Discusión:Polinomios de Legendre asociados

Convención de signos

Existen dos convenciones de signos para los polinomios de Legendre asociados; algunos autores incluyen un factor de (fase de Condon-Shortley) (por ejemplo, Arfken, Mathematical methods for physicists, p. 669). Para los geofísicos es interesante saber que Grant y West (Interpretation Theory in Applied Geophysics, 1965, p. 223) omiten el factor. Véase también http://mathworld.wolfram.com/Condon-ShortleyPhase.html —Comentario anterior sin signo añadido por 124.177.116.210 ( discusión ) 00:40, 31 octubre 2009 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle \left(-1\right)^{m}}$

ortogonalidad

Eliminé la siguiente condición de ortogonalidad agregada recientemente por el usuario: Physicistjedi :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx=\delta _{m,n}{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}}$

No sólo está roto para m=0, sino que también es falso para l=1, m=1, n=-1, si uno simplemente introduce las fórmulas para estos casos en la siguiente sección. linas 00:30, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Vale, se necesita más explicación. Se desvanece para y a partir de la delta de Kronecker y la integral diverge para . Por lo tanto, no creo que haya ningún problema allí. Pero es complicado para n=-m, porque y son iguales hasta una constante. Tal vez deberíamos poner la condición m>0 y escribir qué hacer para m<=0. ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle m=n=0}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{-m}}$

Por lo demás, la fórmula es correcta. He comprobado en MathWorld y Arfken&Weber. ¿Qué opinas? physicistjedi 03:24, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

La división por cero es una notación peligrosa para el infinito, porque no indica el límite en el que se aproxima al infinito (lo que marca una gran diferencia en el análisis complejo). Y si m es positivo y n es negativo, siempre puedo intercambiar m y n para violar las condiciones, por lo que tendrás que elegir la redacción con cuidado. Si la fórmula básica es correcta, no tengo quejas; pero el artículo debería ser preciso y evitar cosas que hagan que un lector ingenuo como yo se estremezca al verlo. linas 04:21, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Además, la afirmación sobre m=0 es falsa: tomemos l=2, m=0, n=2, la integral es cero, no infinita. linas 04:24, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Estoy de acuerdo, como dije anteriormente, y el caso desaparece. physicistjedi 05:05, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$

Así que propongo:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}\delta _{m,n}{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m>0,n>0\\0&{\mbox{if }}m=0,n>0\\\infty &{\mbox{if }}m=0,n=0\end{cases}}}$

Junto con:

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{\ell }^{m}}$

¿Algún comentario? physicistjedi 05:05, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Esa fórmula no es simétrica en m y n (no define la integral cuando m > 0 y n = 0). La escribiría como

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{if }}m=n=0\end{cases}}}$

Además, en algún lugar del artículo se debería mencionar el rango de los parámetros (algo así como " y" para la definición elemental, supongo). -- Jitse Niesen ( discusión ) 06:51, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle \ell \in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m\in \{-\ell ,-\ell +1,\ldots ,\ell -1,\ell \}}$

¡Vaya! No esperaba que esto resultara tan complicado. ¡Wikipedia será más precisa que cualquier libro! Por ejemplo, tu fórmula no funciona para n=-m que no es cero. Lo que escribí puede no parecer simétrico, pero m>0,n=0 es obviamente lo mismo con el segundo caso. Pero probablemente podamos hacerlo mejor. Por cierto, escribir los índices es un buen punto. ¿Cómo me lo salté? Lo voy a añadir inmediatamente. physicistjedi 08:30, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Intentamos ser lo más precisos posible en WP. A veces fallamos, pero no por falta de esfuerzo. linas 00:00, 17 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

"La fórmula no funciona para n=-m" — sí, tienes razón. Por lo tanto, o bien añades un cuarto caso para cubrir esto, o bien estipulas que n y m deben ser no negativos. Otra cosa que no me gusta de "tu" fórmula es que utilizas ambos casos y el delta de Kronecker, que conceptualmente hacen lo mismo. Pero parece ser correcta, así que es sólo una cuestión de presentación. -- Jitse Niesen ( discusión ) 10:18, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Entonces escribiremos esto:

"Para y existe una relación de ortogonalidad separada para el mismo índice inferior: ${\displaystyle m\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{if }}m=n=0\end{cases}}}$

Los índices superiores negativos se relacionan con los positivos con la siguiente identidad:

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{\ell }^{m}}$" physicistjedi 19:39, 16 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Como no hay objeciones hasta el momento, voy a pasar esto al artículo principal. physicistjedi 15:58, 28 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Mis cambios recientes

Hay tres aspectos de mis cambios recientes que podrían justificar discusión o controversia:

(1) He utilizado la convención de superíndices de parámetros entre paréntesis, la misma que se utilizó en la página de polinomios ortogonales . Esto se inspiró en la convención utilizada con los polinomios de Jacobi y Gegenbauer, pero no es un "estándar de la industria" más allá de eso. Estoy empezando a preguntarme si vale la pena. Esto no es una "investigación original", pero podría estar al borde de la "estandarización original".

(2) He eliminado la implicación de que con valores negativos de m es realmente significativo. Es cierto que existe una noción muy importante, en el campo de los armónicos esféricos, de que m se encuentra en el rango . (¡La tabla periódica de los elementos se vería muy diferente si esto no fuera así!) Pero esos valores negativos no especifican cosas como . Especifican una fase diferente del ángulo polar . Por lo tanto, creo que, antes de dar el salto de los polinomios de Legendre a los armónicos esféricos y la mecánica cuántica, el requisito debería ser . ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle -\ell \leq m\leq \ell }$ ${\displaystyle P_{4}^{-3}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 0\leq m\leq \ell }$

(3) Algunos textos (Abramowitz y Stegun, Whittaker y Watson) definen las cosas con en lugar del que se utiliza aquí. Eso sería más natural cuando se definen funciones analíticas en el plano complejo, pero no funciona para el caso importante del intervalo real [-1, 1]. En consecuencia, he cambiado las cosas y he modificado y comprobado las fórmulas. Cuando se generalizan al plano complejo, las cosas funcionan igual que en A&S y W&W. ${\displaystyle (z^{2}-1)^{\mu /2}}$ ${\displaystyle (1-z^{2})^{\mu /2}}$

¿Comentarios? ¿Quejas? William Ackerman 20:42, 12 de mayo de 2006 (UTC) [ responder ]

No polinomio

Tenga en cuenta que el nombre correcto para estas funciones es Funciones de Legendre Asociadas ; no siempre son polinomios. Es un pequeño cambio para no tener que discutirlo. ¿Alguna idea? MFago 23:08, 1 de junio de 2006 (UTC) [ responder ]

No deberíamos preocuparnos demasiado por cuál es el nombre correcto , sino que deberíamos utilizar el nombre que se utiliza en la actualidad. He comprobado lo que dice Abramowitz y Stegun y utilizan la función Associated Legendre , que permite cambiar el nombre. -- Jitse Niesen ( discusión ) 14:25 2 jun 2006 (UTC) [ responder ]

No existe una solución realmente buena para esto. La nomenclatura actual es un desastre. El problema es que existen tres niveles de generalidad de las funciones : ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$

• El caso más restringido se da cuando l es un entero no negativo y m es cero. Éstos son los polinomios de Legendre. Son el tema del capítulo 22 de Abramowitz y Stegun. No creo que ese capítulo mencione el caso de m distinto de cero, ni utilice la palabra "asociado" o "generalizado".
• El caso más general es el de l y m arbitrarios. Se trata de las "funciones de Legendre" y son el tema del capítulo 8 de A&S. También son el tema de un capítulo en Whittaker & Watson. Dado que son completamente generales, no hay necesidad de hablar de una versión "general" de ellas, aunque A&S utiliza la frase (en una introducción algo confusa) "funciones de Legendre asociadas".
• Entre ambos casos, tenemos el de los números enteros l y m, siendo m distinto de cero. Si los llamamos "funciones de Legendre generalizadas", eso sugiere que son más generales que las "funciones de Legendre", lo cual no es así.

Creo que tenemos dos opciones (además de las "funciones asociadas con los polinomios de Legendre", totalmente correctas pero imprácticas):

• Llamémoslas "funciones de Legendre asociadas". No es mentira, pero sugiere que "asociadas" significa algo distinto de "más generales", ya que en realidad son menos generales.
• Déjenlos como "polinomios de Legendre asociados", junto con la advertencia de que en realidad no son polinomios, sin explicar (excepto a las personas que leen esta página de discusión) por qué usamos un término tan incorrecto. Este término, correcto o no, parece usarse en la literatura de física y matemáticas aplicadas. ¿Está la gente de acuerdo?

Podría aceptar cualquiera de las dos opciones. ¿Opiniones? William Ackerman 21:38, 12 de junio de 2006 (UTC) [ responder ]

No estoy completamente seguro de que los "polinomios de Legendre asociados" sean más frecuentes en la literatura, pero, como usted sugiere, la nomenclatura existente es un desastre. ¿Qué tal si (ya que las funciones de Legendre asociadas redireccionan aquí) añadimos una sola frase a la introducción similar a Los polinomios de Legendre asociados también se denominan funciones de Legendre asociadas , lo que quizás sea más correcto ya que no son polinomios cuando . ${\displaystyle m\neq 0}$ MFago 14:51, 13 de junio de 2006 (UTC) [ responder ]

De hecho, existe una frase de ese tipo en "Definición". Sugiero simplemente trasladarla a la introducción. MFago 20:23, 13 de junio de 2006 (UTC) [ responder ]

Por supuesto. Cuando no hay una buena manera de presentarlo que oculte los hechos, simplemente se exponen los hechos. Listo. También cambié el título de una sección para evitar usar la frase "funciones generales de Legendre". William Ackerman 22:17, 13 de junio de 2006 (UTC) [ responder ]

Movimiento solicitado

Polinomios de Legendre asociados → Función de Legendre asociada — Como ya han señalado otros, estas funciones no son generalmente polinomios. Probablemente la página ya se hubiera movido, pero no puede ser, porque el nombre de destino ya existe y redirecciona a Polinomios de Legendre asociados. Creo que deberíamos utilizar el término función y dejar que Polinomios AL redireccione a él. EricK 18:01, 21 de febrero de 2007 (UTC) [ responder ]

Encuesta

Agrega   # '''Apoyo'''   o   # '''Oposición'''   en una nueva línea en la sección correspondiente, seguido de una breve explicación y luego firma tu opinión usando ~~~~. Recuerda que esta encuesta no es una votación y brinda una explicación de tu recomendación.

Encuesta - en apoyo a la medida

1. Soporte : Las funciones simplemente no siempre son polinomios, y esto genera mucha confusión. Por ejemplo, los esquemas de integración en cuadratura de Gauss-Legendre solo son exactos cuando el integrando es un polinomio, pero si el integrando fuera una función de Legendre, no habría ninguna posibilidad. Lunokhod 19:59, 21 de febrero de 2007 (UTC) [ responder ]

1. Apoyo : Estoy de acuerdo: las funciones no siempre son polinomios, y esto genera mucha confusión. No vale la pena citar fuentes: hay miles, y la tabla de funciones de Legendre asociadas que aparece en el artículo muestra claramente que no todas son polinomios. 76.93.153.69 (discusión) 22:23 11 dic 2016 (UTC) [ responder ]

Encuesta - en contra de la medida

Discusión

Añade cualquier comentario adicional:

"La ecuación diferencial también es invariante bajo un cambio de ℓ a −ℓ − 1, y las funciones para ℓ negativo están definidas por

 P_{-\ell} ^{m} = P_{\ell-1} ^{m},\ (\ell=1,\,2,\, ...). "

¡Esta frase y la fórmula que la acompaña son incoherentes! — Comentario anterior sin firmar añadido por 144.122.30.156 (discusión) 10:41 25 sep 2013 (UTC) [ responder ]

Lo he movido. No, no soy nadie especial ni soy un mago ni un hacker genio. Mira esto . He quitado la etiqueta y la solicitud en Wikipedia:Requested moves . ¿Qué hacer con la nota de arriba? J i m p 00:51, 22 de febrero de 2007 (UTC) [ responder ]

He reescrito el párrafo del prefacio para que se ajuste al nuevo título del artículo. Cómo llamamos a estas cosas y qué debe decir el prefacio son bastante complicados, porque el uso común está muy confuso. Espero que esto esté bien. William Ackerman 02:07, 22 de febrero de 2007 (UTC) [ responder ]

¿Variables enteras?

¿Por qué me redireccionan automáticamente al sitio con las funciones de Legendre asociadas cuando busco la página sobre las funciones de Legendre? Obviamente no son idénticas. Sería esclarecedor tener una página sobre el caso general también. Neltah 15:45, 11 de mayo de 2007 (UTC) [ responder ]

Errores

Parece que la lista de ejemplos de polinomios de Legendre es incorrecta para m negativo. Por ejemplo, se dice que P(m=-1,l=1) es igual a -P(m=1,l=1), pero según la fórmula, que creo que es correcta porque coincide con Gradshteyn et al, ¡debería ser -1/2 P(m=1,l=1)! Parece que se producen más errores para otros valores de m negativo en la lista.

Definición/prueba

La siguiente relación en el artículo define funciones de Legendre asociadas para m positivo y negativo :

${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$

Esto significa que debe demostrarse la siguiente relación (y no puede tomarse como una definición tal como se enuncia ahora):

${\displaystyle P_{\ell }^{(-m)}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{(m)}}$

Intenté encontrar una prueba sencilla (en la literatura y por mi propia cuenta), pero sólo pude llegar a una prueba muy tediosa (y no encontré nada en la literatura). ¿Alguien conoce una prueba sencilla? Sería bueno tenerla o consultarla. -- P.wormer 15:49, 7 de junio de 2007 (UTC) [ responder ]

• Si podemos suponer que ambos lados de la siguiente ecuación son proporcionales (con proporcionalidad constante ), entonces la prueba es sencilla. Como ambos lados son soluciones de la misma ecuación de Legendre asociada, esta proporcionalidad es una conjetura plausible. ${\displaystyle C_{lm}}$

${\displaystyle (1-x^{2})^{-m/2}\ {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=C_{lm}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }}$

Utilice la ecuación conocida

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}x^{n-k},\qquad k\leq n.}$

Comparando la potencia más alta de x en ambos lados de lo siguiente:

${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=C_{lm}(-1)^{m}(x^{2}-1)^{m}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }}$

da

${\displaystyle {\frac {(2\ell )!}{(\ell +m)!}}x^{\ell +m}=(-1)^{m}C_{lm}{\frac {2\ell !}{(\ell -m)!}}x^{\ell +m}}$

de modo que

${\displaystyle C_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$

que es el resultado buscado. Queda por demostrar la proporcionalidad que se ha conjeturado. -- P.wormer 08:50, 8 de junio de 2007 (UTC) [ responder ]

Notación extremadamente mala

Nadie escribe corchetes (paréntesis) alrededor del orden. Deben eliminarse. Los corchetes (paréntesis) están reservados para los polinomios de Jacobi y no se utilizan para funciones de Legendre asociadas en la literatura que he visto. HowiAuckland 21:59, 16 de septiembre de 2007 (UTC) [ responder ]

Los paréntesis me sorprendieron; no los había visto en ningún otro lugar y una búsqueda rápida en Google Books y en mis propias estanterías no arrojó ningún caso de esta notación. A menos que estén respaldados por las referencias, los paréntesis deberían desaparecer. --catslash ( discusión ) 00:49, 10 de agosto de 2009 (UTC) [ responder ]

...y los eliminaré si nadie sale en su defensa en una semana --catslash ( discusión ) 16:12 11 ago 2009 (UTC) [ responder ]

(Hecho)--catslash ( discusión ) 09:59 22 ago 2009 (UTC) [ responder ]

Generalidad compleja

El comienzo de este artículo debe hacer referencia a la forma más general de función de Legendre asociada, es decir, aquellas con orden, grado y argumento complejos. Estas son funciones especiales importantes y se utilizan para describir específicamente armónicos esféricos, armónicos esferoidales achatados y prolados, funciones cónicas, armónicos toroidales, etc. Todas ellas requieren diferentes opciones (y, a veces, de valor complejo) de orden, grado y argumento. Además, el argumento puede tener un valor real pero simplemente ser mayor que la unidad. Además, hay muchas fórmulas para funciones de Legendre asociadas que se pueden escribir más fácilmente y de la forma más general utilizando orden y grado de valor complejo general. Hay muchos ejemplos de estos y aquellos de ustedes que están familiarizados con Abramowitz y Stegun lo saben bien. Para que este artículo sea el más general, esto debería hacerse. Si alguien quiere comenzar un artículo separado que solo funcione para aquellas funciones de Legendre asociadas que se utilizan en armónicos esféricos, es decir, aquellos con grado y orden enteros, y con argumento real entre más y menos uno, esto debería hacerse. Sin embargo, este artículo debería aplicarse al caso más general, de lo contrario, se debería cambiar el nombre del artículo. HowiAuckland 02:10, 24 de septiembre de 2007 (UTC) [ responder ]

Propuesta para añadir prueba de ortogonalidad para m fijo

Pasé dos semanas buscando en la web, intentando encontrar una prueba de la ortogonalidad de las Funciones de Legendre Asociadas para un valor fijo de m, sin éxito. Así que, trabajando junto con un físico teórico (retirado), desarrollamos una. Algunas de las pruebas se basan en lógica que encontré en la web y otras las desarrollamos nosotros mismos. Nos gustaría contribuir con esta prueba a la página wiki de la Función de Legendre Asociada. RHaworth (que parece ser un administrador de Wikipedia) me sugirió que trabajara con un editor establecido en esto. Estoy feliz de hacerlo. Por favor, contácteme si está interesado en trabajar en esto. Dnessett ( discusión ) 17:23, 11 de abril de 2009 (UTC) [ responder ]

Bkocsis (discusión) 14:29 6 abr 2010 (UTC) [ responder ]

¿No se desprende esto directamente de la ecuación diferencial definitoria y del teorema de Sturm-Liouville ?

Fórmula de Gaunt

En la definición de p, nótese que nmu siempre es no positivo, por lo que p=0. Por lo tanto, algo anda mal con la fórmula. —Comentario anterior sin firmar añadido por 129.88.33.185 (discusión) 09:40, 1 octubre 2009 (UTC) [ responder ]

Me di cuenta de lo mismo. No se ha corregido después de más de 3 años. Steven J Haker ( discusión ) 17:12 1 mar 2013 (UTC) [ responder ]

Sesgo del artículo original

Las funciones de Legendre asociadas más importantes y básicas son las del caso clásico con entero y con . El lector tiene derecho a esperar que el artículo se centre en este caso. Que algunos matemáticos hayan generalizado el concepto es otra cuestión. Este es, por tanto, un campo muy especial que podría mencionarse más adelante (¡si es que se menciona!). ¡La prueba que he insertado pone el foco en el caso clásico! ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$

Los polinomios de Legendre y las funciones de Legendre asociadas son necesarios para los armónicos esféricos en el espacio físico tridimensional y no hay necesidad ni uso de nada que no sea un número entero y con en este contexto. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$

Stamcose ( discusión ) 15:32 31 dic 2009 (UTC) [ responder ]

Pero aproximadamente el 90% del artículo ya se centra en este caso. No creo, sin embargo, que deba centrarse exclusivamente en ese caso (además, creo que te refieres a ). Finalmente, como ya indiqué en Talk:Legendre polynomials , no solemos incluir en los artículos de enciclopedias pruebas detalladas que consistan enteramente en manipulaciones rutinarias. Ciertamente no las colocamos en la parte superior del artículo (en este caso, antes de que se exprese la fórmula de Rodrigues pertinente). Considero que en ambos casos, la prueba completa se puede resumir de manera bastante sucinta, y recomendaría hacerlo en la sección Definición... Sławomir Biały ( discusión ) 17:23 31 dic 2009 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

No, ¡son matemáticas geniales! ¡Eso sólo se puede entender llevando a cabo la prueba! Sin las pistas de Courant-Hilbert no habríamos tenido ninguna posibilidad de encontrar la prueba, pero incluso con las pistas se requiere concentración y precisión para hacerlo bien. ¡Es muy útil tener la prueba en Wikipedia!

Stamcose ( discusión ) 18:11 31 dic 2009 (UTC) [ responder ]

No tengo ni idea de qué significa "matemáticas geniales", ni por qué se necesita un signo de exclamación en este caso. Sin embargo, realmente debo discrepar en que "no habríamos tenido oportunidad de encontrar la prueba" sin ninguna pista. En cualquier caso, esto no tiene sentido. Dar pruebas detalladas simplemente no es parte del mandato de una enciclopedia: hay libros de texto para esas cosas. De hecho, se espera que un lector consciente que desee saber más sobre un tema busque pruebas en las referencias (entre otras cosas). Se puede encontrar algo de contexto sobre cuáles son los principales objetivos de Wikipedia examinando lo que Wikipedia no es , y en particular Wikipedia no es un libro de texto . Sławomir Biały ( discusión ) 19:57 31 dic 2009 (UTC) [ responder ]

(además, creo que quieres decir ) ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$ .

No, no me refiero a eso. La primera función de Legandre asociada real es . ${\displaystyle P_{n}^{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}{d \over dx}P_{n}(x)}$

La convención es una pura formalidad que puede ser conveniente para escribir algunas fórmulas ¡pero sin ningún contenido real! ${\displaystyle P_{n}^{0}(x)=P_{n}(x)}$

Stamcose ( discusión ) 13:47 1 ene 2010 (UTC) [ responder ]

Una prueba corta y sencilla aporta información útil para el lector; ¿qué tal si creamos una página aparte para esa prueba ? Ulner ( discusión ) 15:02 1 ene 2010 (UTC) [ responder ]

(después del conflicto de edición) No estoy de acuerdo con la afirmación de que no tiene contenido. Por sí misma, esto podría ser cierto, pero hay propiedades que vinculan las diversas funciones de Legendre de diferentes órdenes (por ejemplo, fórmulas de recursión, fórmulas de diferenciación, etc.). El hecho de que los polinomios de Legendre encajen en esta jerarquía natural de funciones parece ser bastante significativo. Además, dudo que este punto de vista más absoluto sea apoyado por la mayoría de las fuentes (Arfken y Weber, por ejemplo, permiten explícitamente que m sea cero). No parece que valga la pena discutir sobre este punto ni hacer un gran problema en el texto. El hecho de que la mayoría de las fuentes permitan que m sea cero, y negativo también, es lo que deberíamos aceptar (según WP:WEIGHT ). ${\displaystyle P_{n}^{0}(x)=P_{n}(x)}$

Pero esto ya está un poco fuera de tema. Estoy empezando a pensar que, al contrario de lo que dice el artículo original, el artículo enfatiza demasiado el caso integral. La mayoría de los tratamientos serios de las funciones de Legendre asociadas también tratan las funciones de Legendre asociadas del segundo tipo (véase, por ejemplo, el tratado de MacRobert sobre armónicos esféricos). Hasta donde yo sé, no hay ninguna razón convincente para que estas funciones tengan que tener argumentos integrales, y son más importantes en la región |x| > 1. Su omisión parece ser un defecto más grave del artículo que cualquier énfasis excesivo (real o imaginario) en el caso de enteros no necesariamente positivos. Alguien debería empezar a recopilar las fuentes del artículo. Sławomir Biały ( discusión ) 15:30, 1 enero 2010 (UTC) [ responder ]

Has eliminado de nuevo la escritura:

La cuestión de si incluir o no pruebas de rutina en estos dos artículos se discutió en la página de discusión aquí, en Talk:Polinomios de Legendre y en WT:WPM.)

No veo ninguna discusión allí ni aquí, sólo una declaración tuya.

El único "tercer punto de vista" en cualquier lugar era:

Una prueba corta y sencilla aporta información útil para el lector; ¿qué tal si creamos una página aparte para esa prueba? Ulner (discusión) 15:02 1 ene 2010 (UTC)

Regla de conducta en Wikipedia:

¡No elimines lo que otros han estado escribiendo!

Si no hubiera respetado esta regla, habría cambiado por completo su texto sobre los armónicos esféricos que no considero aptos para el estándar.

¿Jugamos al ping-pong deshaciendo las correcciones del otro?

Tú mismo escribiste en tu página:

Me he retirado de nuevo debido a los ataques personales que recibí y que no fueron corregidos. Puede que vuelva en algún momento. Yo... Si no me amas, entonces soy un poco tímido. Por favor, sé amable, realmente soy un buen gatito. Si no lo soy, entonces, por favor, golpéame con una trucha.

¡Puede haber buenas razones para esos "ataques personales"! ¿Qué tal si realmente te "retiras" definitivamente en lugar de impedir que otras personas mejoren los artículos?

Stamcose ( discusión ) 23:01 3 ene 2010 (UTC) [ responder ]

En realidad, comenté inicialmente sobre la falta de adecuación de la primera prueba en Talk:Polinomios de Legendre#Fórmula de Rodrigues . Sin embargo, en lugar de obtener una respuesta, en su lugar agregó otra prueba tediosa y rutinaria (esta vez al artículo Función de Legendre asociada). En este punto, comenté aquí sobre la falta de adecuación de incluir este tipo de pruebas, y también inicié una discusión en WT:WPM#Comment request at Talk:Polinomios de Legendre y Talk:Función de Legendre asociada para solicitar una opinión más amplia sobre qué hacer con las pruebas agregadas recientemente. El consenso que surgió allí (incluida la opinión de User:Ulner ) fue que las pruebas eran inapropiadas para un artículo de enciclopedia, y que un lector estaría mejor atendido por una versión "en miniatura".

Por último, por supuesto, eres libre de continuar nuestra discusión en Talk:Armónicos esféricos . La versión actual concuerda sustancialmente con la referencia de Courant y Hilbert, mientras que tú aún no has proporcionado ninguna referencia para tu propia versión preferida en respuesta a mi solicitud. En ese artículo, también he añadido una nueva subsección que analiza los armónicos esféricos en el contexto del momento angular orbital. Las aportaciones externas también podrían ser útiles allí para determinar la mejor manera de avanzar. Sławomir Biały ( discusión ) 23:28, 3 de enero de 2010 (UTC) [ responder ]

Decir que se debe eliminar un párrafo porque es "tedioso" es conceptualmente muy extraño. Un lector no necesita leer todos los párrafos, se le permite omitir aquellos que le resulten "tediosos" o poco interesantes. Pero para alguien que busca una prueba, esta información puede ser de gran valor. ¿Le preocupa el costo del espacio de archivo? ¡Ahorramos más espacio de archivo en estas discusiones!

Hay otra fórmula de recursión cuya prueba quiero encontrar yo mismo .

Esto es

${\displaystyle {\frac {d^{m}P_{n}}{dx^{m}}}={\frac {2\cdot n-1}{n-m}}\cdot x\cdot {\frac {d^{m}P_{n-1}}{dx^{m}}}-{\frac {n+m-1}{n-m}}\cdot {\frac {d^{m}P_{n-2}}{dx^{m}}}}$

¡Sería de gran valor si también se incluyera dicha prueba!

Stamcose ( discusión ) 18:35 4 ene 2010 (UTC) [ responder ]

Como ya he dicho, en Wikipedia existe un consenso de larga data de que las demostraciones detalladas paso a paso no son apropiadas en los artículos de enciclopedias. Ciertamente no lo inventé yo (contrariamente a lo que tu resumen de edición parece sugerir), pero en este caso estoy bastante de acuerdo en que la demostración no pertenece. Si vuelves a leer lo que escribí arriba y en mi propio resumen de edición, la demostración no es sólo tediosa, sino también un ejercicio de cálculo bastante rutinario: se deduce simplemente diferenciando la ecuación de Legendre m veces y usando la regla de Leibniz para la diferenciación repetida. Finalmente, aunque ciertamente no me opongo a incluir esta última fórmula (siempre que puedas encontrar fuentes para ella), también me opondría a incluir una demostración por los mismos motivos. Sławomir Biały ( discusión ) 19:15, 4 de enero de 2010 (UTC) [ responder ]

Estoy de acuerdo con Sławomir Biały, parece haber un consenso en Wikipedia sobre que las pruebas detalladas paso a paso no son apropiadas en los artículos de enciclopedias; si Stamcose no está de acuerdo, por favor, discuta esto en esta página de discusión o aquí: [[1]]. Eliminar las pruebas detalladas no es vandalismo (como dijo Stamcose en un comentario reciente); la razón es que eliminar las pruebas sigue el consenso entre los editores de Wikipedia. Ulner ( discusión ) 23:20 4 ene 2010 (UTC) [ responder ]

Consulte Wikipedia: WikiProject_Mathematics/Proofs . linas ( discusión ) 21:56, 13 de noviembre de 2010 (UTC) [ respuesta ]

Generalizaciones

Encontré lo siguiente publicado en mi página de discusión personal; creo que es mejor responder aquí. linas ( discusión ) 21:32 13 nov 2010 (UTC) [ responder ]

No entiendo tu idea: [2]. Por lo tanto, los polinomios de Legendre se pueden generalizar (¿de qué manera?) para expresar las simetrías de los grupos de Lie semisimples (¿no SO(3)?) y los espacios simétricos de Riemann (¿no euclidianos?) Gvozdet ( discusión ) 12:02 11 oct 2010 (UTC) [ responder ]

Hola, Perdón por la respuesta tardía, no entro a Wikipedia muy a menudo. No es "mi idea"; más bien, hay artículos, libros y conferencias sobre el tema. En pocas palabras, siempre que se tiene un espacio con una simetría continua, también se tiene un grupo de simetría que describe la simetría; estos son esencialmente los grupos de Lie . Se puede definir un laplaciano en tales espacios y luego estudiar las funciones propias del laplaciano en estos espacios. Se puede considerar que estas soluciones dan como resultado "generalizaciones" de los polinomios de Legendre asociados. La parte inferior del artículo sobre armónicos esféricos proporciona más detalles y al menos cuatro referencias. linas ( discusión ) 21:32, 13 de noviembre de 2010 (UTC) [ responder ]

Relaciones de recurrencia

Creo que al menos algunas de las fórmulas de recurrencia se copiaron de una fuente que excluye la fase de Condon-Shortley (que se incluye en el resto de este artículo). Por ejemplo, probé la segunda relación en Wolfram Alpha aquí y obtuve el resultado negativo de lo que el artículo dice que debería ser.

Corregiré las que creo que están mal y añadiré otra relación de recurrencia que derivé de las otras y que me resultó útil. Sin embargo, como no tengo una referencia (por ejemplo, Abramowitz y Stegun escriben sobre funciones de Legendre de una variable compleja y es sutilmente diferente) y no las he derivado yo mismo, no puedo estar 100% seguro de su precisión.

Editar: Este libro ^[1] tiene relaciones de recurrencia equivalentes a algunas del artículo, pero define los polinomios sin el factor Condon-Shortley.

202.8.37.86 (discusión) 05:57 27 ene 2012 (UTC) [ responder ]

Referencias

1. {{citar libro|apellido=Attar|nombre=Rafaat A. El|título=Funciones especiales y polinomios ortogonales|año=2006|editorial=Lulu Press|ubicación=Morrisville, NC|isbn=1411666909}|páginas=164}

Se necesita referencia

"Esta ecuación tiene soluciones no nulas que no son singulares en [−1, 1] sólo si ℓ y m son números enteros con 0 ≤ m ≤ ℓ, o con valores negativos trivialmente equivalentes". ¿De dónde se ha sacado esta afirmación? No he podido encontrarla en la literatura. 5.61.176.43 (discusión) 00:07 9 abr 2016 (UTC) [ responder ]

Miré la referencia anterior y no encontré ninguna declaración que respalde esta afirmación. 5.61.176.43 (discusión) 19:48 19 abr 2016 (UTC) [ responder ]

Comentario de evaluación

Los comentarios que aparecen a continuación se dejaron originalmente en Talk:Associated Legendre polynomials/Comments y se publican aquí para su publicación. Tras varias discusiones en los últimos años , estas subpáginas ahora están obsoletas. Los comentarios pueden ser irrelevantes o estar desactualizados; si es así, no dude en eliminar esta sección.

Sustituido a las 21:34, 26 de junio de 2016 (UTC)

Expresión de forma cerrada

La popular "Geodesia física" (Heiskanen y Moritz 1967) tiene una expresión en forma cerrada de (Ec. 1-62). Dado que hay una etiqueta de "cita requerida" en la sección "Forma cerrada" de este artículo, ¿podría ser apropiado utilizar la Ec. 1-62? La fuente también incluye una prueba en la página que sigue. Como referencia, la Ec. 1-62 es: Sblana (discusión) 02:16 31 ago 2024 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle P_{l,m}}$

${\displaystyle P_{l,m}(x)=2^{-l}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {l-m}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(2l-2k)!}{k!(l-k)!(l-m-2k)!}}x^{l-m-2k}}$