Teoría de Donaldson-Thomas

En matemáticas, específicamente en geometría algebraica , la teoría de Donaldson-Thomas es la teoría de las invariantes de Donaldson-Thomas . Dado un espacio de módulos compacto de gavillas en un triple de Calabi-Yau , su invariante de Donaldson-Thomas es el número virtual de sus puntos, es decir, la integral de la cohomología clase 1 contra la clase fundamental virtual . La invariante de Donaldson-Thomas es un análogo holomórfico de la invariante de Casson . Las invariantes fueron introducidas por Simon Donaldson y Richard Thomas  (1998). Los invariantes de Donaldson-Thomas tienen estrechas conexiones con los invariantes de Gromov-Witten del triple algebraico y la teoría de pares estables debida a Rahul Pandharipande y Thomas.

La teoría de Donaldson-Thomas está motivada físicamente por ciertos estados BPS que ocurren en la teoría de cuerdas y calibres ^{[1] pág.5} . Esto se debe al hecho de que las invariantes dependen de una condición de estabilidad de la categoría derivada de los espacios de módulos que se estudian. Esencialmente, estas condiciones de estabilidad corresponden a puntos en el espacio de módulos de Kahler de una variedad de Calabi-Yau, como se considera en simetría especular , y la subcategoría resultante es la categoría de estados BPS para la SCFT correspondiente . ${\displaystyle D^{b}({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset D^{b}({\mathcal {M}})}$

Definición y ejemplos

La idea básica de las invariantes de Gromov-Witten es sondear la geometría de un espacio mediante el estudio de mapas pseudoholomórficos desde superficies de Riemann hasta un objetivo suave. La pila de módulos de todos estos mapas admite una clase fundamental virtual, y la teoría de intersección en esta pila produce invariantes numéricos que a menudo pueden contener información enumerativa. Con un espíritu similar, el enfoque de la teoría de Donaldson-Thomas es estudiar las curvas en un triple algebraico mediante sus ecuaciones. Más exactamente, estudiando las gavillas ideales en un espacio. Este espacio de módulos también admite una clase fundamental virtual y produce ciertos invariantes numéricos que son enumerativos.

Mientras que en la teoría de Gromov-Witten, se permite que los mapas sean cubiertas múltiples y componentes colapsados ​​de la curva de dominio, la teoría de Donaldson-Thomas permite información nilpotente contenida en las gavillas; sin embargo, estas son invariantes de valores enteros. Hay conjeturas profundas debidas a Davesh Maulik, Andrei Okounkov , Nikita Nekrasov y Rahul Pandharipande , demostradas con una generalidad cada vez mayor, que las teorías algebraicas triples de Gromov-Witten y Donaldson-Thomas son en realidad equivalentes. ^[2] Más concretamente, sus funciones generadoras son iguales después de un cambio apropiado de variables. Para los triples de Calabi-Yau, las invariantes de Donaldson-Thomas se pueden formular como característica de Euler ponderada en el espacio de módulos. También ha habido conexiones recientes entre estos invariantes, el álgebra motívica de Hall y el anillo de funciones del toro cuántico. ^{[ se necesita aclaración ]}

• El espacio de módulos de líneas en el triple quíntico es un conjunto discreto de 2875 puntos. El número virtual de puntos es el número real de puntos y, por tanto, la invariante Donaldson-Thomas de este espacio de módulos es el número entero 2875.
• De manera similar, la invariante de Donaldson-Thomas del espacio de módulos de las cónicas en la quíntica es 609250.

Definición

Para un triple Calabi-Yau ^{[3] [4]} y una clase de cohomología fija, hay una pila de módulos asociada de gavillas coherentes con carácter Chern . En general, se trata de una pila Artin no separada de tipo infinito sobre la que es difícil definir invariantes numéricos. En cambio, hay subpilas abiertas que parametrizan dichas gavillas coherentes a las que se les impone una condición de estabilidad , es decir, gavillas estables. Estas pilas de módulos tienen propiedades mucho mejores, como estar separadas de tipos finitos. La única dificultad técnica es que pueden tener malas singularidades debido a la existencia de obstrucciones o deformaciones de un haz fijo. En particular ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{\text{even}}(Y,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(Y,\alpha )}$ ${\displaystyle c({\mathcal {E}})=\alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{[{\mathcal {E}}]}{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\\{\text{Ob}}_{[{\mathcal {E}}]}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ))&\cong {\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\end{aligned}}}$

Ahora bien, porque es Calabi-Yau, la dualidad de Serre implica ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}\otimes \omega _{Y})^{\vee }\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})^{\vee }}$

lo que da una teoría de obstrucción perfecta de dimensión 0. En particular, esto implica la clase fundamental virtual asociada

${\displaystyle [{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}\in H_{0}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ),\mathbb {Z} )}$

está en grado homológico . Entonces podemos definir la invariante DT como ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \int _{[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}}1}$

que depende de la condición de estabilidad y la clase de cohomología . Thomas demostró que para una familia fluida la invariante definida anteriormente no cambia. Al principio, los investigadores eligieron la condición de estabilidad de Gieseker, pero en los últimos años se han estudiado otras invariantes DT basadas en otras condiciones de estabilidad, lo que ha llevado a fórmulas de cruce de paredes. ^[5] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Y_{t}}$

Hechos

• La invariante de Donaldson-Thomas del espacio de módulos M es igual a la característica ponderada de Euler de M. La función de peso asocia a cada punto de M un análogo del número de Milnor de una singularidad de hiperplano.

Generalizaciones

• En lugar de espacios de módulos de gavillas, se consideran espacios de módulos de objetos de categorías derivadas . Eso da las invariantes Pandharipande-Thomas que cuentan pares estables de Calabi-Yau tres veces.
• En lugar de invariantes con valores enteros, se consideran invariantes motívicos .

Ver también

• Geometría enumerativa
• Invariante de Gromov-Witten
• Esquema Hilbert
• Cohomología cuántica

Referencias

1. Bridgeland, Tom (8 de febrero de 2006). "Condiciones de estabilidad en categorías trianguladas". arXiv : matemáticas/0212237 .
2. Maulik, D.; Nekrasov, N.; Okounkov, A.; Pandharipande, R. (2006). "Teoría de Gromov-Witten y teoría de Donaldson-Thomas, I". Composición Matemática . 142 (5): 1263-1285. arXiv : matemáticas/0312059 . doi :10.1112/S0010437X06002302. S2CID  5760317.
3. Szendrői, Balázs (2016). "Teoría cohomológica de Donaldson-Thomas". String-Math 2014 . Actas de simposios de matemática pura. vol. 93. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 363–396. arXiv : 1503.07349 . doi :10.1090/pspum/093/01589 (inactivo 2024-06-23). ISBN 978-1-4704-1992-9. SEÑOR  3526001.{{cite conference}}: CS1 maint: DOI inactive as of June 2024 (link)
4. Thomas, RP (2000). "Una invariante holomorfa de Casson para Calabi-Yau triple y paquetes de fibraciones $ K3 $". Revista de Geometría Diferencial . 54 (2): 367–438. arXiv : matemáticas/9806111 . doi :10.4310/jdg/1214341649. SEÑOR  1818182.
5. Kontsevich, Máxima; Soibelman, Yan (16 de noviembre de 2008). "Estructuras de estabilidad, invariantes motívicas de Donaldson-Thomas y transformaciones de conglomerados". arXiv : 0811.2435 [matemáticas.AG].

• Donaldson, Simon K .; Thomas, Richard P. (1998), "Teoría de calibre en dimensiones superiores", en Huggett, SA; Mason, LJ; Tod, KP; Tsu, ST; Woodhouse, NMJ (eds.), El universo geométrico (Oxford, 1996) , Oxford University Press , págs. 31–47, ISBN 978-0-19-850059-9, señor  1634503
• Kontsevich, Maxim (2007), Invariantes Donaldson-Thomas (PDF) , Mathematische Arbeitstagung, Bonn{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)