Dimensión inductiva

Invariante de espacios topológicos

En el campo matemático de la topología , la dimensión inductiva de un espacio topológico X es uno de dos valores, la pequeña dimensión inductiva ind( X ) o la gran dimensión inductiva Ind( X ). Estas se basan en la observación de que, en el espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ , las esferas ( n  − 1)-dimensionales (es decir, los límites de bolas n -dimensionales) tienen dimensión n  − 1. Por lo tanto, debería ser posible definir la dimensión de un espacio inductivamente en términos de las dimensiones de los límites de conjuntos abiertos adecuados .

Las dimensiones inductivas pequeñas y grandes son dos de las tres formas más habituales de capturar la noción de "dimensión" para un espacio topológico, de una manera que depende sólo de la topología (y no, por ejemplo, de las propiedades de un espacio métrico ). La otra es la dimensión de recubrimiento de Lebesgue . El término "dimensión topológica" se entiende comúnmente como una referencia a la dimensión de recubrimiento de Lebesgue. Para espacios "suficientemente agradables", las tres medidas de dimensión son iguales.

Definición formal

Queremos que la dimensión de un punto sea 0 y un punto tiene un límite vacío, por lo que comenzamos con

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1}$

Entonces, inductivamente, ind( X ) es el n más pequeño tal que, para cada conjunto abierto U que contiene a x , existe un conjunto abierto V que contiene a x , tal que el cierre de V es un subconjunto de U , y el límite de V tiene una dimensión inductiva pequeña menor o igual a n  − 1. (Si X es un espacio euclidiano n -dimensional, V puede elegirse como una bola n -dimensional centrada en x .) ${\displaystyle x\in X}$

Para la gran dimensión inductiva, restringimos aún más la elección de V ; Ind( X ) es el n más pequeño tal que, para cada subconjunto cerrado F de cada subconjunto abierto U de X , hay un V abierto en el medio (es decir, F es un subconjunto de V y el cierre de V es un subconjunto de U ), tal que el límite de V tiene una gran dimensión inductiva menor o igual a n  − 1. ^[1]

Relación entre dimensiones

Sea la dimensión de recubrimiento de Lebesgue. Para cualquier espacio topológico X , tenemos ${\displaystyle \dim }$

${\displaystyle \dim X=0}$Si y sólo si ${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

El teorema de Urysohn establece que cuando X es un espacio normal con una base contable , entonces

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

Tales espacios son exactamente los separables y metrizables X (véase el teorema de metrización de Urysohn ).

El teorema de Nöbeling-Pontryagin establece entonces que tales espacios con dimensión finita se caracterizan hasta el homeomorfismo como los subespacios de los espacios euclidianos , con su topología usual. El teorema de Menger-Nöbeling (1932) establece que si es métrico compacto separable y de dimensión , entonces se incrusta como un subespacio del espacio euclidiano de dimensión . ( Georg Nöbeling fue un estudiante de Karl Menger . Introdujo el espacio de Nöbeling , el subespacio de que consiste en puntos con al menos coordenadas que son números irracionales , que tiene propiedades universales para incrustar espacios de dimensión .) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

Suponiendo que sólo X es metrizable tenemos ( Miroslav Katětov )

indX ≤ IndX = dimX ;​

o suponiendo X compacto y Hausdorff ( PS Aleksandrov )

dimensión X ≤ ind X ≤ Ind X .

Aquí la desigualdad puede ser estricta; un ejemplo de Vladimir V. Filippov muestra que las dos dimensiones inductivas pueden diferir.

Un espacio métrico separable X satisface la desigualdad si y sólo si para cada subespacio cerrado del espacio y cada aplicación continua existe una extensión continua . ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\to S^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$

Referencias

1. Arkhangelskii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topología general . vol. I. Berlín, DE: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4. Página 104

Lectura adicional

• Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn y Karl Menger: artículos sobre teoría de la dimensión" en Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Teoría de las dimensiones. Finito e infinito , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 . 
• VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178- 4 . 
• VV Filippov, Sobre la dimensión inductiva del producto de bicompacta , Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
• AR Pears, Teoría de la dimensión de espacios generales , Cambridge University Press (1975).