Ecuaciones de Bi-Yang-Mills

En geometría diferencial , las ecuaciones Bi-Yang–Mills (o ecuaciones Bi-YM ) son una modificación de las ecuaciones Yang–Mills . Sus soluciones se denominan conexiones Bi-Yang–Mills (o conexiones Bi-YM ). En pocas palabras, las conexiones Bi-Yang–Mills son a las conexiones Yang–Mills lo que son a las conexiones planas. Esto se debe al hecho de que las conexiones Yang–Mills no son necesariamente planas, sino que son al menos un extremo local de curvatura, mientras que las conexiones Bi-Yang–Mills no son necesariamente conexiones Yang–Mills, sino que son al menos un extremo local del lado izquierdo de las ecuaciones Yang–Mills. Mientras que las conexiones Yang–Mills pueden verse como una generalización no lineal de los mapas armónicos , las conexiones Bi-Yang–Mills pueden verse como una generalización no lineal de los mapas biarmónicos .

Acción funcional de Bi-Yang-Mills

Sea un grupo de Lie compacto con álgebra de Lie y un fibrado principal con una variedad de Riemann compacta orientable que tiene una forma métrica y una forma de volumen . Sea su fibrado adjunto . es el espacio de conexiones , ^[1] que son, bajo la representación adjunta, formas diferenciales invariantes valoradas en álgebra de Lie o valoradas en fibrado vectorial . Dado que el operador de estrella de Hodge está definido en la variedad base, ya que requiere la forma métrica y la forma de volumen , se suele utilizar el segundo espacio. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B}$ ${\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$

La función de acción Bi-Yang–Mills viene dada por: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {BiYM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {BiYM} _{F}(A):=\int _{B}\|\delta _{A}F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.}$

Conexiones y ecuación de Bi-Yang-Mills

Una conexión se denomina conexión Bi-Yang–Mills si es un punto crítico de la función de acción Bi-Yang–Mills, es decir, si: ^[3] ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {BiYM} (A(t))\vert _{t=0}=0}$

para cada familia lisa con . Este es el caso si y solo si se cumplen las ecuaciones de Bi-Yang–Mills : ^[4] ${\displaystyle A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ${\displaystyle A(0)=A}$

${\displaystyle (\delta _{A}\mathrm {d} _{A}+{\mathcal {R}}_{A})(\delta _{A}F_{A})=0.}$

Para una conexión Bi-Yang–Mills , su curvatura se denomina campo Bi-Yang–Mills . ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))}$

Conexiones estables entre Bi-Yang y Mills

De manera análoga a las conexiones Yang-Mills (débilmente) estables, se pueden definir conexiones Bi-Yang-Mills (débilmente) estables. Una conexión Bi-Yang-Mills se denomina estable si: ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {BiYM} (A(t))\vert _{t=0}>0}$

para cada familia lisa con . Se llama débilmente estable si solo se cumple. ^[5] Una conexión Bi-Yang–Mills, que no es débilmente estable, se llama inestable . Para una conexión Bi-Yang–Mills (débilmente) estable o inestable , su curvatura se llama además un campo Bi-Yang–Mills (débilmente) estable o inestable . ${\displaystyle A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ${\displaystyle A(0)=A}$ ${\displaystyle \geq 0}$ ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))}$

Propiedades

• Las conexiones Yang-Mills son conexiones Bi-Yang-Mills débilmente estables. ^[6]

Véase también

• F-Ecuaciones de Yang-Mills , generalización de la ecuación de Yang-Mills

Literatura

• Chiang, Yuan-Jen (18 de junio de 2013). Desarrollo de mapas armónicos, mapas de ondas y campos Yang-Mills en mapas biarmónicos, mapas de biondas y campos Bi-Yang-Mills. Birkhäuser . ISBN 978-3034805339.

Referencias

1. de los Ríos, Santiago Quintero (16 de diciembre de 2020). "Conexiones en paquetes principales" (PDF) . homotopico.com . Teorema 3.7 . Consultado el 9 de noviembre de 2024 .
2. Chiang 2013, ecuación (9)
3. Chiang 2013, Ecuaciones (5.1) y (6.1)
4. Chiang 2013, Ecuaciones (10), (5.2) y (6.3)
5. Chiang 2013, Definición 6.3.2
6. Chiang 2013, Proposición 6.3.3.

Enlaces externos

• Ecuación de Bi-Yang-Mills en el laboratorio n