía almacenada en una distribución de campo electrostático en el vacío

La densidad de energía, o energía por unidad de volumen, del campo electrostático de una distribución de carga continua es: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$ $${\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Esquema de la prueba

Se puede tomar la ecuación de la energía potencial electrostática de una distribución de carga continua y expresarla en términos del campo electrostático .

Dado que la ley de Gauss para el campo electrostático en forma diferencial establece dónde $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$es el vector del campo eléctrico
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad de carga total incluidas las cargas dipolares unidas en un material
• ${\displaystyle dV}$es un elemento de volumen
• ${\displaystyle \Phi }$es el potencial eléctrico
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre ,

entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

Entonces, ahora usamos la siguiente identidad del vector de divergencia

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$$

tenemos

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

utilizando el teorema de divergencia y tomando el área como infinita donde , y utilizando ${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$ ${\displaystyle \nabla \Phi =-\mathbf {E} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

Entonces, la densidad de energía, o energía por unidad de volumen del campo electrostático es: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Energía almacenada en elementos electrónicos

La energía potencial eléctrica almacenada en un condensador es U _E = ⁠1/2⁠ CV ²

Algunos elementos de un circuito pueden convertir energía de una forma a otra. Por ejemplo, una resistencia convierte la energía eléctrica en calor. Esto se conoce como efecto Joule . Un condensador la almacena en su campo eléctrico. La energía potencial electrostática total almacenada en un condensador se expresa mediante donde C es la capacitancia , V es la diferencia de potencial eléctrico y Q la carga almacenada en el condensador. $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$

Esquema de la prueba

Se pueden ensamblar cargas en un capacitor en incrementos infinitesimales, de modo que la cantidad de trabajo realizado para ensamblar cada incremento en su ubicación final se puede expresar como ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

El trabajo total realizado para cargar completamente el capacitor de esta manera es entonces donde es la carga total del capacitor. Este trabajo se almacena como energía potencial electrostática, por lo tanto, $${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

Cabe destacar que esta expresión solo es válida si , lo que se cumple para sistemas con muchas cargas, como condensadores grandes que tienen electrodos metálicos. Para sistemas con pocas cargas, la naturaleza discreta de la carga es importante. La energía total almacenada en un condensador con pocas cargas es que se obtiene mediante un método de ensamblaje de cargas que utiliza el incremento de carga física más pequeño , donde es la unidad elemental de carga y donde es el número total de cargas en el condensador. ${\displaystyle dq\to 0}$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$ ${\displaystyle \Delta q=e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Q=Ne}$ ${\displaystyle N}$

La energía potencial electrostática total también puede expresarse en términos del campo eléctrico en la forma $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} \,dV}$$

donde es el campo de desplazamiento eléctrico dentro de un material dieléctrico y la integración es sobre todo el volumen del dieléctrico. ${\displaystyle \mathrm {D} }$

La energía potencial electrostática total almacenada dentro de un dieléctrico cargado también puede expresarse en términos de una carga de volumen continua, , donde la integración es sobre todo el volumen del dieléctrico. ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV}$$

Estas dos últimas expresiones son válidas sólo para los casos en que el incremento más pequeño de carga es cero ( ), como los dieléctricos en presencia de electrodos metálicos o los dieléctricos que contienen muchas cargas. ${\displaystyle dq\to 0}$

Obsérvese que un experimento virtual basado en la transferencia de energía entre las placas de un condensador revela que se debe tener en cuenta un término adicional cuando se trabaja con semiconductores, por ejemplo ^[3] . Si bien esta energía adicional se cancela cuando se trabaja con aislantes, la derivación predice que no se puede ignorar ya que puede superar la energía de polarización.

Notas

1. El cero de referencia se considera generalmente un estado en el que las cargas puntuales individuales están muy bien separadas ("están a una separación infinita") y están en reposo.
2. El factor de la mitad explica el "doble recuento" de pares de cargas. Por ejemplo, considere el caso de solo dos cargas.

Referencias

1. Electromagnetismo (2.ª edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN  0-471-92712-0
2. Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (1997). "Potencial eléctrico". Fundamentos de física (5.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-10559-7.
3. Sallese (1 de junio de 2016). "Un nuevo componente de la energía electrostática en semiconductores". The European Physical Journal B . 89 (6): 136. arXiv : 1510.06708 . doi : 10.1140/epjb/e2016-60865-4 . ISSN  1434-6036. S2CID  120731496.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Energía potencial eléctrica en Wikimedia Commons