Método de Wiener-Hopf

Método matemático para ecuaciones integrodiferenciales

El método de Wiener-Hopf es una técnica matemática ampliamente utilizada en matemáticas aplicadas . Fue desarrollado inicialmente por Norbert Wiener y Eberhard Hopf como un método para resolver sistemas de ecuaciones integrales , pero ha encontrado un uso más amplio en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales bidimensionales con condiciones de contorno mixtas en el mismo límite. En general, el método funciona explotando las propiedades analíticas complejas de las funciones transformadas. Por lo general, se utiliza la transformada de Fourier estándar , pero existen ejemplos que utilizan otras transformadas, como la transformada de Mellin .

En general, las ecuaciones gobernantes y las condiciones de contorno se transforman y estas transformaciones se utilizan para definir un par de funciones complejas (normalmente denotadas con subíndices '+' y '−') que son respectivamente analíticas en las mitades superior e inferior del plano complejo, y tienen un crecimiento no más rápido que los polinomios en estas regiones. Estas dos funciones también coincidirán en alguna región del plano complejo , normalmente, una franja delgada que contiene la línea real . La continuación analítica garantiza que estas dos funciones definan una única función analítica en todo el plano complejo, y el teorema de Liouville implica que esta función es un polinomio desconocido , que a menudo es cero o constante. El análisis de las condiciones en los bordes y las esquinas del límite permite determinar el grado de este polinomio.

Descomposición de Wiener-Hopf

La ecuación fundamental que aparece en el método de Wiener-Hopf es de la forma

${\displaystyle A(\alpha )\Xi _{+}(\alpha )+B(\alpha )\Psi _{-}(\alpha )+C(\alpha )=0,}$

donde , , son funciones holomorfas conocidas , las funciones , son desconocidas y la ecuación se cumple en una franja en el plano complejo . Encontrar , es lo que se denomina el problema de Wiener-Hopf . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Xi _{+}(\alpha )}$ ${\displaystyle \Psi _{-}(\alpha )}$ ${\displaystyle \tau _{-}<{\mathfrak {Im}}(\alpha )<\tau _{+}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Xi _{+}(\alpha )}$ ${\displaystyle \Psi _{-}(\alpha )}$

El paso clave en muchos problemas de Wiener-Hopf es descomponer una función arbitraria en dos funciones con las propiedades deseadas descritas anteriormente. En general, esto se puede hacer escribiendo ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi _{\pm }}$

${\displaystyle \Phi _{+}(\alpha )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{1}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }}}$

y

${\displaystyle \Phi _{-}(\alpha )=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{2}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }},}$

donde los contornos y son paralelos a la línea real, pero pasan por encima y por debajo del punto , respectivamente. ^[2] ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle z=\alpha }$

De manera similar, las funciones escalares arbitrarias pueden descomponerse en un producto de funciones +/−, es decir , tomando primero el logaritmo y luego realizando una descomposición en suma. Las descomposiciones de productos de funciones matriciales (que ocurren en sistemas multimodales acoplados como las ondas elásticas) son considerablemente más problemáticas ya que el logaritmo no está bien definido y se podría esperar que cualquier descomposición sea no conmutativa. Khrapkov obtuvo una pequeña subclase de descomposiciones conmutativas y también se han desarrollado varios métodos aproximados. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle K(\alpha )=K_{+}(\alpha )K_{-}(\alpha )}$

Ejemplo

Considere la ecuación diferencial parcial lineal

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{xy}f(x,y)=0,}$

donde es un operador lineal que contiene derivadas con respecto a x e y , sujeto a las condiciones mixtas en y  = 0, para alguna función prescrita g ( x ) , ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{xy}}$

${\displaystyle f=g(x){\text{ for }}x\leq 0,\quad f_{y}=0{\text{ when }}x>0}$

y decae en el infinito, es decir f  → 0 como . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\rightarrow \infty }$

Al tomar una transformada de Fourier con respecto a x se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{y}{\widehat {f}}(k,y)-P(k,y){\widehat {f}}(k,y)=0,}$

donde es un operador lineal que contiene solo las derivadas y , P ( k,y ) es una función conocida de y y k y ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{y}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(k,y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x.}$

Si una solución particular de esta ecuación diferencial ordinaria que satisface el decaimiento necesario en el infinito se denota F ( k , y ) , una solución general se puede escribir como

${\displaystyle {\widehat {f}}(k,y)=C(k)F(k,y),}$

donde C ( k ) es una función desconocida que se determinará mediante las condiciones de contorno en y = 0.

La idea clave es dividir en dos funciones separadas, que son analíticas en las mitades inferior y superior del plano complejo, respectivamente. ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}_{+}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}_{-}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}_{+}(k,y)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x,}$

${\displaystyle {\widehat {f}}_{-}(k,y)=\int _{-\infty }^{0}f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x.}$

Las condiciones de contorno dan entonces

${\displaystyle {\widehat {g\,}}(k)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}_{-}(k,0)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}(k,0)=C(k)F(k,0)}$

y, al tomar derivadas con respecto a , ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\widehat {f}}'_{-}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)+{\widehat {f}}'_{+}(k,0)={\widehat {f}}'(k,0)=C(k)F'(k,0).}$

Eliminando rendimientos ${\displaystyle C(k)}$

${\displaystyle {\widehat {g\,}}(k)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)/K(k),}$

dónde

${\displaystyle K(k)={\frac {F'(k,0)}{F(k,0)}}.}$

Ahora se puede descomponer en el producto de funciones y que son analíticas en los semiplanos superior e inferior respectivamente. ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle K^{-}}$ ${\displaystyle K^{+}}$

Para ser precisos, ¿dónde? ${\displaystyle K(k)=K^{+}(k)K^{-}(k),}$

${\displaystyle \log K^{-}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(K(z))}{z-k}}\,{\textrm {d}}z,\quad \operatorname {Im} k>0,}$

${\displaystyle \log K^{+}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(K(z))}{z-k}}\,{\textrm {d}}z,\quad \operatorname {Im} k<0.}$

(Tenga en cuenta que esto a veces implica escalar de modo que tienda a ser como ). También descomponemos en la suma de dos funciones y que son analíticas en los semiplanos inferior y superior respectivamente, es decir, ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle K^{+}{\widehat {g\,}}}$ ${\displaystyle G^{+}}$ ${\displaystyle G^{-}}$

${\displaystyle K^{+}(k){\widehat {g\,}}(k)=G^{+}(k)+G^{-}(k).}$

Esto se puede hacer de la misma manera que factorizamos . En consecuencia, ${\displaystyle K(k).}$

${\displaystyle G^{+}(k)+K_{+}(k){\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)/K_{-}(k)-G^{-}(k).}$

Ahora bien, como el lado izquierdo de la ecuación anterior es analítico en el semiplano inferior, mientras que el lado derecho es analítico en el semiplano superior, la continuación analítica garantiza la existencia de una función completa que coincide con los lados izquierdo o derecho en sus respectivos semiplanos. Además, puesto que se puede demostrar que las funciones en ambos lados de la ecuación anterior decaen en valores grandes de k , una aplicación del teorema de Liouville demuestra que esta función completa es idénticamente cero, por lo tanto

${\displaystyle {\widehat {f}}_{+}(k,0)=-{\frac {G^{+}(k)}{K^{+}(k)}},}$

y entonces

${\displaystyle C(k)={\frac {K^{+}(k){\widehat {g\,}}(k)-G^{+}(k)}{K^{+}(k)F(k,0)}}.}$

Véase también

• Filtro de Viena
• Problema de Riemann-Hilbert

Notas

1. Noble 1958, §4.2.
2. Noble 1958, Capítulo 1.

Referencias

• «Categoría:Wiener-Hopf - WikiWaves». wikiwaves.org . Consultado el 19 de mayo de 2020 .
• "Método de Wiener-Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Fornberg, Bengt. Variables complejas y funciones analíticas: una introducción ilustrada. Piret, Cécile. Filadelfia. ISBN 978-1-61197-597-0.OCLC 1124781689  .
• Noble, Ben (1958). Métodos basados ​​en la técnica de Wiener-Hopf para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York, NY: Taylor & Francis US. ISBN 978-0-8284-0332-0.