Ecuación de Raychaudhuri

Resultado en relatividad general

En relatividad general , la ecuación de Raychaudhuri , o ecuación de Landau-Raychaudhuri , ^[1] es un resultado fundamental que describe el movimiento de fragmentos de materia cercanos.

La ecuación es importante como lema fundamental para los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking y para el estudio de soluciones exactas en la relatividad general , pero tiene un interés independiente, ya que ofrece una validación simple y general de nuestra expectativa intuitiva de que la gravitación debería ser un atractivo universal. fuerza entre dos bits cualesquiera de masa-energía en la relatividad general, como ocurre en la teoría de la gravitación de Newton .

La ecuación fue descubierta de forma independiente por el físico indio Amal Kumar Raychaudhuri ^[2] y el físico soviético Lev Landau . ^[3]

declaración matemática

Dado un campo vectorial unitario temporal (que puede interpretarse como una familia o congruencia de líneas mundiales que no se cruzan a través de la curva integral , no necesariamente geodésicas ), la ecuación de Raychaudhuri se puede escribir ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

dónde

${\displaystyle 2\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;2\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

son invariantes cuadráticas (no negativas) del tensor de corte

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

y el tensor de vorticidad

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

respectivamente. Aquí,

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

es el tensor de expansión , es su traza , llamada escalar de expansión , y ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

es el tensor de proyección sobre los hiperplanos ortogonales a . Además, el punto denota diferenciación con respecto al tiempo propio contado a lo largo de las líneas mundiales en la congruencia. Finalmente, la traza del tensor de mareas también se puede escribir como ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Esta cantidad a veces se llama escalar de Raychaudhuri .

Significado intuitivo

El escalar de expansión mide la velocidad fraccionaria a la que el volumen de una pequeña bola de materia cambia con respecto al tiempo medido por un observador central comoviente (por lo que puede tomar valores negativos). En otras palabras, la ecuación anterior nos da la ecuación de evolución para la expansión de la congruencia temporal. Si la derivada (con respecto al tiempo propio) de esta cantidad resulta ser negativa a lo largo de alguna línea mundial (después de cierto evento), entonces cualquier expansión de una pequeña bola de materia (cuyo centro de masa sigue la línea mundial en cuestión) debe ir seguido de un nuevo colapso. De lo contrario, es posible una expansión continua.

El tensor de corte mide cualquier tendencia de una bola de materia inicialmente esférica a distorsionarse y adoptar una forma elipsoidal. El tensor de vorticidad mide cualquier tendencia de las líneas del mundo cercano a girarse unas sobre otras (si esto sucede, nuestra pequeña masa de materia está girando, como les sucede a los elementos fluidos en un flujo de fluido ordinario que exhibe vorticidad distinta de cero).

El lado derecho de la ecuación de Raychaudhuri consta de dos tipos de términos:

1. términos que promueven el (re)-colapso
   • inicialmente escalar de expansión distinta de cero,
   • corte distinto de cero,
   • traza positiva del tensor de mareas; esta es precisamente la condición garantizada al asumir la condición de energía fuerte , que se cumple para los tipos de soluciones más importantes, como las soluciones fluidas físicamente razonables ,
2. términos que se oponen al (re)-colapso
   • vorticidad distinta de cero, correspondiente a las fuerzas centrífugas newtonianas ,
   • divergencia positiva del vector de aceleración (por ejemplo, aceleración que apunta hacia afuera debido a una explosión esféricamente simétrica, o más prosaicamente, debido a fuerzas corporales sobre elementos fluidos en una bola de fluido mantenida unida por su propia autogravitación).

Por lo general, prevalecerá un término. Sin embargo, hay situaciones en las que se puede lograr un equilibrio. Este saldo puede ser:

• Estable : en el caso del equilibrio hidrostático de una bola de fluido perfecto (por ejemplo, en un modelo de un interior estelar), la expansión, la cizalladura y la vorticidad desaparecen, y se produce una divergencia radial en el vector de aceleración (la fuerza corporal necesaria sobre cada uno ). gota de fluido proporcionada por la presión del fluido circundante) contrarresta el escalar de Raychaudhuri, que para un fluido perfecto está en unidades geometrizadas . En la gravitación newtoniana, la traza del tensor de mareas es ; En la relatividad general, la tendencia de la presión a oponerse a la gravedad se ve parcialmente compensada por este término, que en determinadas circunstancias puede llegar a ser importante. ${\displaystyle E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)}$ ${\displaystyle 4\pi \mu }$
• inestable : por ejemplo, las líneas mundiales de las partículas de polvo en la solución de Gödel tienen cizalla, expansión y aceleración evanescentes, pero una vorticidad constante que simplemente equilibra un escalar de Raychuadhuri constante debido a la energía del vacío distinta de cero ("constante cosmológica").

Teorema de enfoque

Supongamos que la condición de energía fuerte se cumple en alguna región de nuestro espacio-tiempo, y sea un campo vectorial unitario geodésico temporal con vorticidad evanescente , o equivalentemente, que es ortogonal de hipersuperficie. Por ejemplo, esta situación puede surgir al estudiar las líneas universales de las partículas de polvo en modelos cosmológicos que son soluciones de polvo exactas de la ecuación de campo de Einstein (siempre que estas líneas universales no se tuerzan entre sí, en cuyo caso la congruencia tendría valores distintos de cero). vorticidad). ${\displaystyle {\vec {X}}}$

Entonces la ecuación de Raychaudhuri se convierte en

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

Ahora bien, el lado derecho siempre es negativo o cero, por lo que el escalar de expansión nunca aumenta en el tiempo.

Como los dos últimos términos no son negativos, tenemos

${\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{3}}}$

Integrar esta desigualdad con respecto al tiempo adecuado da ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{3}}}$

Si el valor inicial del escalar de expansión es negativo, esto significa que nuestras geodésicas deben converger en una cáustica ( va a menos infinito) en un tiempo adecuado como máximo después de la medición del valor inicial del escalar de expansión. Esto no tiene por qué indicar un encuentro con una singularidad de curvatura, pero sí indica una falla en nuestra descripción matemática del movimiento del polvo. ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 3/|\theta _{0}|}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Ecuaciones ópticas

También existe una versión óptica (o nula) de la ecuación de Raychaudhuri para congruencias geodésicas nulas.

${\displaystyle {\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$.

Aquí, los sombreros indican que la expansión, el corte y la vorticidad son sólo con respecto a las direcciones transversales. Cuando la vorticidad es cero, asumiendo la condición de energía nula , se formarán cáusticos antes de que alcance el parámetro afín . ${\displaystyle 2/{\widehat {\theta }}_{0}}$

Aplicaciones

El horizonte de sucesos se define como el límite del pasado causal del infinito nulo. Estos límites son generados por geodésicas nulas. El parámetro afín llega al infinito a medida que nos acercamos al infinito nulo, y hasta entonces no se forman cáusticas. Por tanto, la expansión del horizonte de sucesos tiene que ser no negativa. Como la expansión da la tasa de cambio del logaritmo de la densidad del área, esto significa que el área del horizonte de eventos nunca puede disminuir, al menos clásicamente, asumiendo la condición de energía nula.

Ver también

• Congruencia (relatividad general) , para una derivación de la descomposición cinemática y de la ecuación de Raychaudhuri
• Singularidad gravitacional
• Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking para una aplicación del teorema de enfoque

Notas

1. El espacio-tiempo como sólido deformable, MO Tahim, RR Landim y CAS Almeida, arXiv :0705.4120v1.
2. Dadhich, Naresh (agosto de 2005). "Amal Kumar Raychaudhuri (1923-2005)" (PDF) . Ciencia actual . 89 : 569–570.
3. La estructura a gran escala del espacio-tiempo por Stephen W. Hawking y GFR Ellis , Cambridge University Press, 1973, p. 84, ISBN 0-521-09906-4 . 

Referencias

• Poisson, Eric (2004). Un conjunto de herramientas relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-83091-5.Consulte el capítulo 2 para obtener una excelente discusión sobre la ecuación de Raychaudhuri para geodésicas temporales y nulas , así como el teorema de enfoque.
• Carroll, Sean M. (2004). Espaciotiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.Ver apéndice F.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelio; Hertl, Eduard (2003). Soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-46136-7.Consulte el capítulo 6 para obtener una introducción muy detallada a las congruencias geodésicas, incluida la forma general de la ecuación de Raychaudhuri.
• Hawking, Stephen y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09906-4. Consulte la sección 4.1 para una discusión de la forma general de la ecuación de Raychaudhuri.
• Raychaudhuri, Alaska (1955). "Cosmología relativista I.". Física. Rdo . 98 (4): 1123-1126. Código bibliográfico : 1955PhRv...98.1123R. doi : 10.1103/PhysRev.98.1123. hdl : 10821/7599 . El artículo de Raychaudhuri que presenta su ecuación.
• Dasgupta, Anirván; Nandan, Hemwati y Kar, Sayan (2009). "Cinemática de flujos geodésicos en fondos fibrosos de agujeros negros". Física. Rev. D. 79 (12): 124004. arXiv : 0809.3074 . Código Bib : 2009PhRvD..79l4004D. doi : 10.1103/PhysRevD.79.124004. S2CID  118628925.Consulte la sección IV para obtener la forma general de las ecuaciones de Raychaudhuri para tres cantidades cinemáticas (a saber, expansión escalar, corte y rotación).
• Kar, Sayan y SenGupta, Soumitra (2007). "Las ecuaciones de Raychaudhuri: una breve reseña". Pramana . 69 (1): 49–76. arXiv : gr-qc/0611123 . Código Bib : 2007Prama..69...49K. doi :10.1007/s12043-007-0110-9. S2CID  119438891.Consulte para obtener una revisión sobre las ecuaciones de Raychaudhuri.

enlaces externos

• El significado de la ecuación de campo de Einstein por John C. Baez y Emory F. Bunn. La ecuación de Raychaudhuri ocupa un lugar central en esta conocida (y muy recomendable) exposición semitécnica de lo que dice la ecuación de Einstein.
• Cosmología teórica por Raychaudhuri, AK Clarendon Press, 1979 https://books.google.co.in/books/about/Theoretical_Cosmology.html?id=p1DApKmlaFoC&redir_esc=y