Método de características cuánticas.

Las características cuánticas son trayectorias en el espacio de fases que surgen en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica a través de la transformada de Wigner de los operadores de coordenadas canónicas y momentos de Heisenberg. Estas trayectorias obedecen a las ecuaciones de Hamilton en forma cuántica y desempeñan el papel de características en términos de las cuales se pueden expresar los símbolos de Weyl de los operadores cuánticos dependientes del tiempo. En el límite clásico , las características cuánticas se reducen a trayectorias clásicas. El conocimiento de las características cuánticas es equivalente al conocimiento de la dinámica cuántica.

Regla de asociación Weyl-Wigner

En dinámica hamiltoniana , los sistemas clásicos con grados de libertad se describen mediante coordenadas canónicas y momentos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \xi ^{i}=(x^{1},\ldots ,x^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})\in \mathbb {R} ^{2n},}$

que forman un sistema de coordenadas en el espacio de fases. Estas variables satisfacen las relaciones entre corchetes de Poisson.

${\displaystyle \{\xi ^{k},\xi ^{l}\}=-I^{kl}.}$

La matriz simétrica sesgada , ${\displaystyle I^{kl}}$

${\displaystyle \left\|I\right\|={\begin{Vmatrix}0&-E_{n}\\E_{n}&0\end{Vmatrix}},}$

donde está la matriz identidad, define la forma 2 no degenerada en el espacio de fases. El espacio de fases adquiere así la estructura de una variedad simpléctica . El espacio de fase no es un espacio métrico, por lo que la distancia entre dos puntos no está definida. El corchete de Poisson de dos funciones se puede interpretar como el área orientada de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son gradientes de estas funciones. Las rotaciones en el espacio euclidiano dejan invariante la distancia entre dos puntos. Las transformaciones canónicas en la variedad simpléctica dejan las áreas invariantes. ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

En mecánica cuántica, las variables canónicas están asociadas a operadores de coordenadas y momentos canónicos. ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}=({\hat {x}}^{1},\ldots ,{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})\in \operatorname {Op} (L^{2}(\mathbb {R} ^{n})).}$

Estos operadores actúan en el espacio de Hilbert y obedecen relaciones de conmutación.

${\displaystyle [{\hat {\xi }}^{k},{\hat {\xi }}^{l}]=-i\hbar I^{kl}.}$

La regla de asociación de Weyl ^[1] extiende la correspondencia a funciones y operadores arbitrarios del espacio de fase. ${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}}$

expansión de taylor

Weyl formuló inicialmente una regla de asociación unilateral con la ayuda de la expansión de Taylor de funciones de operadores de variables canónicas. ${\displaystyle f(\xi )\to {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}=f({\hat {\xi }})\equiv \sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}{\hat {\xi }}^{i_{1}}\ldots {\hat {\xi }}^{i_{s}}.}$

Los operadores no conmutan, por lo que la expansión de Taylor no está definida de forma única. La prescripción anterior utiliza los productos simetrizados de los operadores. Las funciones reales corresponden a los operadores hermitianos. La función se llama símbolo de operador de Weyl . ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Bajo la asociación inversa , la matriz de densidad pasa a la función de Wigner . ^[2] Las funciones de Wigner tienen numerosas aplicaciones en la física cuántica de muchos cuerpos, la teoría cinética, la teoría de colisiones y la química cuántica. ${\displaystyle f(\xi )\leftarrow {\hat {f}}}$

^{Groenewold [3]} y Stratonovich propusieron una versión refinada de la regla de asociación Weyl-Wigner . ^[4]

Base del operador

El conjunto de operadores que actúan en el espacio de Hilbert está cerrado bajo multiplicación de operadores por -números y suma. Tal conjunto constituye un espacio vectorial . La regla de asociación formulada con el uso de la expansión de Taylor preserva las operaciones sobre los operadores. La correspondencia se puede ilustrar con el siguiente diagrama: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\left.{\begin{array}{ccc}f(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}\\g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {g}}\\c\times f(\xi )&\longleftrightarrow &c\times {\hat {f}}\\f(\xi )+g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}+{\hat {g}}\end{array}}\right\}\;{\text{vector space}}\;\;\mathbb {V} \end{array}}\\{\begin{array}{ccc}{f(\xi )\star g(\xi )}&{\longleftrightarrow }&\;\;{{\hat {f}}{\hat {g}}}\end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}}\right\}{\text{algebra}}}$

Aquí, y son funciones y y son los operadores asociados. ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle g(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

Los elementos de base de están etiquetados por variables canónicas . La base de Groenewold-Stratonovich comúnmente utilizada parece ${\displaystyle \mathbb {V} }$ ${\displaystyle \xi ^{i}\in (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )=\int {\frac {d^{2n}\eta }{(2\pi \hbar )^{n}}}\exp(-{\frac {i}{\hbar }}\eta _{k}(\xi -{\hat {\xi }})^{k})\in \mathbb {V} .}$

La regla de asociación bilateral de Weyl-Wigner para función y operador tiene la forma ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle f(\xi )=\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}],}$

${\displaystyle {\hat {f}}=\int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}f(\xi ){\hat {B}}(\xi ).}$

La función proporciona las coordenadas del operador en la base . La base es completa y ortogonal: ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$

${\displaystyle \int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}{\hat {B}}(\xi )\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]={\hat {f}},}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {B}}(\xi ^{\prime })]=(2\pi \hbar )^{n}\delta ^{2n}(\xi -\xi ^{\prime }).}$

También se analizan bases de operadores alternativos. ^[5] La libertad de elección del operador se conoce mejor como problema de pedido del operador. Las coordenadas de las trayectorias de las partículas en el espacio de fases dependen del operador.

Producto estrella

El conjunto de operadores Op( L ² (R ⁿ )) está cerrado bajo la multiplicación de operadores. De este modo se dota al espacio vectorial de una estructura de álgebra asociativa. Dadas dos funciones ${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle f(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]~~\mathrm {and} ~~g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {g}}],}$

se puede construir una tercera función,

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}{\hat {g}}]}$

llamado el producto. ^[3] Está dado explícitamente por ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp({\frac {i\hbar }{2}}{\mathcal {P}})g(\xi ),}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {P}}=-{I}^{kl}{\overleftarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}}{\overrightarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}}}$

es el operador de Poisson. El producto se divide en partes simétricas y simétricas. ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle f\star g=f\circ g+{\frac {i\hbar }{2}}f\wedge g.}$

En el límite clásico, el producto se convierte en el producto escalar . La parte simétrica sesgada se conoce como soporte de Moyal . ^[6] Este es el símbolo Weyl del conmutador. En el límite clásico, el corchete de Moyal se convierte en el corchete de Poisson. El bracket de Moyal es una deformación cuántica del bracket de Poisson. El producto es asociativo, mientras que el producto y el paréntesis de Moyal no son asociativos. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f\wedge g}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$

Características cuánticas

La correspondencia muestra que las transformaciones de coordenadas en el espacio de fases van acompañadas de transformaciones de operadores de coordenadas canónicas y momentos y viceversa . Sea el operador de evolución, ${\displaystyle \xi \leftrightarrow {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {U}} }$

${\displaystyle {\hat {U}}=\exp {\Bigl (}-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\tau {\Bigr )},}$

y ser el hamiltoniano. Considere el siguiente esquema, ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\,\xi {\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,{\acute {\xi }}\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\updownarrow \\&{}\,{\hat {\xi }}{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}{\acute {\hat {\xi }}}\end{aligned}}}$

La evolución cuántica transforma vectores en el espacio de Hilbert y, según el mapa de asociación de Wigner, coordenadas en el espacio de fases. En la representación de Heisenberg , los operadores de las variables canónicas se transforman como

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$

Las coordenadas del espacio de fase que corresponden a nuevos operadores en la base anterior están dadas por ${\displaystyle {\acute {\xi }}^{i}}$ ${\displaystyle {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$

${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\acute {\xi }}^{i}=q^{i}(\xi ,\tau )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}],}$

con las condiciones iniciales

${\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}.}$

Las funciones especifican el flujo de fase cuántica . En el caso general, es canónico de primer orden en τ . ^[7] ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$

Funciones de estrella

El conjunto de operadores de variables canónicas es completo en el sentido de que cualquier operador puede representarse como una función de operadores . Transformaciones ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\rightarrow {\acute {\hat {f}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}}$

inducir, bajo la regla de asociación de Wigner, transformaciones de funciones de espacio de fase,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}f(\xi ){\stackrel {q}{\longrightarrow }}{\acute {f}}(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}]\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\updownarrow \\&{}{\hat {f}}\;\;\;\;{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}\,{\acute {\hat {f}}}\;\;\;\;\;={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}\end{aligned}}}$

Usando la expansión de Taylor, se puede encontrar que la transformación de la función bajo evolución es ${\displaystyle f(\xi )}$

${\displaystyle f(\xi )\rightarrow {\acute {f}}(\xi )\equiv \mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U^{\dagger }}}f({\hat {\xi }}){\hat {U}}]=\sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}q^{i_{1}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{s}}(\xi ,\tau )\equiv f(\star q(\xi ,\tau )).}$

La función compuesta definida de esta manera se llama -función. ${\displaystyle \star }$

La ley de composición difiere de la clásica. Sin embargo, la expansión semiclásica de around está formalmente bien definida e involucra incluso potencias de only. Esta ecuación muestra que, dada cómo se construyen las características cuánticas, los observables físicos se pueden encontrar sin mayor referencia al hamiltoniano. Las funciones desempeñan el papel de características, ^[8] de manera similar a las características clásicas utilizadas para resolver la ecuación clásica de Liouville . ${\displaystyle f(\star q(\xi ,\tau ))}$ ${\displaystyle f(q(\xi ,\tau ))}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$

La ecuación cuántica de Liouville

La transformada de Wigner de la ecuación de evolución de la matriz de densidad en la representación de Schrödinger conduce a una ecuación cuántica de Liouville para la función de Wigner. La transformada de Wigner de la ecuación de evolución para operadores en la representación de Heisenberg,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\hat {f}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {f}},{\hat {H}}],}$

conduce a la misma ecuación con el signo opuesto (más) en el lado derecho:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}f(\xi ,\tau )=f(\xi ,\tau )\wedge H(\xi ).}$

${\displaystyle \star }$-la función resuelve esta ecuación en términos de características cuánticas:

${\displaystyle f(\xi ,\tau )=f(\star q(\xi ,\tau ),0).}$

De manera similar, la evolución de la función Wigner en la representación de Schrödinger viene dada por

${\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0).}$

El teorema de Liouville de la mecánica clásica falla, en la medida en que, localmente, el volumen del espacio de fases no se conserva en el tiempo. De hecho, el flujo de fase cuántica no conserva todas las formas diferenciales definidas por potencias exteriores de . ${\displaystyle \omega ^{2s}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=I^{kl}d\xi _{k}\curlywedge d\xi _{l}}$

La función de Wigner representa un sistema cuántico de una forma más general que la función de onda. Las funciones de onda describen estados puros, mientras que la función de Wigner caracteriza conjuntos de estados cuánticos. Cualquier operador hermitiano se puede diagonalizar:

${\displaystyle {\hat {f}}=\sum _{s}\lambda _{s}|s\rangle \langle s|}$.

Aquellos operadores cuyos valores propios no son negativos y su suma es un número finito pueden asignarse a matrices de densidad, es decir, a algunos estados físicos. La función de Wigner es una imagen de la matriz de densidad, por lo que las funciones de Wigner admiten una descomposición similar: ${\displaystyle \lambda _{s}}$

${\displaystyle W(\xi )=\sum _{s}\lambda _{s}W_{s}(\xi ),}$

con y ${\displaystyle \lambda _{s}\geq 0}$

${\displaystyle W_{s}(\xi )\star W_{r}(\xi )=\delta _{sr}W_{s}(\xi )}$.

Ecuaciones cuánticas de Hamilton

Las ecuaciones de Quantum Hamilton se pueden obtener aplicando la transformada de Wigner a las ecuaciones de evolución para operadores de Heisenberg de coordenadas canónicas y momentos,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.}$

El lado derecho se calcula como en la mecánica clásica. La función compuesta es, sin embargo, -función. El producto viola la canonicidad del flujo de fases más allá del primer orden en . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \tau }$

Conservación del soporte de Moyal

Los productos antisimetrizados de un número par de operadores de variables canónicas son números c como consecuencia de las relaciones de conmutación. Estos productos quedan invariantes mediante transformaciones unitarias, lo que conduce, en particular, a la relación

${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}=-I^{ij}.}$

En general, el producto antisimetrizado

${\displaystyle q^{[i_{1}}(\xi ,\tau )\star q^{i_{2}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{2s}]}(\xi ,\tau )}$

También es invariante, es decir, no depende del tiempo y, además, no depende de la coordenada.

Las transformaciones del espacio de fase inducidas por el operador de evolución preservan el soporte de Moyal y no preservan el soporte de Poisson, por lo que el mapa de evolución

${\displaystyle \xi \rightarrow {\acute {\xi }}=q(\xi ,\tau ),}$

no es canónico más allá de O (τ). ^[8] El primer orden en τ define el álgebra del grupo de transformación. Como se señaló anteriormente, el álgebra de transformaciones canónicas de la mecánica clásica coincide con el álgebra de transformaciones unitarias de la mecánica cuántica. Estos dos grupos, sin embargo, son diferentes porque las operaciones de multiplicación en la mecánica clásica y cuántica son diferentes.

Las propiedades de transformación de variables canónicas y funciones de espacio de fase bajo transformaciones unitarias en el espacio de Hilbert tienen distinciones importantes del caso de transformaciones canónicas en el espacio de fase.

ley de composición

Las características cuánticas difícilmente pueden tratarse visualmente como trayectorias a lo largo de las cuales se mueven las partículas físicas. La razón está en la ley de composición de las estrellas.

${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}),}$

que es no local y es distinta de la ley de composición de puntos de la mecánica clásica.

Conservación de energía

La conservación de energía implica

${\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau )),}$

dónde

${\displaystyle H(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {H}}]}$

es la función de Hamilton. En el sentido geométrico habitual, no se conserva a lo largo de las características cuánticas. ${\displaystyle H(\xi )}$

Resumen

El origen del método de las características se remonta a la mecánica matricial de Heisenberg . Supongamos que hemos resuelto en mecánica matricial las ecuaciones de evolución para los operadores de las coordenadas canónicas y los momentos en la representación de Heisenberg. Estos operadores evolucionan según

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$

Se sabe que para cualquier operador se puede encontrar una función f ( ξ ) mediante la cual se representa en la forma . El mismo operador en el momento τ es igual a ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f({\hat {\xi }})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}={\hat {U}}^{\dagger }f({\hat {\xi }}){\hat {U}}=f({\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}{\hat {U}})=f({\hat {\xi }}(\tau )).}$

Esta ecuación muestra que son características las que determinan la evolución de todos los operadores en Op( L ² (R ⁿ )). Esta propiedad se transfiere completamente al espacio de fase tras la cuantificación de la deformación y, en el límite de ħ → 0 , a la mecánica clásica . ${\displaystyle {\hat {\xi }}(\tau )}$

La tabla compara las propiedades de las características en la mecánica clásica y cuántica. PDE y ODE indican ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones diferenciales ordinarias , respectivamente. La ecuación cuántica de Liouville es la transformada de Weyl-Wigner de la ecuación de evolución de von Neumann para la matriz de densidad en la representación de Schrödinger . Las ecuaciones cuánticas de Hamilton son las transformadas de Weyl-Wigner de las ecuaciones de evolución para operadores de las coordenadas canónicas y los momentos en la representación de Heisenberg .

En los sistemas clásicos, las características normalmente satisfacen EDO de primer orden, por ejemplo, las ecuaciones clásicas de Hamilton, y resuelven EDO de primer orden, por ejemplo, la ecuación clásica de Liouville. Las funciones también son características, a pesar de que ambas obedecen a PDE de orden infinito. ${\displaystyle c^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle f(\xi ,\tau )}$

El flujo de fase cuántica contiene toda la información sobre la evolución cuántica. La expansión semiclásica de características cuánticas y funciones de características cuánticas en una serie de potencias en ħ permite el cálculo de los valores promedio de observables físicos dependientes del tiempo resolviendo un sistema acoplado de orden finito de EDO para trayectorias de espacio de fase y campos de Jacobi. ^{[9] [10]} El orden del sistema de EDO depende del truncamiento de la serie de potencias. El efecto túnel no es perturbador en ħ y no es capturado por la expansión. La densidad del fluido de probabilidad cuántica no se conserva en el espacio de fases, ya que el fluido cuántico se difunde. ^[6] Las características cuánticas deben distinguirse de las trayectorias de la teoría de De Broglie-Bohm , ^[11] las trayectorias del método integral de trayectoria en el espacio de fases para las amplitudes ^[12] y la función de Wigner, ^{[13] [14]} y las trayectorias de Wigner. ^[5] Hasta ahora, sólo unos pocos sistemas cuánticos se han resuelto explícitamente utilizando el método de las características cuánticas. ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle \star }$

Ver también

• Método de características
• Transformada de Wigner-Weyl
• Teoría de la deformación
• Función de distribución de Wigner
• Función de distribución de Wigner modificada
• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner
• Probabilidad negativa

Referencias

1. Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1–46. Código Bib : 1927ZPhy...46....1W. doi :10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.
2. Wigner, EP (1932). "Sobre la corrección cuántica del equilibrio termodinámico". Revisión física . 40 (5): 749–759. Código bibliográfico : 1932PhRv...40..749W. doi : 10.1103/PhysRev.40.749. hdl : 10338.dmlcz/141466 .
3. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Física . 12 (7): 405–460. Código bibliográfico : 1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
4. RL Stratonovich , soviético. Física. JETP 4, 891 (1957).
5. Lee, Hai-Woong (1995). "Teoría y aplicación de las funciones de distribución del espacio de fases cuánticas". Informes de Física . 259 (3): 147–211. Código bibliográfico : 1995PhR...259..147L. doi :10.1016/0370-1573(95)00007-4.
6. Moyal, JE (1949). "La mecánica cuántica como teoría estadística". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 (1): 99-124. Código Bib : 1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487. S2CID  124183640.
7. PAM Dirac , Los principios de la mecánica cuántica , primera edición (Oxford: Clarendon Press, 1930).
8. Krivoruchenko, MI; Faessler, A. (2007). "Símbolos de Weyl de operadores de Heisenberg de coordenadas canónicas y momentos como características cuánticas". Revista de Física Matemática . 48 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0604075 . Código Bib : 2007JMP....48e2107K. doi : 10.1063/1.2735816. S2CID  42068076.
9. Krivoruchenko, MI; Fuchs, C.; Faessler, A. [en alemán] (2007). "Expansión semiclásica de características cuánticas para el problema de dispersión potencial de muchos cuerpos". Annalen der Physik . 519 (9): 587–614. arXiv : nucl-th/0605015 . Código Bib : 2007AnP...519..587K. doi : 10.1002/andp.200610251.
10. Maximov, S. (2009). "Sobre una imagen especial de la evolución dinámica de sistemas cuánticos no lineales en la representación del espacio de fases". Física D. 238 (18): 1937-1950. Código bibliográfico : 2009PhyD..238.1937M. doi :10.1016/j.physd.2009.07.001.
11. PR Holland , La teoría cuántica del movimiento: un relato de la interpretación causal de De Broglie-Bohm de la mecánica cuántica , (Cambridge University Press, 1993), ISBN 0-521-35404-8 . 
12. Berezin, FA (1980). "Integrales de trayectoria de Feynman en un espacio de fases". Física soviética Uspekhi . 23 (11): 763–788. Código bibliográfico : 1980SvPhU..23..763B. doi :10.1070/PU1980v023n11ABEH005062.
13. Marinov, MS (1991). "Un nuevo tipo de integral de trayectoria espacio-fase". Letras de Física A. 153 (1): 5-11. Código bibliográfico : 1991PhLA..153....5M. doi :10.1016/0375-9601(91)90352-9.
14. Wong, CY (2003). "Solución explícita de la evolución temporal de la función de Wigner". Journal of Optics B: Óptica cuántica y semiclásica . 5 (3): S420–S428. arXiv : quant-ph/0210112 . Código Bib : 2003JOptB...5S.420W. doi :10.1088/1464-4266/5/3/381. S2CID  15478434.
15. McQuarrie, BR; Osborn, TA; Tabisz, GC (1998). "Mecánica cuántica semiclásica de Moyal para sistemas atómicos". Revisión física A. 58 (4): 2944–2961. Código bibliográfico : 1998PhRvA..58.2944M. doi :10.1103/physreva.58.2944.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
16. Braunss, G. (2013). "Dinámica cuántica en el espacio de fases: trayectorias de Moyal 2". Revista de Física Matemática . 54 (1): 012105. Código bibliográfico : 2013JMP....54a2105B. doi : 10.1063/1.4773229.
17. Braunss, G. (2017). "Dinámica cuántica en el espacio de fases: trayectorias de Moyal 3". Revista de Física Matemática . 58 (6): 062104. Código bibliográfico : 2017JMP....58f2104B. doi : 10.1063/1.4984592.

Libros de texto

• H. Weyl , La teoría de los grupos y la mecánica cuántica , (Dover Publications, Nueva York Inc., 1931).
• VI Arnold , Métodos matemáticos de la mecánica clásica , (2ª ed. Springer-Verlag, Nueva York Inc., 1989).
• MV Karasev y VP Maslov , Soportes de Poisson no lineales. Geometría y cuantización. Traducciones de monografías matemáticas, 119. (Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI, 1993).