Aliasing (experimentos factoriales)

Fenómeno estadístico en el que algunos efectos parecen ser los mismos

En la teoría estadística de los experimentos factoriales , el aliasing es la propiedad de los diseños factoriales fraccionarios que hace que algunos efectos sean "aliasados" entre sí, es decir, indistinguibles entre sí. Un objetivo principal de la teoría de tales diseños es el control del aliasing para que los efectos importantes no sean aliasados ​​entre sí. ^[1]

En un experimento factorial "completo", la cantidad de combinaciones de tratamientos o celdas (ver más abajo) puede ser muy grande. ^{[nota 1]} Esto requiere limitar las observaciones a una fracción (subconjunto) de las combinaciones de tratamientos. El aliasing es un resultado automático e inevitable de observar dicha fracción. ^{[3] [4]}

Las propiedades de aliasing de un diseño suelen resumirse indicando su resolución, que mide el grado en el que el diseño evita el aliasing entre los efectos principales y las interacciones importantes. ^[5]

Los experimentos factoriales fraccionados han sido durante mucho tiempo una herramienta básica en la agricultura, ^[6] la tecnología alimentaria, ^{[7] [8]} la industria, ^{[9] [10] [11]} la medicina y la salud pública, ^{[12] [13]} y las ciencias sociales y del comportamiento. ^[14] Se utilizan ampliamente en la investigación exploratoria, ^[15] particularmente en experimentos de detección, que tienen aplicaciones en la industria, el diseño de fármacos y la genética. ^[16] En todos estos casos, un paso crucial en el diseño de un experimento de este tipo es decidir el patrón de aliasing deseado, o al menos la resolución deseada.

Como se señala a continuación, el concepto de aliasing puede haber influido en la identificación de un fenómeno análogo en la teoría del procesamiento de señales.

Descripción general

Un experimento factorial está asociado a una colección de efectos . Cada factor determina un efecto principal y cada conjunto de dos o más factores determina un efecto de interacción (o simplemente una interacción ) entre esos factores. Cada efecto se define mediante un conjunto de relaciones entre las medias de las celdas , como se describe a continuación. En un diseño factorial fraccional , los efectos se definen restringiendo estas relaciones a las celdas de la fracción. Cuando las relaciones restringidas para dos efectos diferentes resultan ser las mismas, se dice que los efectos son alias.

La presencia o ausencia de un efecto determinado en un conjunto de datos determinado se comprueba mediante métodos estadísticos, más comúnmente el análisis de varianza . Si bien el aliasing tiene implicaciones significativas para la estimación y la prueba de hipótesis, es fundamentalmente un fenómeno combinatorio y algebraico. Por lo tanto, la construcción y el análisis de diseños fraccionarios dependen en gran medida de métodos algebraicos.

La definición de un diseño fraccional a veces se amplía para permitir múltiples observaciones de algunas o todas las combinaciones de tratamientos: un multisubconjunto de todas las combinaciones de tratamientos. ^[17] Una fracción que es un subconjunto (es decir, donde las combinaciones de tratamientos no se repiten) se denomina simple . La teoría que se describe a continuación se aplica a las fracciones simples.

Contrastes y efectos

En cualquier diseño, completo o fraccional, el valor esperado de una observación en una combinación de tratamiento dada se denomina media de celda , ^[18] que generalmente se denota utilizando la letra griega μ. (El término celda se toma prestado de su uso en tablas de datos ).

Un contraste en medias de celdas es una combinación lineal de medias de celdas en la que los coeficientes suman 0. En el experimento 2 × 3 ilustrado aquí, la expresión

${\displaystyle \mu _{11}-\mu _{12}}$

es un contraste que compara las respuestas medias de las combinaciones de tratamientos 11 y 12. (Los coeficientes aquí son 1 y –1).

Los efectos en un experimento factorial se expresan en términos de contrastes. ^{[19] [20]} En el ejemplo anterior, el contraste

${\displaystyle \mu _{11}+\mu _{12}+\mu _{13}-\mu _{21}-\mu _{22}-\mu _{23}}$

se dice que pertenece al efecto principal del factor A, ya que contrasta las respuestas al nivel "1" del factor con las del nivel "2". Se dice que el efecto principal de A está ausente si esta expresión es igual a 0. De manera similar, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mu _{11}+\mu _{21}-\mu _{12}-\mu _{22}}$   y  

${\displaystyle \mu _{11}+\mu _{21}-\mu _{13}-\mu _{23}}$

son contrastes pertenecientes al efecto principal del factor B . Por otra parte, los contrastes

${\displaystyle \mu _{11}-\mu _{12}-\mu _{21}+\mu _{22}}$   y  

${\displaystyle \mu _{11}-\mu _{13}-\mu _{21}+\mu _{23}}$

pertenecen a la interacción de A y B ; al igualarlos a 0 se expresa la falta de interacción. ^{[nota 2]} Estas designaciones, que se extienden a experimentos factoriales arbitrarios que tienen tres o más factores, dependen del patrón de coeficientes, como se explica en otra parte . ^{[21] [22]}

Dado que los coeficientes de estos contrastes son los que contienen la información esencial, a menudo se muestran como vectores de columna . Para el ejemplo anterior, una tabla de este tipo podría verse así: ^[23]

Las columnas de dicha tabla se denominan vectores de contraste : sus componentes suman 0. Si bien en general hay muchas opciones posibles de columnas para representar un efecto dado, el número de dichas columnas (los grados de libertad del efecto) es fijo y se da mediante una fórmula bien conocida. ^{[24] [25]} En el ejemplo 2 × 3 anterior, los grados de libertad para y la interacción son 1, 2 y 2, respectivamente. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\times B}$

En un experimento factorial fraccional, los vectores de contraste que pertenecen a un efecto dado están restringidos a las combinaciones de tratamientos en la fracción. Por lo tanto, en la semifracción {11, 12, 13} del ejemplo 2 × 3, los tres efectos pueden representarse mediante los vectores de columna de la siguiente tabla:

La consecuencia de este truncamiento (alias) se describe a continuación.

Definiciones

Se permite que los factores en el diseño tengan diferentes números de niveles, como en un experimento factorial (un experimento asimétrico o de niveles mixtos ). ${\displaystyle 2\times 3\times 3}$

Fijemos una fracción de un diseño factorial completo. Sea un conjunto de vectores de contraste que representan un efecto (en particular, un efecto principal o interacción) en el diseño factorial completo, y sea que consiste en las restricciones de esos vectores a la fracción. Se dice que el efecto es ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\widetilde {U}}}$

• conservado en la fracción si consta de vectores de contraste; ${\displaystyle {\widetilde {U}}}$
• se pierde completamente en la fracción si consta de vectores constantes , es decir, vectores cuyos componentes son iguales; y ${\displaystyle {\widetilde {U}}}$
• En parte se pierde de otro modo.

De manera similar, sean y dos efectos y sean y sus restricciones a la fracción. Se dice que los dos efectos son ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{1}}$ ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{2}}$

• sin alias en la fracción si cada vector en es ortogonal (perpendicular) a todos los vectores en , y viceversa; ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{1}}$ ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{2}}$
• completamente alias en la fracción si cada vector en es una combinación lineal de vectores en , y viceversa; ^{[nota 3]} y ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{1}}$ ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{2}}$
• parcialmente alias de otro modo.

Finney ^[27] y Bush ^[28] introdujeron los términos "perdido" y "preservado" en el sentido que se utiliza aquí. Sin embargo, a pesar de la historia relativamente larga de este tema, su terminología no está completamente estandarizada. La literatura a menudo describe los efectos perdidos como "no estimables" en una fracción, ^[29] aunque la estimación no es la única cuestión en juego. Rao ^[30] se refirió a los efectos preservados como "medibles a partir" de la fracción.

Resolución

El grado de aliasing en un diseño fraccional determinado se mide por la resolución de la fracción, un concepto definido por primera vez por Box y Hunter: ^[5]

Se dice que un diseño factorial fraccional tiene resolución si cada efecto de factor ^{[nota 4]} no tiene alias y cada efecto tiene menos de factores. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R-p}$

Por ejemplo, un diseño tiene resolución si los efectos principales no están alias entre sí (tomando , aunque permite que los efectos principales estén alias con interacciones de dos factores. Esta suele ser la resolución más baja deseada para una fracción. No es difícil ver que una fracción de resolución también tiene resolución , etc., por lo que generalmente se habla de la resolución máxima de una fracción. ${\displaystyle R=3}$ ${\displaystyle p=1)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R-1,R-2}$

El número en la definición de resolución se entiende generalmente como un entero positivo, pero se puede considerar que el efecto de la media general es el efecto (único) sin factores (es decir, con ). Este efecto a veces aparece en las tablas de análisis de varianza . ^[31] Tiene un grado de libertad y se representa mediante un único vector, una columna de 1. ^[32] Con esta comprensión, un efecto es ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=0}$

• conservado en una fracción si no está relacionado con la media general, y
• se pierde completamente en una fracción si está completamente alias con la media general.

Una fracción tiene resolución si se conservan todos los efectos principales en ella. Si tiene resolución, también se conservan las interacciones entre dos factores. ${\displaystyle R=2}$ ${\displaystyle R=3}$

Cálculo

Las definiciones anteriores requieren algunos cálculos con vectores, que se ilustran en los ejemplos que siguen. Para ciertos diseños fraccionarios (los regulares ), se puede utilizar una técnica algebraica simple que evita estos procedimientos y brinda una manera sencilla de determinar la resolución. Esto se analiza a continuación.

Ejemplos

El experimento 2×3

La fracción {11, 12, 13} de este experimento se describió anteriormente junto con sus vectores restringidos. Se repite aquí junto con la fracción complementaria {21, 22, 23}:

En ambas fracciones, el efecto se pierde por completo (la columna es constante) mientras que los efectos de interacción y se conservan (cada columna de 3 × 1 es un vector de contraste ya que sus componentes suman 0). Además, los efectos de interacción y están completamente solapados en cada fracción: En la primera fracción, los vectores para son combinaciones lineales de los de , a saber, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}+0{\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}}}$  y ;   ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}}$

En la dirección inversa, los vectores para se pueden escribir de manera similar en términos de los que representan . El argumento en la segunda fracción es análogo. ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle B}$

Estas fracciones tienen una resolución máxima de 1. El hecho de que se pierda el efecto principal de hace que ambas fracciones sean indeseables en la práctica. Resulta que en un experimento 2 × 3 (o en cualquier experimento a × b en el que a y b sean primos entre sí ) no hay ninguna fracción que conserve ambos efectos principales, es decir, ninguna fracción tiene una resolución de 2. ${\displaystyle A}$

El experimento 2 × 2 × 2 (o 2³)

Este es un experimento de "dos niveles" con factores y . En tales experimentos, los niveles de los factores se denotan a menudo por 0 y 1, por las razones que se explican a continuación. Una combinación de tratamientos se denota entonces por un triple ordenado como 101 (más formalmente, (1, 0, 1), que denota la celda en la que y están en el nivel "1" y está en el nivel "0"). La siguiente tabla enumera las ocho celdas del experimento factorial 2 × 2 × 2 completo, junto con un vector de contraste que representa cada efecto, incluida una interacción de tres factores: ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$

Supongamos que sólo se observa la fracción que consiste en las celdas 000, 011, 101 y 110. Los vectores de contraste originales, cuando se restringen a estas celdas, ahora son 4 × 1, y se pueden ver observando sólo esas cuatro filas de la tabla. (Al ordenar la tabla, estas filas se unirán y será más fácil ver los vectores de contraste restringidos. Al ordenarlas dos veces, se colocan en la parte superior). Se puede observar lo siguiente con respecto a estos vectores restringidos : ${\displaystyle ABC}$

• La columna consta únicamente de la constante 1 repetida cuatro veces. ${\displaystyle ABC}$
• Las otras columnas son vectores de contraste, que tienen dos 1 y dos −1.
• Las columnas para y son iguales. Lo mismo se aplica para y , y para y . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AC}$
• Todos los demás pares de columnas son ortogonales. Por ejemplo, la columna para es ortogonal a la de para , para , para y para , como se puede ver al calcular productos escalares . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$

De este modo

• La interacción se pierde completamente en la fracción; ${\displaystyle ABC}$
• los demás efectos se conservan en la fracción;
• Los efectos y están completamente alias entre sí, como lo son y , y y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle AB}$
• Todos los demás pares de efectos no tienen alias. Por ejemplo, no tiene alias con las interacciones y y con las interacciones y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$

Supongamos ahora que se observa la fracción complementaria {001,010,100,111}. Se pierden o se conservan los mismos efectos que antes, y los mismos pares de efectos que antes no están mutuamente solapados. Además, y siguen estando solapados en esta fracción, ya que los vectores y son negativos entre sí, y lo mismo ocurre con y y para y . Por tanto, ambas fracciones tienen una resolución máxima de 3. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle AB}$

Alias ​​en fracciones regulares

Las dos semifracciones de un experimento factorial descrito anteriormente son de un tipo especial: cada una es el conjunto solución de una ecuación lineal que utiliza aritmética modular . Más exactamente: ${\displaystyle 2^{3}}$

• La fracción es el conjunto solución de la ecuación . Por ejemplo, es una solución porque . ${\displaystyle \{000,011,101,110\}}$ ${\displaystyle t_{1}+t_{2}+t_{3}=0{\pmod {2}}}$ ${\displaystyle 011}$ ${\displaystyle 0+1+1=0{\pmod {2}}}$
• De manera similar, la fracción es el conjunto solución de ${\displaystyle \{001,010,100,111\}}$ ${\displaystyle t_{1}+t_{2}+t_{3}=1{\pmod {2}}}$

Se dice que estas fracciones son regulares . Esta idea se aplica a las fracciones de diseños "clásicos", es decir, diseños factoriales (o "simétricos") en los que el número de niveles, , de cada uno de los factores es un primo o la potencia de un primo. ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

Un diseño factorial fraccional es regular si es el conjunto solución de un sistema de una o más ecuaciones de la forma

${\displaystyle a_{1}t_{1}+\cdots +a_{k}t_{k}=b,}$

donde la ecuación es módulo si es primo, y está en el cuerpo finito si es una potencia de un primo. ^{[nota 5]} Tales ecuaciones se denominan ecuaciones definitorias ^[33] de la fracción. Cuando la ecuación o ecuaciones definitorias son homogéneas , se dice que la fracción es principal . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle GF(s)}$ ${\displaystyle s}$

Una ecuación definitoria da como resultado una fracción de tamaño , dos ecuaciones independientes una fracción de tamaño, y así sucesivamente. Dichas fracciones se denotan generalmente como diseños. Las semifracciones descritas anteriormente son diseños. La notación a menudo incluye la resolución como subíndice, en números romanos; las fracciones anteriores son, por lo tanto, diseños. ${\displaystyle s^{k-1}}$ ${\displaystyle s^{k-2},}$ ${\displaystyle s^{k-r}}$ ${\displaystyle 2^{3-1}}$ ${\displaystyle 2_{III}^{3-1}}$

A cada expresión se asocia otra, a saber , que reescribe los coeficientes como exponentes. Tales expresiones se denominan " palabras ", un término tomado de la teoría de grupos . (En un ejemplo particular donde es un número específico, se utilizan las letras, en lugar de .) Estas palabras se pueden multiplicar y elevar a potencias, donde la palabra actúa como una identidad multiplicativa, y por lo tanto forman un grupo abeliano , conocido como el grupo de efectos . ^[34] Cuando es primo, uno tiene para cada elemento (palabra) ; algo similar ocurre en el caso de potencia prima. En experimentos factoriales, cada elemento de representa un efecto o interacción principal. En experimentos con , cada palabra de una letra representa el efecto principal de ese factor, mientras que las palabras más largas representan componentes de la interacción . ^{[35] [36] [37]} Un ejemplo a continuación ilustra esto con . ${\displaystyle a_{1}t_{1}+\cdots +a_{k}t_{k}}$ ${\displaystyle A_{1}^{a_{1}}\cdots A_{k}^{a_{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A,B,C\ldots }$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}\ldots }$ ${\displaystyle I=A_{1}^{0}\cdots A_{k}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle W^{s}=I}$ ${\displaystyle W\in \mathbb {G} }$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle s>2}$ ${\displaystyle s=3}$

A cada expresión definitoria (el lado izquierdo de una ecuación definitoria) le corresponde una palabra definitoria . Las palabras definitorias generan un subgrupo de que se denomina de diversas formas subgrupo alias , ^[34] subgrupo de contraste definitorio , ^[38] o simplemente subgrupo definitorio de la fracción. Cada elemento de es una palabra definitoria ya que corresponde a una ecuación definitoria, como se puede demostrar. ^[39] Los efectos representados por las palabras definitorias se pierden completamente en la fracción mientras que todos los demás efectos se conservan. Si , digamos, entonces la ecuación ^{[nota 6]} ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} =\{I,W_{1},\ldots ,W_{\ell }\}}$

${\displaystyle I=W_{1}=\cdots =W_{\ell }}$

se llama relación definitoria de la fracción. ^{[41] [42] [43] [44] [45]} Esta relación se utiliza para determinar la estructura de alias de la fracción: si un efecto dado está representado por la palabra , entonces sus alias se calculan multiplicando la relación definitoria por , es decir, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W=WW_{1}=\cdots =WW_{\ell },}$

donde los productos se simplifican. Esta relación indica un alias completo (no parcial) y W no presenta alias con respecto a todos los demás efectos enumerados en . ${\displaystyle WW_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$

Ejemplo 1

En cualquiera de las fracciones descritas anteriormente, la palabra definitoria es , ya que los exponentes de estas letras son los coeficientes de . El efecto se pierde completamente en la fracción, y el subgrupo definitorio es simplemente , ya que elevar al cuadrado no genera nuevos elementos . La relación definitoria es, por lo tanto, ${\displaystyle 2^{3-1}}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle t_{1}+t_{2}+t_{3}}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \{I,ABC\}}$ ${\displaystyle ((ABC)^{2}=A^{2}B^{2}C^{2}=I)}$

${\displaystyle I=ABC}$,

y multiplicando ambos lados por da ; lo que se simplifica a ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=A^{2}BC}$

${\displaystyle A=BC,}$

la relación de alias vista anteriormente. De manera similar, y . Nótese que multiplicar ambos lados de la relación de definición por y no da ninguna nueva relación de alias. ${\displaystyle B=AC}$ ${\displaystyle C=AB}$ ${\displaystyle AB,AC}$ ${\displaystyle BC}$

A modo de comparación, la fracción con ecuación definitoria tiene la palabra definitoria (es decir, ). El efecto se pierde por completo y la relación definitoria es . Al multiplicar esto por , por y por se obtienen las relaciones de alias , y entre los seis efectos restantes. Esta fracción solo tiene una resolución de 2, ya que se conservan todos los efectos (excepto ) pero se crean alias en dos efectos principales. Finalmente, al resolver la ecuación definitoria se obtiene la fracción {000, 001, 110, 111}. Se puede verificar todo esto ordenando la tabla anterior en la columna . ${\displaystyle 2^{3-1}}$ ${\displaystyle t_{1}+t_{2}=0{\pmod {2}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A^{1}B^{1}C^{0}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle I=AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle A=B}$ ${\displaystyle C=ABC}$ ${\displaystyle AC=BC}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle t_{1}+t_{2}=0{\pmod {2}}}$ ${\displaystyle AB}$El uso del módulo aritmético 2 explica por qué los niveles de los factores en tales diseños se etiquetan como 0 y 1.

Ejemplo 2

En un diseño de 3 niveles, los niveles de los factores se denotan como 0, 1 y 2, y la aritmética es módulo 3. Si hay cuatro factores, digamos y , el grupo de efectos tendrá las relaciones ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$

${\displaystyle A^{3}=B^{3}=C^{3}=D^{3}=I.}$

De aquí se deduce, por ejemplo, que y . ${\displaystyle D^{4}=D}$ ${\displaystyle D^{6}=I}$Una ecuación definitoria como produciría una fracción regular de 1/3 de las 81 (= ) combinaciones de tratamiento, y la palabra definitoria correspondiente sería . Dado que sus potencias son ${\displaystyle t_{1}+t_{2}+t_{3}+2t^{4}=0{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle 3^{4}}$ ${\displaystyle ABCD^{2}}$

${\displaystyle (ABCD^{2})^{2}=A^{2}B^{2}C^{2}D}$   y   , ${\displaystyle (ABCD^{2})^{3}=I}$

El subgrupo definitorio sería , y por lo tanto la fracción tendría relación definitoria ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \{I,ABCD^{2},A^{2}B^{2}C^{2}D\}}$

${\displaystyle I=ABCD^{2}=A^{2}B^{2}C^{2}D.}$

Multiplicando por , por ejemplo, se obtienen los alias ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=A^{2}BCD^{2}=B^{2}C^{2}D.}$

Sin embargo , por razones explicadas en otra parte ^[46] , todas las potencias de una palabra definitoria representan el mismo efecto, y la convención es elegir la potencia cuyo exponente principal sea 1. Elevar al cuadrado las dos últimas expresiones resuelve el problema ^[47] y da las relaciones de alias

${\displaystyle A=AB^{2}C^{2}D=BCD^{2}.}$

Wu y Hamada proporcionan otros doce conjuntos de tres efectos alias. ^[48] El examen de todos ellos revela que, al igual que , los efectos principales no están aliasados ​​entre sí y con los efectos de dos factores, aunque algunos efectos de dos factores están aliasados ​​entre sí. Esto significa que esta fracción tiene una resolución máxima de 4 y, por lo tanto, es de tipo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 3_{IV}^{4-1}}$

El efecto es uno de los 4 componentes de la interacción, mientras que es uno de los 8 componentes de la interacción. En un diseño de 3 niveles, cada componente de la interacción tiene 2 grados de libertad. ${\displaystyle BCD^{2}}$ ${\displaystyle B\times C\times D}$ ${\displaystyle AB^{2}C^{2}D}$ ${\displaystyle A\times B\times C\times D}$

Ejemplo 3

Un diseño ( de un diseño) se puede crear resolviendo dos ecuaciones con 5 incógnitas, digamos ${\displaystyle 2^{5-2}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle 2^{5}}$

${\displaystyle {\begin{cases}t_{1}+t_{2}+t_{4}=1\\t_{1}+t_{3}+t_{5}=1\end{cases}}}$

módulo 2. La fracción tiene ocho combinaciones de tratamiento, como 10000, 00110 y 11111, y se muestra en el artículo sobre diseños factoriales fraccionarios . ^{[nota 7]} Aquí los coeficientes en las dos ecuaciones definitorias dan palabras definitorias y . Establecer y multiplicar por da la relación de alias . La segunda palabra definitoria da de manera similar . El artículo usa estos dos alias para describir un método alternativo de construcción de la fracción. ${\displaystyle ABD}$ ${\displaystyle ACE}$ ${\displaystyle I=ABD}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=AB}$ ${\displaystyle E=AC}$

El subgrupo definitorio tiene un elemento más, a saber, el producto , haciendo uso del hecho de que . La palabra definitoria adicional se conoce como la interacción generalizada de y , ^[49] y corresponde a la ecuación , que también se satisface por la fracción. Con esta palabra incluida, la relación definitoria completa es ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle (ABD)(ACE)}$ ${\displaystyle =BCDE}$ ${\displaystyle A^{2}=I}$ ${\displaystyle BCDE}$ ${\displaystyle ABD}$ ${\displaystyle ACE}$ ${\displaystyle t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}=0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle I=ABD=ACE=BCDE}$

(estos son los cuatro elementos del subgrupo definitorio), de donde se pueden derivar todas las relaciones de alias de esta fracción; por ejemplo, multiplicando por se obtiene ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=AB=ACDE=BCE}$.

Continuando con este proceso se obtienen seis conjuntos de alias más, cada uno de los cuales contiene cuatro efectos. Un examen de estos conjuntos revela que los efectos principales no están asociados entre sí, sino que están asociados con interacciones de dos factores. Esto significa que esta fracción tiene una resolución máxima de 3. A continuación se ofrece una forma más rápida de determinar la resolución de una fracción regular.

Es de destacar que las relaciones de alias de la fracción dependen sólo del lado izquierdo de las ecuaciones que las definen, no de sus términos constantes. Por esta razón, algunos autores restringirán su atención a las fracciones principales " sin pérdida de generalidad ", aunque la reducción al caso principal a menudo requiere verificación. ^[51]

Determinación de la resolución de una fracción regular

La longitud de una palabra en el grupo de efectos se define como la cantidad de letras de su nombre, sin contar las repeticiones. Por ejemplo, la longitud de la palabra es 3. ^{[nota 8]} ${\displaystyle AB^{2}C}$

Teorema  :  La resolución máxima de un diseño fraccionario regular es igual a la longitud mínima de una palabra definitoria. ^{[52] [53]}

Utilizando este resultado, se obtiene inmediatamente la resolución de los ejemplos anteriores sin calcular relaciones de alias:

• En la fracción con palabra definitoria , la resolución máxima es 3 (la longitud de esa palabra), mientras que la fracción con palabra definitoria tiene una resolución máxima de 2. ${\displaystyle 2^{3-1}}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle AB}$
• Las palabras definitorias de la fracción fueron y , ambas de longitud 4, por lo que la fracción tiene una resolución máxima de 4, como se indica. ${\displaystyle 3^{4-1}}$ ${\displaystyle ABCD^{2}}$ ${\displaystyle A^{2}B^{2}C^{2}D}$
• En la fracción con palabras definitorias y , la resolución máxima es 3, que es la "longitud de palabra" más corta. ${\displaystyle 2^{5-2}}$ ${\displaystyle ABD,ACE}$ ${\displaystyle BCDE}$

También se podría construir una fracción a partir de las palabras definitorias y , pero el subgrupo definitorio también incluirá , su producto, y por lo tanto la fracción solo tendrá una resolución de 2 (la longitud de ). Esto es cierto a partir de dos palabras cualesquiera de longitud 4. Por lo tanto, la resolución 3 es lo mejor que se puede esperar en una fracción de tipo . ${\displaystyle 2^{5-2}}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle BCDE}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle AE}$ ${\displaystyle AE}$ ${\displaystyle 2^{5-2}}$

Como indican estos ejemplos, se deben considerar todos los elementos del subgrupo definitorio al aplicar el teorema anterior. Este teorema se considera a menudo una definición de resolución, ^{[54] [55]} pero la definición de Box-Hunter dada anteriormente se aplica a diseños fraccionarios arbitrarios y, por lo tanto, es más general.

Alias ​​en fracciones generales

Las fracciones no regulares son comunes y tienen ciertas ventajas. Por ejemplo, no están restringidas a tener un tamaño de potencia de , donde es un número primo o una potencia de un número primo. Si bien se han desarrollado algunos métodos para tratar el aliasing en diseños no regulares particulares, no ha surgido ningún esquema algebraico general. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$

Sin embargo, existe un enfoque combinatorio universal que se remonta a Rao. ^{[56] [57]} Si las combinaciones de tratamiento de la fracción se escriben como filas de una tabla, esa tabla es una matriz ortogonal . Estas filas a menudo se denominan "ejecuciones". Las columnas corresponderán a los factores, y las entradas de la tabla serán simplemente los símbolos utilizados para los niveles de los factores, y no necesitan ser números. El número de niveles no necesita ser primo o primo-potenciado, y puede variar de un factor a otro, de modo que la tabla puede ser una matriz de nivel mixto . En esta sección, se permite que los diseños fraccionarios sean de nivel mixto a menos que se restrinja explícitamente. ${\displaystyle k}$

Un parámetro clave de una matriz ortogonal es su resistencia , cuya definición se da en el artículo sobre matrices ortogonales . Por lo tanto, se puede hacer referencia a la resistencia de un diseño fraccionario. De su definición se desprenden inmediatamente dos hechos importantes:

• Si una matriz (o fracción) tiene fuerza , entonces también tiene fuerza para cada . La fuerza máxima de la matriz es de particular importancia. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle t'<t}$
• En una matriz de nivel fijo, en la que todos los factores tienen niveles, la cantidad de ejecuciones es un múltiplo de , donde es la fuerza. Aquí no es necesario que sea un primo o una potencia prima. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$

Para enunciar el siguiente resultado, es conveniente enumerar los factores del experimento del 1 al , y hacer que cada subconjunto no vacío de corresponda a un efecto o interacción principal de la siguiente manera: corresponde al efecto principal del factor , corresponde a la interacción de los factores y , y así sucesivamente. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle I=\{i\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I=\{i,j\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Teorema fundamental del aliasing ^[58]  —  Considérese una fracción de fuerza sobre factores. Sea . ${\displaystyle t\geq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I,J\subseteq \{1,\ldots ,k\}}$

1. Si , entonces el efecto correspondiente a se conserva en la fracción. ^[59] ${\displaystyle 1\leq |I|\leq t}$ ${\displaystyle I}$
2. Si y , entonces los efectos correspondientes a y no tienen alias en la fracción. ${\displaystyle |I\cup J|\leq t}$ ${\displaystyle I\neq J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Ejemplo : Consideremos un diseño factorial fraccionado con factores y máxima resistencia . Entonces: ${\displaystyle A,B,C,D,E}$ ${\displaystyle t=3}$

1. Todos los efectos de las interacciones de hasta tres factores se conservan en la fracción.
2. Los efectos principales no guardan relación entre sí ni con las interacciones de dos factores.
3. Las interacciones de dos factores no tienen alias entre sí si comparten un factor. Por ejemplo, las interacciones y no tienen alias, pero las interacciones y pueden tener alias al menos parcialmente, ya que el conjunto contiene 4 elementos, pero la fuerza de la fracción es solo 3. ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\times C}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle C\times D}$ ${\displaystyle \{A,B,C,D\}}$

El teorema fundamental tiene varias consecuencias importantes. En particular, se deduce casi inmediatamente que si una fracción tiene fuerza, entonces tiene resolución . Con suposiciones adicionales, es posible llegar a una conclusión más sólida: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+1}$

Teorema ^[60]  —  Si una fracción tiene máxima fuerza y ​​máxima resolución entonces ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R=t+1.}$

Este resultado reemplaza la condición de teoría de grupos (longitud de palabra mínima) en fracciones regulares por una condición combinatoria (fuerza máxima) en fracciones arbitrarias.

Ejemplo. Una clase importante de diseños no regulares de dos niveles son los diseños de Plackett-Burman . Como todas las fracciones construidas a partir de matrices de Hadamard , tienen una fuerza de 2 y, por lo tanto, una resolución de 3. ^[61] El diseño más pequeño de este tipo tiene 11 factores y 12 ejecuciones (combinaciones de tratamiento), y se muestra en el artículo sobre dichos diseños. Dado que 2 es su fuerza máxima, ^{[nota 9]} 3 es su resolución máxima. En la siguiente sección se ofrecen algunos detalles sobre su patrón de aliasing.

Alias ​​parcial

En las fracciones regulares no hay aliasing parcial: cada efecto se conserva o se pierde por completo, y los efectos no tienen aliasing o tienen aliasing completo. Lo mismo ocurre en los experimentos regulares con si se consideran solo los efectos principales y los componentes de la interacción. Sin embargo, en este último caso se produce una forma limitada de aliasing parcial. Por ejemplo, en el diseño descrito anteriormente, la interacción general se pierde parcialmente, ya que su componente se pierde por completo en la fracción, mientras que sus otros componentes (como ) se conservan. De manera similar, el efecto principal de tiene aliasing parcial con la interacción, ya que tiene aliasing completo con su componente y no tiene aliasing con los demás. ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle s>2}$ ${\displaystyle 3^{4-1}}$ ${\displaystyle A\times B\times C\times D}$ ${\displaystyle ABCD^{2}}$ ${\displaystyle AB^{2}C^{2}D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\times C\times D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BCD^{2}}$

Por el contrario, el aliasing parcial no está controlado y es generalizado en las fracciones no regulares. En el diseño de Plackett-Burman de 12 ejecuciones descrito en la sección anterior, por ejemplo, con factores etiquetados hasta , el único aliasing completo es entre "efectos complementarios" como y o y . Aquí el efecto principal del factor no tiene aliasing con los otros efectos principales y con la interacción, pero tiene aliasing parcial con 45 de las 55 interacciones de dos factores, 120 de las 165 interacciones de tres factores y 150 de las 330 interacciones de cuatro factores. Este fenómeno se describe generalmente como aliasing complejo . ^[62] De manera similar, 924 efectos se conservan en la fracción, 1122 efectos se pierden parcialmente y solo uno (la interacción de nivel superior ) se pierde por completo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BCDEFGHIJK}$ ${\displaystyle ABCJK}$ ${\displaystyle DEFGHI}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle ABCDEFGHIJK}$

Análisis de varianza (ANOVA)

Wu y Hamada ^[63] analizan un conjunto de datos recopilados con el diseño fraccional descrito anteriormente. La prueba de significancia en el análisis de varianza (ANOVA) requiere que la suma de cuadrados del error y los grados de libertad del error sean distintos de cero. Para garantizar esto, se han tomado dos decisiones de diseño: ${\displaystyle 3_{IV}^{4-1}}$

• Se ha supuesto que no hay interacciones entre tres o cuatro factores. Esta decisión es coherente con el principio de jerarquía de efectos . ^[64]
• Es necesaria la replicación (inclusión de observaciones repetidas). En este caso, se realizaron tres observaciones en cada una de las 27 combinaciones de tratamientos de la fracción, para un total de 81 observaciones.

La tabla adjunta muestra solo dos columnas de una tabla ANOVA ^[65] para este experimento. Solo se enumeran los efectos principales y los componentes de las interacciones de dos factores, incluidos tres pares de alias. Se espera que haya alias entre algunas interacciones de dos factores, ya que la resolución máxima de este diseño es 4.

En este experimento se estudiaron dos variables de respuesta. En ambos casos, algunas interacciones con alias fueron estadísticamente significativas. Esto plantea un desafío de interpretación, ya que sin más información o suposiciones adicionales es imposible determinar qué interacción es responsable de la significancia. En algunos casos puede haber una base teórica para hacer esta determinación. ^[66]

Este ejemplo muestra una ventaja de los diseños fraccionales. El experimento factorial completo tiene 81 combinaciones de tratamientos, pero tomar una observación en cada una de ellas no dejaría ningún grado de libertad para el error. El diseño fraccional también utiliza 81 observaciones, pero en sólo 27 combinaciones de tratamientos, de tal manera que se pueden hacer inferencias sobre los efectos principales y sobre (la mayoría de) las interacciones de dos factores. Esto puede ser suficiente para fines prácticos. ${\displaystyle 3^{4}}$

Historia

El primer uso estadístico del término "aliasing" impreso es el artículo de 1945 de Finney, ^[67] que trataba de fracciones regulares con 2 o 3 niveles. El término se importó a la teoría del procesamiento de señales unos años más tarde, posiblemente influenciado por su uso en experimentos factoriales; la historia de ese uso se describe en el artículo sobre aliasing en el procesamiento de señales .

El artículo de 1961 en el que Box y Hunter introdujeron el concepto de "resolución" se ocupó de los diseños regulares de dos niveles, pero su definición inicial ^[5] no hace referencia a las longitudes de las palabras definitorias y, por lo tanto, puede entenderse de manera bastante general. De hecho, Rao hace un uso implícito de la resolución en su artículo de 1947 ^[68] en el que introduce las matrices ortogonales, lo que se refleja en una importante desigualdad de parámetros que desarrolla. Distingue los efectos en los diseños completos y fraccionarios mediante el uso de los símbolos y (que corresponden a y ), pero no menciona el aliasing. ${\displaystyle [\cdots ]}$ ${\displaystyle \{\cdots \}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\widetilde {U}}}$

El término confuso se utiliza a menudo como sinónimo de alias , por lo que hay que leer la bibliografía con atención. El primer término "se reserva generalmente para la indistinguibilidad de un contraste de tratamiento y un contraste de bloques", ^[69] es decir, para la confusión con bloques . Kempthorne ha demostrado ^[70] cómo la confusión con bloques en un experimento de -factores puede verse como alias en un diseño fraccional con factores, pero no está claro si se puede hacer lo contrario. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$

Véase también

• Los diseños factoriales fraccionados analizan ejemplos en experimentos de dos niveles.

Notas

1. El número de combinaciones de tratamientos crece exponencialmente con el número de factores en el experimento. ^[2]
2. Compare el ejemplo del artículo sobre la interacción.
3. En una exposición más formal, los conjuntos y son espacios vectoriales , y dos efectos están completamente alias en la fracción si ^[26] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\widetilde {U}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{1}={\widetilde {U}}_{2}.}$
4. Un efecto de 1 factor es el efecto principal de un solo factor. Para , un efecto de -factor es una interacción entre factores. El efecto de 0 factores es el efecto de la media general, que se describe a continuación. ${\displaystyle p\geq 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$
5. El caso que es primo se menciona por separado solo para mayor claridad, ya que el conjunto de números enteros módulo es en sí mismo un campo finito, aunque a menudo se denota en lugar de . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /s}$ ${\displaystyle GF(s)}$
6. Las igualdades en esta ecuación son una convención y representan una especie de equivalencia de elementos del grupo. ^[40] En una exposición más formal, representan la igualdad real de espacios de vectores restringidos, donde el elemento identidad representa el espacio de vectores constantes. ${\displaystyle {\widetilde {U}}}$ ${\displaystyle I}$
7. Ese artículo utiliza una notación alternativa para las combinaciones de tratamientos; por ejemplo, 10000, 00110 y 11111 se expresan como y . ${\displaystyle a,cd}$ ${\displaystyle abcde}$
8. Esto difiere de la definición utilizada en la teoría de grupos , que cuenta las repeticiones. Según esta última visión, la longitud de es 4. ${\displaystyle AB^{2}C}$
9. La fuerza no puede ser 3 ya que 12 no es múltiplo de . ${\displaystyle 2^{3}}$

Citas

1. Cheng (2019, pág. 5)
2. Mukerjee y Wu (2006, págs. 1-2)
3. Kempthorne (1947, pág. 390)
4. Dean, Voss y Draguljić (2017, p.495)
5. Box & Hunter (1961, pág. 319)
6. Jankowski y otros (2016)
7. Kempthorne (1947, sección 21.7)
8. Cornell (2006, secciones 7.6-7.7)
9. Hamada y Wu (1992, ejemplos 1 y 3)
10. Box, Hunter & Hunter (2005, secciones 6.3 y 6.4)
11. Dean, Voss y Draguljić (2017, capítulo 7)
12. Hamada y Wu (1992, ejemplo 2)
13. Nair y otros (2008)
14. Collins y otros (2009)
15. Kempthorne (1947, pág. 390)
16. Dean y Lewis (2006)
17. Cheng (2019, pág. 117)
18. Hocking (1985, pág. 73). Hocking y otros utilizan el término "media poblacional" para el valor esperado.
19. Hocking (1985, págs. 140-141)
20. Kuehl (2000, págs. 186-187)
21. Bose (1947, pág. 110)
22. Beder (2022, pág. 161)
23. Beder (2022, Ejemplo 5.21)
24. Kuehl (2000, pág. 202)
25. Cheng (2019, pág. 78)
26. Beder (2022, definición 6.4)
27. Finney (1945, pág. 293)
28. Bush (1950, pág. 3)
29. Mukerjee y Wu (2006, Teorema 2.4.1)
30. Rao (1947, pág. 135)
31. Searle (1987, pág. 30)
32. Beder (2022, pág. 165)
33. Cheng (2019, pág. 141)
34. Finney (1945, pág. 293)
35. Montgomery (2013, pág. 397 y siguientes)
36. Wu y Hamada (2009, Sección 6.3)
37. Beder (2022, pág. 188)
38. Wu y Hamada (2009, pág. 209)
39. Beder (2022, pág. 224)
40. Beder (2022, pág. 234)
41. Cheng (2019, pág. 140)
42. Dean, Voss y Draguljić (2017, p.496)
43. Montgomery (2013, pág. 322)
44. Mukerjee y Wu (2006, pág. 26)
45. Wu y Hamada (2009, pág. 207)
46. Wu y Hamada (2009, pág. 272)
47. Esto utiliza relaciones como ${\displaystyle A^{4}=A}$
48. Wu y Hamada (2009, pág. 275)
49. Barnard (1936, pág. 197)
50. Beder (2022, prueba de la Proposición 6.6)
51. Véase, por ejemplo, ^[50] .
52. Raghavarao (1988, pág. 278)
53. Beder (2022, p. 238). El elemento de identidad del subgrupo definitorio no es una palabra definitoria.
54. Cheng (2019, pág. 147)
55. Wu y Hamada (2009, pág. 210)
56. Rao (1947)
57. Rao (1973, pág. 354)
58. Beder (2022, Teorema 6.43)
59. Bush (1950, pág. 3)
60. Beder (2022, Teorema 6.51)
61. Hedayat, Sloane y Stufken (1999, teorema 7.5)
62. Wu y Hamada (2009, Capítulo 9)
63. Wu y Hamada (2009, Sección 6.5)
64. Hamada y Wu (1992, pág. 132)
65. Wu y Hamada (2009, Tablas 6.6 y 6.7)
66. Wu y Hamada (2009, págs. 279–280)
67. Finney (1945, pág. 292)
68. Rao (1947)
69. Dean, Voss y Draguljić (2017, p.495)
70. Kempthorne (1947, págs. 264-268)

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