El tirón (también conocido como sacudida ) es la tasa de cambio de la aceleración de un objeto a lo largo del tiempo. Es una cantidad vectorial (que tiene magnitud y dirección). El tirón se denota más comúnmente con el símbolo j y se expresa en m/s3 ( unidades del SI ) o gravedades estándar por segundo ( g0 /s).
Como vector, el tirón j se puede expresar como la primera derivada temporal de la aceleración , la segunda derivada temporal de la velocidad y la tercera derivada temporal de la posición :
j ( t ) = d a ( t ) d t = d 2 v ( t ) d t 2 = d 3 r ( t ) d t 3 {\displaystyle \mathbf {j} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{3}}}}
Dónde:
Las ecuaciones diferenciales de tercer orden de la forma se denominan a veces ecuaciones de tirón . Cuando se convierten a un sistema equivalente de tres ecuaciones diferenciales no lineales ordinarias de primer orden , las ecuaciones de tirón son la configuración mínima para soluciones que muestran un comportamiento caótico . Esta condición genera interés matemático en los sistemas de tirón . Los sistemas que involucran derivadas de cuarto orden o superiores se denominan, en consecuencia, sistemas de hipertirón . [1]
La posición del cuerpo humano se controla equilibrando las fuerzas de los músculos antagonistas . Al equilibrar una fuerza dada, como sostener un peso, el giro poscentral establece un circuito de control para lograr el equilibrio deseado . Si la fuerza cambia demasiado rápido, los músculos no pueden relajarse o tensarse lo suficientemente rápido y se disparan en cualquier dirección, lo que causa una pérdida temporal de control. El tiempo de reacción para responder a los cambios de fuerza depende de las limitaciones fisiológicas y del nivel de atención del cerebro: un cambio esperado se estabilizará más rápido que una disminución o aumento repentino de la carga.
Para evitar que los pasajeros del vehículo pierdan el control sobre el movimiento del cuerpo y se lesionen, es necesario limitar la exposición tanto a la fuerza máxima (aceleración) como a la sacudida máxima, ya que se necesita tiempo para ajustar la tensión muscular y adaptarse incluso a cambios de estrés limitados. Los cambios repentinos en la aceleración pueden causar lesiones como el latigazo cervical . [2] Una sacudida excesiva también puede resultar en un viaje incómodo, incluso a niveles que no causan lesiones. Los ingenieros dedican un esfuerzo de diseño considerable para minimizar el "movimiento brusco" en ascensores , tranvías y otros medios de transporte.
Por ejemplo, consideremos los efectos de la aceleración y el tirón al viajar en un automóvil:
Para una masa constante m , la aceleración a es directamente proporcional a la fuerza F según la segunda ley del movimiento de Newton : F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
En la mecánica clásica de cuerpos rígidos, no existen fuerzas asociadas a las derivadas de la aceleración; sin embargo, los sistemas físicos experimentan oscilaciones y deformaciones como resultado de la sacudida. Al diseñar el telescopio espacial Hubble , la NASA estableció límites tanto para la sacudida como para el rebote . [3]
La fuerza de Abraham-Lorentz es la fuerza de retroceso de una partícula cargada que se acelera y emite radiación. Esta fuerza es proporcional a la sacudida de la partícula y al cuadrado de su carga . La teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman es una teoría más avanzada, aplicable en un entorno relativista y cuántico, y que tiene en cuenta la autoenergía .
Las discontinuidades en la aceleración no ocurren en entornos del mundo real debido a la deformación , los efectos de la mecánica cuántica y otras causas. Sin embargo, una discontinuidad de salto en la aceleración y, en consecuencia, un tirón ilimitado son factibles en un entorno idealizado, como una masa puntual idealizada que se mueve a lo largo de una trayectoria continua y uniforme por partes . La discontinuidad de salto ocurre en puntos donde la trayectoria no es uniforme. Extrapolando a partir de estos entornos idealizados, se pueden describir, explicar y predecir cualitativamente los efectos del tirón en situaciones reales.
La discontinuidad del salto en la aceleración se puede modelar utilizando una función delta de Dirac en el tirón, escalada a la altura del salto. La integración del tirón a lo largo del tiempo a través del delta de Dirac produce la discontinuidad del salto.
Por ejemplo, considere una trayectoria a lo largo de un arco de radio r , que se conecta tangencialmente a una línea recta. Toda la trayectoria es continua y sus partes son suaves. Ahora suponga que una partícula puntual se mueve con velocidad constante a lo largo de esta trayectoria, por lo que su aceleración tangencial es cero. La aceleración centrípeta está dada por versión 2/a es normal al arco y hacia adentro. Cuando la partícula pasa la conexión de piezas, experimenta un salto-discontinuidad en la aceleración dado por versión 2/a , y sufre un tirón que puede modelarse mediante un delta de Dirac, escalado a la discontinuidad del salto.
Para un ejemplo más tangible de aceleración discontinua, considere un sistema ideal de resorte-masa con la masa oscilando sobre una superficie idealizada con fricción. La fuerza sobre la masa es igual a la suma vectorial de la fuerza del resorte y la fuerza de fricción cinética . Cuando la velocidad cambia de signo (en los desplazamientos máximo y mínimo ), la magnitud de la fuerza sobre la masa cambia por el doble de la magnitud de la fuerza de fricción, porque la fuerza del resorte es continua y la fuerza de fricción invierte la dirección con la velocidad. El salto en la aceleración es igual a la fuerza sobre la masa dividida por la masa. Es decir, cada vez que la masa pasa por un desplazamiento mínimo o máximo, la masa experimenta una aceleración discontinua y el tirón contiene un delta de Dirac hasta que la masa se detiene. La fuerza de fricción estática se adapta a la fuerza del resorte residual, estableciendo el equilibrio con fuerza neta cero y velocidad cero.
Consideremos el ejemplo de un automóvil que frena y desacelera. Las pastillas de freno generan fuerzas de fricción cinéticas y pares de frenado constantes en los discos (o tambores ) de las ruedas. La velocidad de rotación disminuye linealmente hasta cero con una desaceleración angular constante. La fuerza de fricción, el par y la desaceleración del automóvil alcanzan repentinamente cero, lo que indica un delta de Dirac en la sacudida física. El delta de Dirac se suaviza por el entorno real, cuyos efectos acumulativos son análogos a la amortiguación de la sacudida percibida fisiológicamente. Este ejemplo ignora los efectos del deslizamiento de los neumáticos, el hundimiento de la suspensión, la deflexión real de todos los mecanismos idealmente rígidos, etc.
Otro ejemplo de sacudida significativa, análogo al primer ejemplo, es el corte de una cuerda con una partícula en su extremo. Supongamos que la partícula oscila en una trayectoria circular con una aceleración centrípeta distinta de cero. Cuando se corta la cuerda, la trayectoria de la partícula cambia abruptamente a una trayectoria recta y la fuerza en la dirección hacia adentro cambia repentinamente a cero. Imaginemos una fibra monomolecular cortada por un láser; la partícula experimentaría tasas de sacudidas muy altas debido al tiempo de corte extremadamente corto.
Consideremos un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo en un sistema de referencia inercial . Si su posición angular en función del tiempo es θ ( t ) , la velocidad angular, la aceleración y la sacudida se pueden expresar de la siguiente manera:
La aceleración angular es igual al par que actúa sobre el cuerpo, dividido por el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación momentáneo. Un cambio en el par da como resultado una sacudida angular.
El caso general de un cuerpo rígido giratorio se puede modelar utilizando la teoría cinemática del tornillo , que incluye un vector axial , la velocidad angular Ω ( t ) , y un vector polar , la velocidad lineal v ( t ) . A partir de esto, la aceleración angular se define como
y el tirón angular viene dado por
tomando la aceleración angular de Aceleración angular#Partícula en tres dimensiones como , obtenemos
reemplazando podemos tener el último elemento como , y finalmente obtenemos
o viceversa, reemplazando con :
Por ejemplo, considere un mecanismo de Ginebra , un dispositivo utilizado para crear una rotación intermitente de una rueda motriz (la rueda azul en la animación) mediante la rotación continua de una rueda motriz (la rueda roja en la animación). Durante un ciclo de la rueda motriz, la posición angular θ de la rueda motriz cambia en 90 grados y luego permanece constante. Debido al grosor finito de la horquilla de la rueda motriz (la ranura para el pasador motriz), este dispositivo genera una discontinuidad en la aceleración angular α y un tirón angular ilimitado ζ en la rueda motriz.
El tirón no impide que el mecanismo de Ginebra se utilice en aplicaciones como proyectores de películas y cámaras . En los proyectores de películas, la película avanza fotograma a fotograma, pero el funcionamiento del proyector tiene poco ruido y es muy fiable debido a la baja carga de la película (solo se mueve una pequeña sección de película que pesa unos pocos gramos), la velocidad moderada (2,4 m/s) y la baja fricción.
En los sistemas de transmisión por levas , el uso de una leva doble puede evitar el tirón de una leva simple; sin embargo, la leva doble es más voluminosa y más cara. El sistema de leva doble tiene dos levas en un eje que desplazan un segundo eje en una fracción de revolución. El gráfico muestra transmisiones por pasos de un sexto y un tercio de rotación por cada revolución del eje motriz. No hay holgura radial porque dos brazos de la rueda escalonada están siempre en contacto con la leva doble. En general, se pueden utilizar contactos combinados para evitar el tirón (y el desgaste y el ruido) asociado con un solo seguidor (por ejemplo, un solo seguidor que se desliza a lo largo de una ranura y cambia su punto de contacto de un lado de la ranura al otro se puede evitar utilizando dos seguidores que se deslizan a lo largo de la misma ranura, un lado cada uno).
Una masa elásticamente deformable se deforma bajo una fuerza aplicada (o aceleración); la deformación es una función de su rigidez y la magnitud de la fuerza. Si el cambio en la fuerza es lento, la sacudida es pequeña y la propagación de la deformación se considera instantánea en comparación con el cambio en la aceleración. El cuerpo distorsionado actúa como si estuviera en un régimen cuasiestático , y solo una fuerza cambiante (sacudida distinta de cero) puede causar la propagación de ondas mecánicas (u ondas electromagnéticas para una partícula cargada); por lo tanto, para una sacudida distinta de cero o alta, se debe considerar una onda de choque y su propagación a través del cuerpo.
La propagación de la deformación se muestra en el gráfico "Patrones de ondas de compresión" como una onda plana de compresión a través de un material elásticamente deformable. También se muestran, para el tirón angular, las ondas de deformación que se propagan en un patrón circular, lo que provoca tensión de corte y posiblemente otros modos de vibración . La reflexión de las ondas a lo largo de los límites provoca patrones de interferencia constructiva (no se muestran en la imagen), lo que produce tensiones que pueden superar los límites del material. Las ondas de deformación pueden provocar vibraciones, que pueden provocar ruido, desgaste y fallos, especialmente en casos de resonancia.
El gráfico titulado "Poste con parte superior masiva" muestra un bloque conectado a un poste elástico y una parte superior masiva. El poste se dobla cuando el bloque acelera y, cuando la aceleración se detiene, la parte superior oscilará ( se amortiguará ) bajo el régimen de rigidez del poste. Se podría argumentar que una sacudida (periódica) mayor podría excitar una amplitud de oscilación mayor porque las oscilaciones pequeñas se amortiguan antes del refuerzo por una onda de choque. También se puede argumentar que una sacudida mayor podría aumentar la probabilidad de excitar un modo resonante porque los componentes de onda más grandes de la onda de choque tienen frecuencias y coeficientes de Fourier más altos .
Para reducir la amplitud de las ondas de tensión excitadas y las vibraciones, se puede limitar el tirón modelando el movimiento y haciendo que la aceleración sea continua con pendientes lo más planas posibles. Debido a las limitaciones de los modelos abstractos, los algoritmos para reducir las vibraciones incluyen derivadas más altas, como el rebote , o sugieren regímenes continuos tanto para la aceleración como para el tirón. Un concepto para limitar el tirón es modelar la aceleración y la desaceleración de forma sinusoidal con una aceleración cero entre ellas (ver el gráfico titulado "Perfil de aceleración sinusoidal"), haciendo que la velocidad parezca sinusoidal con una velocidad máxima constante. Sin embargo, el tirón seguirá siendo discontinuo en los puntos donde la aceleración entra y sale de las fases cero.
Las carreteras y vías están diseñadas para limitar el tirón causado por los cambios en su curvatura. Los estándares de diseño para trenes de alta velocidad varían de 0,2 m/s3 a 0,6 m/s3 . [ 4] Las curvas de transición de vía limitan el tirón cuando se pasa de una línea recta a una curva, o viceversa. Recordemos que en el movimiento a velocidad constante a lo largo de un arco, la aceleración es cero en la dirección tangencial y distinta de cero en la dirección normal hacia adentro. Las curvas de transición aumentan gradualmente la curvatura y, en consecuencia, la aceleración centrípeta.
Una espiral de Euler , la curva de transición teóricamente óptima, aumenta linealmente la aceleración centrípeta y da como resultado una sacudida constante (ver gráfico). En aplicaciones del mundo real, el plano de la vía está inclinado ( peralte ) a lo largo de las secciones curvas. La inclinación provoca una aceleración vertical, que es una consideración de diseño para el desgaste de la vía y el terraplén. La Wiener Kurve (Curva Vienesa) es una curva patentada diseñada para minimizar este desgaste. [5] [6]
Las montañas rusas [2] también están diseñadas con transiciones de vías para limitar las sacudidas. Al entrar en un bucle, los valores de aceleración pueden alcanzar alrededor de 4 g (40 m/s2 ) , y conducir en este entorno de alta aceleración solo es posible con transiciones de vías. Las curvas en forma de S, como las figuras en forma de ocho, también utilizan transiciones de vías para lograr recorridos suaves.
En el control de movimiento , el diseño se centra en el movimiento recto y lineal, con la necesidad de mover un sistema desde una posición estable a otra (movimiento punto a punto). La preocupación del diseño desde una perspectiva de sacudida es la sacudida vertical; la sacudida de la aceleración tangencial es efectivamente cero ya que el movimiento lineal no es rotacional.
Las aplicaciones de control de movimiento incluyen ascensores de pasajeros y herramientas de mecanizado. Limitar la sacudida vertical se considera esencial para la comodidad de uso del ascensor. [7] La norma ISO 8100-34 [8] especifica métodos de medición para la calidad de uso del ascensor con respecto a la sacudida, la aceleración, la vibración y el ruido; sin embargo, la norma no especifica niveles de calidad de uso aceptable o inaceptable. Se informa [9] que la mayoría de los pasajeros califican una sacudida vertical de 2 m/s3 como aceptable y de 6 m/s3 como intolerable. Para los hospitales, 0,7 m/s3 es el límite recomendado.
Un objetivo de diseño principal para el control de movimiento es minimizar el tiempo de transición sin exceder los límites de velocidad, aceleración o sacudidas. Considere un perfil de control de movimiento de tercer orden con fases de rampa y deceleración cuadráticas en la velocidad (ver figura).
Este perfil de movimiento consta de los siguientes siete segmentos:
El período de tiempo del segmento cuatro (velocidad constante) varía con la distancia entre las dos posiciones. Si esta distancia es tan pequeña que no basta con omitir el segmento cuatro, entonces se podrían reducir igualmente los segmentos dos y seis (aceleración constante) y no se alcanzaría el límite de velocidad constante. Si esta modificación no reduce suficientemente la distancia recorrida, entonces se podrían acortar los segmentos uno, tres, cinco y siete en una cantidad igual y no se alcanzarían los límites de aceleración constante.
Se utilizan otras estrategias de perfil de movimiento, como la minimización del cuadrado de la sacudida para un tiempo de transición determinado [10] y, como se mencionó anteriormente, perfiles de aceleración con forma sinusoidal. Los perfiles de movimiento se adaptan a aplicaciones específicas, incluidas máquinas, transportadores de personas, polipastos de cadena, automóviles y robótica.
El tirón es un factor importante a tener en cuenta en los procesos de fabricación . Los cambios rápidos en la aceleración de una herramienta de corte pueden provocar un desgaste prematuro de la herramienta y dar como resultado cortes desiguales; en consecuencia, los controladores de movimiento modernos incluyen funciones de limitación del tirón. En ingeniería mecánica, el tirón, además de la velocidad y la aceleración, se tiene en cuenta en el desarrollo de perfiles de leva debido a las implicaciones tribológicas y la capacidad del cuerpo accionado de seguir el perfil de leva sin vibraciones . [11] El tirón se suele tener en cuenta cuando la vibración es un problema. Un dispositivo que mide el tirón se llama "medidor de tirón".
Otras derivadas temporales también han recibido nombres como chasquido o rebote (cuarta derivada), crujido (quinta derivada) y estallido (sexta derivada). La séptima derivada se conoce como "bang", ya que es una continuación lógica del ciclo. La octava derivada se conoce como "boom", y la novena como "crash". [12] [13] Sin embargo, las derivadas temporales de posición de orden superior a cuatro aparecen raramente. [14]
Los términos snap , crackle y pop (para las cuarta, quinta y sexta derivadas de la posición) se inspiraron en las mascotas publicitarias Snap, Crackle y Pop . [13]
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link){{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link){{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)Los nombres comunes de las primeras tres derivadas son velocidad, aceleración y tirón. Los nombres no tan comunes de las siguientes tres derivadas son chasquido, crujido y estallido.
El chasquido [la cuarta derivada temporal] también se denomina a veces rebote. Las derivadas quinta y sexta se denominan a veces, de manera un tanto jocosa, crujido y estallido.