Distribución de Holtsmark

La distribución de Holtsmark (unidimensional) es una distribución de probabilidad continua . La distribución de Holtsmark es un caso especial de una distribución estable con el índice de estabilidad o parámetro de forma igual a 3/2 y el parámetro de asimetría igual a cero. Como es igual a cero, la distribución es simétrica y, por lo tanto, un ejemplo de una distribución alfa-estable simétrica. La distribución de Holtsmark es uno de los pocos ejemplos de una distribución estable para la que se conoce una expresión en forma cerrada de la función de densidad de probabilidad . Sin embargo, su función de densidad de probabilidad no se puede expresar en términos de funciones elementales ; más bien, la función de densidad de probabilidad se expresa en términos de funciones hipergeométricas . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

La distribución de Holtsmark tiene aplicaciones en la física del plasma y la astrofísica. ^[1] En 1919, el físico noruego Johan Peter Holtsmark propuso la distribución como modelo para los campos fluctuantes en el plasma debido al movimiento de partículas cargadas. ^[2] También es aplicable a otros tipos de fuerzas de Coulomb, en particular al modelado de cuerpos gravitacionales, y por lo tanto es importante en astrofísica. ^{[3] [4]}

Función característica

La función característica de una distribución estable simétrica es:

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{\alpha }~\right],}$

donde es el parámetro de forma, o índice de estabilidad, es el parámetro de ubicación , y c es el parámetro de escala . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$

Dado que la distribución de Holtsmark tiene su función característica es: ^[5] ${\displaystyle \alpha =3/2,}$

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right].}$

Dado que la distribución de Holtsmark es una distribución estable con α > 1 , representa la media de la distribución. ^{[6] [7]} Dado que β = 0 , también representa la mediana y la moda de la distribución. Y dado que α < 2 , la varianza de la distribución de Holtsmark es infinita. ^[6] Todos los momentos superiores de la distribución también son infinitos. ^[6] Al igual que otras distribuciones estables (distintas de la distribución normal), dado que la varianza es infinita, la dispersión en la distribución se refleja en el parámetro de escala , c. Un enfoque alternativo para describir la dispersión de la distribución es a través de momentos fraccionarios. ^[6] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Función de densidad de probabilidad

En general, la función de densidad de probabilidad , f ( x ), de una distribución de probabilidad continua se puede derivar de su función característica mediante:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.}$

La mayoría de las distribuciones estables no tienen una expresión en forma cerrada conocida para sus funciones de densidad de probabilidad. Solo las distribuciones normal , de Cauchy y de Lévy tienen expresiones en forma cerrada conocidas en términos de funciones elementales . ^[1] La distribución de Holtsmark es una de las dos distribuciones estables simétricas que tienen una expresión en forma cerrada conocida en términos de funciones hipergeométricas . ^[1] Cuando es igual a 0 y el parámetro de escala es igual a 1, la distribución de Holtsmark tiene la función de densidad de probabilidad: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={1 \over \pi }\,\Gamma \left({5 \over 3}\right){_{2}F_{3}}\!\left({5 \over 12},{11 \over 12};{1 \over 3},{1 \over 2},{5 \over 6};-{4x^{6} \over 729}\right)\\&{}\quad {}-{x^{2} \over 3\pi }\,{_{3}F_{4}}\!\left({3 \over 4},{1},{5 \over 4};{2 \over 3},{5 \over 6},{7 \over 6},{4 \over 3};-{4x^{6} \over 729}\right)\\&{}\quad {}+{7x^{4} \over 81\pi }\,\Gamma \left({4 \over 3}\right){_{2}F_{3}}\!\left({13 \over 12},{19 \over 12};{7 \over 6},{3 \over 2},{5 \over 3};-{4x^{6} \over 729}\right),\end{aligned}}}$

donde es la función gamma y es una función hipergeométrica . ^[1] También se tiene ^[8] ${\displaystyle {\Gamma (x)}}$ ${\displaystyle \;_{m}F_{n}()}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {-x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)+~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)\right]\\&+{\frac {4}{3\times 3^{2/3}}}\left[\mathrm {Bi} '\left(-{\frac {x^{2}}{3\times 3^{1/3}}}\right)\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+{\frac {x}{3^{2/3}}}~\mathrm {Bi} \left(-{\frac {x^{2}}{3\times 3^{1/3}}}\right)\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right],\end{aligned}}}$

donde es la función de Airy de segundo tipo y su derivada. Los argumentos de las funciones son números complejos imaginarios puros, pero la suma de las dos funciones es real. Para los positivos, la función está relacionada con las funciones de Bessel de orden fraccionario y y su derivada con las funciones de Bessel de orden fraccionario y . Por lo tanto, se puede escribir ^[8] ${\displaystyle \mathrm {Bi} }$ ${\displaystyle \mathrm {Bi} '}$ ${\displaystyle _{2}F_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {Bi} (-x)}$ ${\displaystyle J_{-1/3}}$ ${\displaystyle J_{1/3}}$ ${\displaystyle J_{-2/3}}$ ${\displaystyle J_{2/3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {4x^{2}}{27{\sqrt {3}}}}\left\{\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-2/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+J_{2/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right]+\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-1/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right]\right\}\\&-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)+~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Referencias

1. Lee, WH (2010). Propiedades continuas y discretas de procesos estocásticos (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Nottingham . págs. 37–39.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)^{[ enlace muerto permanente ]}
2. Holtsmark, J. (1919). "Uber die Verbreiterung von Spektrallinien". Annalen der Physik . 363 (7): 577–630. Código bibliográfico : 1919AnP...363..577H. doi : 10.1002/andp.19193630702.
3. Chandrasekhar, S.; J. von Neumann (1942). "Las estadísticas del campo gravitacional que surge de una distribución aleatoria de estrellas. I. La velocidad de las fluctuaciones". The Astrophysical Journal . 95 : 489. Bibcode :1942ApJ....95..489C. doi :10.1086/144420. ISSN  0004-637X.
4. Chandrasekhar, S. (1 de enero de 1943). "Problemas estocásticos en física y astronomía". Reseñas de Física Moderna . 15 (1): 1–89. Bibcode :1943RvMP...15....1C. doi :10.1103/RevModPhys.15.1.
5. Zolotarev, VM (1986). Distribuciones estables unidimensionales . Providence, RI: American Mathematical Society . pp. 1, 41. ISBN. 978-0-8218-4519-6.marca de holt.
6. Nolan, JP (2008). "Propiedades básicas de distribuciones estables univariadas" (PDF) . Distribuciones estables: modelos para datos de cola pesada . pp. 3, 15–16 . Consultado el 6 de febrero de 2011 .
7. Nolan, JP (2003). "Modelado de datos financieros". En Rachev, ST (ed.). Manual de distribuciones de cola pesada en finanzas . Ámsterdam: Elsevier . págs. 111–112. ISBN. 978-0-444-50896-6.
8. Pain, Jean-Christophe (2020). "Expresión de la función de Holtsmark en términos de funciones hipergeométricas y de Airy ". Eur. Phys. J. Plus . 135 : 236. arXiv : 2001.11893 . doi :10.1140/epjp/s13360-020-00248-4. S2CID  211030564. ${\displaystyle _{2}F_{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Bi} }$

• Hummer, DG (1986). "Aproximaciones racionales para la distribución de Holtsmark, su derivada y su acumulación". Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 36 : 1–5. Bibcode :1986JQSRT..36....1H. doi :10.1016/0022-4073(86)90011-7.