conjunto errante

In mathematics, a concept that formalizes a certain idea of movement and mixing

En los sistemas dinámicos y la teoría ergódica , el concepto de conjunto errante formaliza una cierta idea de movimiento y mezcla . Cuando un sistema dinámico tiene un conjunto errante de medida distinta de cero, entonces el sistema es un sistema disipativo . Esto es lo opuesto a un sistema conservador , al que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré . Intuitivamente, la conexión entre conjuntos errantes y disipación se entiende fácilmente: si una porción del espacio de fase "se aleja" durante la evolución temporal normal del sistema y nunca más es visitada, entonces el sistema es disipativo. El lenguaje de los conjuntos errantes se puede utilizar para dar una definición matemática precisa al concepto de sistema disipativo. Birkhoff introdujo la noción de conjuntos errantes en el espacio de fases en 1927. ^{[ cita necesaria ]}

Puntos errantes

Una definición común en tiempo discreto de conjuntos errantes comienza con un mapa de un espacio topológico X. Se dice que un punto es un punto errante si hay una vecindad U de x y un entero positivo N tal que para todos , el mapa iterado no se cruza: ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\varnothing .}$

Una definición más práctica requiere sólo que la intersección tenga medida cero . Para ser precisos, la definición requiere que X sea un espacio de medidas , es decir, parte de un triple de conjuntos de Borel y una medida tal que ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,}$

para todos . De manera similar, un sistema de tiempo continuo tendrá un mapa que define la evolución temporal o flujo del sistema, siendo el operador de evolución temporal una acción grupal abeliana continua de un parámetro en X : ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{t+s}=\varphi _{t}\circ \varphi _{s}.}$

En tal caso, un punto errante tendrá una vecindad U de x y un tiempo T tal que para todos los tiempos , el mapa evolucionado en el tiempo es de medida cero: ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t>T}$

${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}(U)\cap U\right)=0.}$

Estas definiciones más simples pueden generalizarse completamente a la acción grupal de un grupo topológico . Sea un espacio de medidas, es decir, un conjunto con una medida definida en sus subconjuntos de Borel . Sea un grupo actuando en ese conjunto. Dado un punto , el conjunto ${\displaystyle \Omega =(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x\in \Omega }$

${\displaystyle \{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}}$

se llama trayectoria u órbita del punto x .

Un elemento se llama punto errante si existe una vecindad U de x y una vecindad V de la identidad de tal manera que ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \mu \left(\gamma \cdot U\cap U\right)=0}$

para todos . ${\displaystyle \gamma \in \Gamma -V}$

Puntos no errantes

Un punto no errante es todo lo contrario. En el caso discreto, es no errante si, para cada conjunto abierto U que contiene x y cada N > 0, existe algún n > N tal que ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.}$

Siguen definiciones similares para las acciones de grupo de tiempo continuo y discretas y continuas.

Conjuntos errantes y sistemas disipativos.

Un conjunto errante es una colección de puntos errantes. Más precisamente, un subconjunto W de es un conjunto errante bajo la acción de un grupo discreto si W es medible y si, para cualquiera de las intersecciones ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma -\{e\}}$

${\displaystyle \gamma W\cap W}$

es un conjunto de medida cero.

El concepto de conjunto errante es, en cierto sentido, dual a las ideas expresadas en el teorema de recurrencia de Poincaré. Si existe un conjunto errante de medidas positivas, entonces se dice que la acción de es disipativa y que el sistema dinámico es un sistema disipativo . Si no existe tal conjunto errante, se dice que la acción es conservadora y el sistema es un sistema conservador . Por ejemplo, cualquier sistema para el que se cumpla el teorema de recurrencia de Poincaré no puede tener, por definición, un conjunto errante de medidas positivas; y, por tanto, es un ejemplo de sistema conservador. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (\Omega ,\Gamma )}$

Defina la trayectoria de un conjunto errante W como

${\displaystyle W^{*}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }\;\;\gamma W.}$

Se dice que la acción de es completamente disipativa si existe un conjunto errante W de medida positiva, tal que la órbita es casi en todas partes igual a , es decir, si ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle W^{*}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega -W^{*}}$

es un conjunto de medida cero.

La descomposición de Hopf establece que todo espacio de medidas con una transformación no singular se puede descomponer en un conjunto conservador invariante y un conjunto errante invariante.

Ver también

• Sin teorema del dominio errante

Referencias

• Nicholls, Peter J. (1989). La teoría ergódica de grupos discretos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-37674-2.
• Alexandre I. Danilenko y Cesar E. Silva (8 de abril de 2009). Teoría ergódica: transformaciones no singulares ; Consulte Arxiv arXiv:0803.2424.
• Krengel, Ulrich (1985), Teoremas ergódicos , Estudios De Gruyter en Matemáticas, vol. 6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3