Bipirámide cuadrada alargada

Cubo coronado por dos pirámides cuadradas.

En geometría , la bipirámide cuadrada alargada (u octaedro alargado ) es el poliedro construido uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras en las caras de un cubo que están opuestas entre sí. También se puede ver como 4 lunes (cuadrados con triángulos en lados opuestos) unidos entre sí con cuadrados con cuadrados y triángulos con triángulos. También se le llama cubo de lápiz o cubo de lápiz de 12 caras debido a su forma. ^{[1] [2]}

Un cristal de circón es un ejemplo de bipirámide cuadrada alargada.

Construcción

La bipirámide cuadrada alargada se construye uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a las caras de un cubo que están opuestas entre sí, un proceso conocido como alargamiento . Esta construcción implica la eliminación de esos dos cuadrados y su sustitución por esas pirámides, lo que da como resultado ocho triángulos equiláteros y cuatro cuadrados como caras. ^[3] . Un poliedro convexo en el que todas sus caras son regulares es un sólido de Johnson , y la bipirámide cuadrada alargada es una de ellas, denotada como , el decimoquinto sólido de Johnson. ^[4] ${\displaystyle J_{15}}$

Propiedades

Dado que esa es la longitud del borde de una bipirámide cuadrada alargada. La altura de una pirámide cuadrada alargada se puede calcular sumando la altura de dos pirámides cuadradas equiláteras y un cubo. La altura de un cubo es la misma que la longitud de la arista dada , y la altura de una pirámide cuadrada equilátera es . Por tanto, la altura de una bipirámide cuadrada alargada es: ^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (1/{\sqrt {2}})a}$

$${\displaystyle a+2\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}a=\left(1+{\sqrt {2}}\right)a\approx 2.414a.}$$

^[6]

$${\displaystyle \left(4+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7.464a^{2}.}$$

^[6]

$${\displaystyle \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)a^{3}\approx 1.471a^{3}.}$$

ángulo diédricopirámide cuadrada alargada^[7]

• El ángulo diédrico de una bipirámide cuadrada alargada entre dos triángulos adyacentes es el ángulo diédrico de un triángulo equilátero entre sus caras laterales, ${\displaystyle \arccos(-1/3)\approx 109.47^{\circ }}$
• El ángulo diédrico de una bipirámide cuadrada alargada entre dos cuadrados adyacentes es el ángulo diédrico de un cubo entre esos, ${\displaystyle \pi /2}$
• El ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera entre el cuadrado y el triángulo es . Por lo tanto, el ángulo diédrico de una bipirámide cuadrada alargada entre triángulo y cuadrado, en el borde donde las pirámides cuadradas equiláteras unen el cubo, es ${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$
  $${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.74^{\circ }.}$$

Modelo 3D de una bipirámide cuadrada alargada.

La bipirámide cuadrada alargada tiene la simetría diédrica , el grupo diédrico de orden ocho: tiene un eje de simetría que pasa por los ápices de las pirámides cuadradas y el centro de un cubo, y su apariencia es simétrica al reflejarse sobre un plano horizontal. ^[7] ${\displaystyle D_{4h}}$

Poliedros y panales relacionados

La bipirámide cuadrada alargada es dual al bifrustum cuadrado , que tiene ocho trapezoidales y dos cuadrados.

Un tipo especial de bipirámide cuadrada alargada sin todas las caras regulares permite una autoteselación del espacio euclidiano. Los triángulos de esta bipirámide cuadrada alargada no son regulares; tienen aristas en la proporción 2: √ 3 : √ 3 .

Puede considerarse una fase de transición entre los panales dodecaédricos cúbicos y rómbicos . ^[1] Aquí, las celdas están coloreadas de blanco, rojo y azul según su orientación en el espacio. Las tapas de las pirámides cuadradas tienen caras de triángulos isósceles acortadas, y seis de estas pirámides se unen para formar un cubo. El dual de este panal se compone de dos tipos de octaedros (octaedros regulares y antiprismas triangulares), formados por la superposición de octaedros en los cuboctaedros del panal cúbico rectificado . Ambos panales tienen una simetría de . ${\displaystyle [4,3,4]}$

Azulejos cuadrados biselados

Las secciones transversales del panal, a través de los centros de las celdas, producen un mosaico cuadrado achaflanado , con hexágonos horizontales y verticales aplanados, y cuadrados en los poliedros perpendiculares.

Con caras regulares, la bipirámide cuadrada alargada puede formar un mosaico del espacio con tetraedros y octaedros . (Los octaedros se pueden descomponer aún más en pirámides cuadradas ). ^[8] Este panal puede considerarse una versión alargada del panal tetraédrico-octaédrico .

Referencias

1. Critchlow, Keith. Orden en el espacio: un libro de referencia sobre diseño . pag. 46–47.
2. Goldberg, Michael (enero de 1981). "Sobre los octaedros que llenan el espacio". Geometriae Dedicata . 10 (1): 323–335. doi :10.1007/BF01447431.
3. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert. Textos y Lecturas en Matemáticas. Agencia de libros Hindustan. pag. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
4. Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Saltador. pag. 62.doi :10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
5. Sapiña, R. "Área y volumen del sólido de Johnson J 15 {\displaystyle J_{15}}". Problemas y Ecuaciones (en español). ISSN  2659-9899 . Consultado el 9 de septiembre de 2020 .
6. Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
7. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . SEÑOR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
8. "Panal J15".

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Bipirámide cuadrada alargada" ("sólido de Johnson") en MathWorld .