Campo de Jacobi

En geometría de Riemann , un campo de Jacobi es un campo vectorial a lo largo de una geodésica en una variedad de Riemann que describe la diferencia entre la geodésica y una geodésica "infinitesimalmente cercana". En otras palabras, los campos de Jacobi a lo largo de una geodésica forman el espacio tangente a la geodésica en el espacio de todas las geodésicas. Reciben su nombre en honor a Carl Jacobi . ${\displaystyle \gamma }$

Definiciones y propiedades

Los campos de Jacobi se pueden obtener de la siguiente manera: Tome una familia de geodésicas de un parámetro suave con , luego ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}$

es un campo de Jacobi y describe el comportamiento de las geodésicas en un vecindario infinitesimal de una geodésica dada . ${\displaystyle \gamma }$

Se dice que un campo vectorial J a lo largo de una geodésica es un campo de Jacobi si satisface la ecuación de Jacobi : ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,}$

donde D denota la derivada covariante respecto de la conexión de Levi-Civita , R el tensor de curvatura de Riemann , el campo de vectores tangentes y t es el parámetro de la geodésica. En una variedad de Riemann completa , para cualquier campo de Jacobi existe una familia de geodésicas que describen el campo (como en el párrafo anterior). ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt}$ ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$

La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden ; en particular, los valores de y en un punto de determinan de manera única el campo de Jacobi. Además, el conjunto de campos de Jacobi a lo largo de una geodésica dada forma un espacio vectorial real de dimensión dos veces la dimensión de la variedad. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J}$ ${\displaystyle \gamma }$

Como ejemplos triviales de cuerpos de Jacobi se pueden considerar y . Estos corresponden respectivamente a las siguientes familias de reparametrizaciones: y . ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)}$ ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)}$

Cualquier campo de Jacobi puede representarse de forma única como una suma , donde es una combinación lineal de campos de Jacobi triviales y es ortogonal a , para todo . El campo corresponde entonces a la misma variación de geodésicas que , solo que con parametrizaciones modificadas. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle T+I}$ ${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Ejemplo motivador

En una esfera unitaria , las geodésicas que pasan por el polo norte son círculos máximos . Consideremos dos geodésicas de este tipo y con parámetro natural, , separadas por un ángulo . La distancia geodésica ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ ${\displaystyle t\in [0,\pi ]}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$

es

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}$

Para calcular esto es necesario conocer las geodésicas. La información más interesante es justamente esa

${\displaystyle d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0\,}$, para cualquier . ${\displaystyle \tau }$

En cambio, podemos considerar la derivada con respecto a en : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}$

Observe que aún detectamos la intersección de las geodésicas en . Observe además que para calcular esta derivada en realidad no necesitamos saber ${\displaystyle t=\pi }$

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$,

Más bien, todo lo que necesitamos hacer es resolver la ecuación.

${\displaystyle y''+y=0\,}$,

para unos datos iniciales dados.

Los campos de Jacobi dan una generalización natural de este fenómeno a variedades riemannianas arbitrarias .

Resolviendo la ecuación de Jacobi

Sea y complete esto para obtener una base ortonormal en . Transpórtelo en paralelo para obtener una base a lo largo de . Esto da una base ortonormal con . El campo de Jacobi se puede escribir en coordenadas en términos de esta base como y por lo tanto ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}$ ${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$ ${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$ ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}$ ${\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)}$

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}$

y la ecuación de Jacobi se puede reescribir como un sistema

${\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}$

para cada . De esta manera obtenemos una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO). Como esta EDO tiene coeficientes suaves , tenemos que las soluciones existen para todos y son únicas, dadas y , para todos . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y^{k}(0)}$ ${\displaystyle {y^{k}}'(0)}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos

Considérese una geodésica con un marco ortonormal paralelo , , construida como se indicó anteriormente. ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle e_{i}(t)}$ ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|}$

• Los campos vectoriales dados por y son campos de Jacobi. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$
• En el espacio euclidiano (así como para espacios de curvatura seccional cero constante ) los campos de Jacobi son simplemente aquellos campos lineales en . ${\displaystyle t}$
• Para variedades de Riemann de curvatura seccional negativa constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , y , donde . ${\displaystyle -k^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \exp(\pm kt)e_{i}(t)}$ ${\displaystyle i>1}$
• Para variedades de Riemann de curvatura seccional positiva constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , , y , donde . ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \sin(kt)e_{i}(t)}$ ${\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t)}$ ${\displaystyle i>1}$
• La restricción de un campo vectorial de Killing a una geodésica es un campo de Jacobi en cualquier variedad de Riemann.

Véase también

• Puntos conjugados
• Ecuación de desviación geodésica
• Teorema de comparación de Rauch
• Campo N-Jacobi

Referencias

• Manfredo Perdigão do Carmo . Geometría de Riemann. Traducido de la segunda edición portuguesa de Francis Flaherty. Matemáticas: teoría y aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp. ISBN  0-8176-3490-8
• Jeff Cheeger y David G. Ebin . Teoremas de comparación en geometría de Riemann. Reimpresión revisada del original de 1975. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. x+168 pp. ISBN 978-0-8218-4417-5 
• Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu . Fundamentos de la geometría diferencial. Vol. II. Reimpresión del original de 1969. Wiley Classics Library. Una publicación de Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1996. xvi+468 pp. ISBN 0-471-15732-5 
• Barrett O'Neill . Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1