Difusión de remolinos

Mezcla de fluidos debido a corrientes parásitas.

Simulación de difusión en remolino de una porción de fluido negro en un fluido blanco. ^[1]

En dinámica de fluidos , la difusión en remolinos , la dispersión en remolinos o la difusión turbulenta es un proceso mediante el cual sustancias fluidas se mezclan entre sí debido al movimiento de remolinos . Estos remolinos pueden variar ampliamente en tamaño, desde giros oceánicos subtropicales hasta las pequeñas microescalas de Kolmogorov , y ocurren como resultado de turbulencia (o flujo turbulento). La teoría de la difusión en remolinos fue desarrollada por primera vez por Sir Geoffrey Ingram Taylor .

En los flujos laminares , las propiedades de los materiales (sal, calor, humedad, aerosoles, etc.) se mezclan mediante movimientos aleatorios de moléculas individuales. Según un argumento puramente probabilístico, el flujo neto de moléculas desde el área de alta concentración al área de baja concentración es mayor que el flujo en la dirección opuesta. Este flujo descendente equilibra el perfil de concentración con el tiempo. Este fenómeno se llama difusión molecular y su aspecto matemático queda reflejado en la ecuación de difusión .

En flujos turbulentos, además de la mezcla por difusión molecular, los remolinos agitan (Difusión en remolinos § Nota sobre agitación y mezcla) el fluido. Esto hace que parcelas de fluido desde varias posiciones iniciales y, por tanto, diversas concentraciones asociadas, penetren en regiones de fluido con diferentes concentraciones iniciales. Esto hace que las propiedades del fluido se homogenicen a una escala mayor que la de los remolinos responsables de la agitación, de una manera muy eficiente en comparación con el movimiento molecular individual. En la mayoría de los flujos macroscópicos de la naturaleza, la difusión en remolinos es varios órdenes de magnitud más fuerte que la difusión molecular. Esto lleva a veces a que se descuide este último cuando se estudian flujos turbulentos.

El problema con la difusión turbulenta en la atmósfera y más allá es que no existe un modelo único extraído de la física fundamental que explique todos sus aspectos significativos. Hay dos enfoques alternativos con áreas de utilidad que no se superponen. Según la teoría del transporte en gradiente, el flujo de difusión en un punto fijo del fluido es proporcional al gradiente de concentración local. Esta teoría es de naturaleza euleriana, es decir, describe las propiedades de los fluidos en un sistema de coordenadas espacialmente fijo (ver Especificación lagrangiana y euleriana de un fluido ). Por el contrario, las teorías estadísticas de difusión siguen el movimiento de partículas fluidas y, por tanto, son lagrangianas. Además, los enfoques computacionales pueden clasificarse como teorías del movimiento continuo o del movimiento discontinuo, dependiendo de si suponen que las partículas se mueven continuamente o en pasos discretos.

Desarrollos históricos

La teoría de la difusión en remolinos fue desarrollada originalmente, hacia finales de la década de 1910, por GI Taylor ^[2] y LF Richardson ^[3] en Inglaterra y por W. Schmidt en Austria como una generalización directa de la teoría clásica de la difusión molecular . Propusieron la idea de que el efecto de masa de los remolinos es enteramente similar al de las moléculas excepto por una diferencia de escala. Esto se describe como "modelo de gradiente" en una sección posterior; el nombre deriva del hecho de que los flujos de difusión son proporcionales al gradiente local de concentración, al igual que en el caso de la difusión molecular.

Investigaciones posteriores (década de 1930), principalmente de OG Sutton , señalaron algunos problemas del enfoque original ^[4] y propusieron la idea de que la diferencia entre la estructura de remolinos de un fluido turbulento y la estructura molecular de un fluido en reposo es más que uno de escala. ^[5]

Durante las décadas siguientes, se llevaron a cabo una serie de estudios para probar experimentalmente la teoría establecida sobre la difusión en remolinos, tanto para la atmósfera como para los cuerpos oceánicos y lacustres, y en su mayoría coincidieron con la teoría original. En particular, los experimentos sobre la difusión de material extraño en una corriente de agua turbulenta, ^[6] la estructura vertical del agua en los cuerpos de los lagos, ^[7] y la parte más baja de la atmósfera ^[8] encontraron evidencia experimental de que la difusión en remolinos es de hecho más fuerte que la difusión molecular. difusión y generalmente obedece a la teoría desarrollada originalmente por GI Taylor . Más adelante en el artículo se ofrecen algunos contraejemplos de la teoría del gradiente original.

Actualmente, la investigación activa se centra en las contribuciones de la difusión en remolinos a los procesos conocidos, tanto atmosféricos como oceánicos. Se construyeron nuevos modelos y teorías sobre la base de la teoría original para describir completamente estos procesos. En particular, estos estudios incluyen mecanismos de difusión en remolinos para explicar procesos desde la deposición de aerosoles ^[9] hasta las ondas de gravedad internas en la atmósfera superior, ^[10] desde la difusión y flotabilidad de los remolinos en aguas profundas ^[11] hasta el suministro de nutrientes a la superficie de la capa mixta. en la Corriente Circumpolar Antártica . ^[12]

Formulación matemática de la difusión en remolino.

Fuente: ^{[13] [14]}

En esta sección se desarrolla un marco matemático basado en la ecuación de continuidad para describir la evolución del perfil de concentración a lo largo del tiempo, bajo la acción de la difusión en remolinos. La velocidad y el campo de concentración se descomponen en componentes medios y fluctuantes (remolinos). Luego se deduce que el flujo de concentración debido a los remolinos está dado por la covarianza de las fluctuaciones en la velocidad y la concentración. En principio, esta covarianza es desconocida, lo que significa que la ecuación de evolución del perfil de concentración no puede resolverse sin hacer suposiciones adicionales sobre la covarianza. La siguiente sección proporciona uno de esos supuestos (el modelo de gradiente) y, por lo tanto, enlaza con el resultado principal de esta sección. El siguiente describe un enfoque estadístico (y lagrangiano) del problema completamente diferente.

Considere un campo escalar , que es una posición en un sistema de coordenadas cartesiano fijo . El campo mide la concentración de una especie trazadora pasiva conservada (podría ser un tinte coloreado en un experimento, sal en el mar o vapor de agua en el aire). El adjetivo "pasivo" significa que, al menos con cierta aproximación, el trazador no altera de ninguna manera propiedades dinámicas como la densidad o la presión. Simplemente se mueve con la corriente sin modificarla. Esto no es estrictamente cierto para muchos "trazadores" en la naturaleza, como el vapor de agua o la sal. "Conservado" significa que no hay fuentes ni sumideros absolutos, el trazador sólo se mueve por difusión y advección . ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ ${\textstyle {\vec {x}}}$

Considere la ecuación de conservación para . Esta es la ecuación generalizada de continuidad de fluidos con un término fuente en el lado derecho. La fuente corresponde a la difusión molecular (y no a ninguna creación/destrucción neta del trazador). La ecuación está escrita en vista euleriana (contiene derivada de tiempo parcial): ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {u}}\phi )=K_{0}\nabla ^{2}\phi }$$

${\textstyle K_{0}}$es el coeficiente de difusividad molecular ( difusividad de masa ).

El objetivo es descubrir cómo interactúa el flujo medio laminar con los remolinos turbulentos y, en particular, qué efecto tiene esto sobre el transporte del trazador. De acuerdo con la descomposición estándar de Reynolds , el campo de concentración se puede dividir en sus componentes media y fluctuante:

$${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)=\langle \phi ({\vec {x}},t)\rangle +\phi '({\vec {x}},t)}$$

Lo mismo para el campo de velocidades:

$${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {x}},t)=\langle {\vec {u}}({\vec {x}},t)\rangle +{\vec {u}}'({\vec {x}},t)}$$

El término medio (entre paréntesis angulares) representa una componente laminar del flujo. Tenga en cuenta que el campo medio es, en general, una función del espacio y el tiempo, y no sólo una constante. Promedio en este sentido no sugiere promediar todos los datos disponibles en el espacio y el tiempo, sino simplemente filtrar el movimiento turbulento. Esto significa que el dominio del promedio está restringido hasta un punto que aún suaviza la turbulencia, pero no borra la información sobre el flujo medio en sí. Esto supone que las escalas de los remolinos y del flujo medio se pueden separar, lo que no siempre es así. Uno puede acercarse lo más posible a esto eligiendo adecuadamente el rango de promediación o, idealmente, haciendo un promedio conjunto si el experimento puede repetirse. En resumen, el procedimiento de promediación no es trivial en la práctica. En esta sección, el tema se trata teóricamente y se supone que existe un procedimiento de promediado adecuado. El término fluctuante (preparado) tiene la propiedad definitoria de que promedia, es decir . Se utiliza para describir las turbulencias (remolinos) que, entre otras cosas, agitan el fluido. ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$

Ahora se puede proceder con la descomposición de Reynolds. Utilizando el hecho de que, por definición, se puede promediar toda la ecuación para eliminar todas las fluctuaciones turbulentas , excepto en términos no lineales (ver descomposición de Reynolds , tensión de Reynolds y ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds ). El término advectivo no lineal se convierte en: ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$ ${\textstyle \phi '}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\vec {u}}\phi \rangle &=\langle \left(\langle {\vec {u}}\rangle +{\vec {u}}'\right)\left(\langle \phi \rangle +\phi '\right)\rangle \\&=\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)=K_{0}\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

Si uno empuja el tercer término (turbulento) del lado izquierdo al lado derecho (dentro ), el resultado es: ${\textstyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$

de tensión de Reynoldsecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds ${\textstyle {\vec {u}}}$ ${\textstyle \phi }$

Éste fue el tratamiento euleriano. También se puede estudiar este problema desde un punto de vista lagrangiano (absorbiendo algunos términos en la derivada material ):

$${\displaystyle {\frac {D\phi }{Dt}}+\phi \nabla \cdot {\vec {u}}=K_{0}\nabla ^{2}\phi }$$

Defina una derivada material media mediante:

$${\displaystyle {\frac {\overline {D}}{{\overline {D}}t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\langle {\vec {u}}\rangle \cdot \nabla }$$

Esta es la derivada material asociada al flujo medio (el término advectivo solo contiene la parte laminar de ). Se puede distribuir el término de divergencia en el lado derecho y usar esta definición de derivada material: ${\textstyle {\vec {u}}}$

$${\displaystyle {\frac {{\overline {D}}\langle \phi \rangle }{{\overline {D}}t}}+\langle \phi \rangle \nabla \cdot \langle {\vec {u}}\rangle =\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$

La interpretación de la difusividad de remolinos es la siguiente. es el flujo del trazador pasivo debido a la difusión molecular. Siempre está en pendiente descendente. Su divergencia corresponde a la acumulación (si es negativa) o al agotamiento (si es positiva) de la concentración del trazador debido a este efecto. Se puede interpretar el término como un flujo debido a remolinos turbulentos que agitan el fluido. Asimismo, su divergencia daría la acumulación/agotamiento del trazador debido a remolinos turbulentos. Aún no se ha especificado si este flujo de remolinos debería tener un gradiente descendente (véanse las secciones posteriores). ${\textstyle K_{0}\nabla \langle \phi \rangle }$ ${\textstyle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle }$

También se puede examinar el balance de concentración para una pequeña porción de volumen de fluido . Partiendo de la formulación euleriana y utilizando el teorema de la divergencia : ${\textstyle V}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\langle \phi \rangle {\text{d}}V=\oint K_{0}\nabla \langle \phi \rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi \rangle \langle {\vec {u}}\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A}$$

modelado de turbulencia ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$ ${\textstyle \langle \phi \rangle }$

Teoría de la difusión en gradiente

Ejemplo de sistema de referencia euleriano de partículas en una caja. ^[15]

El modelo más simple de difusión turbulenta se puede construir haciendo una analogía con el efecto probabilístico que causa el flujo descendente como resultado del movimiento de moléculas individuales (difusión molecular). Considere un trazador pasivo e inerte disperso en el fluido con una concentración espacial inicial . Sea una pequeña región fluida con mayor concentración del trazador que sus alrededores en todas las direcciones. Intercambia fluido (y con él el trazador) con su entorno a través de remolinos turbulentos, que son corrientes fluctuantes que van y vienen de forma aparentemente aleatoria. Los remolinos que fluyen hacia la región desde sus alrededores son estadísticamente los mismos que los que fluyen desde la región hacia sus alrededores. Esto se debe a que el trazador es "pasivo", por lo que una porción de fluido con mayor concentración tiene un comportamiento dinámico similar al de una porción de fluido con menor concentración. La diferencia clave es que los que fluyen hacia afuera llevan mucho más trazador que los que fluyen hacia adentro, ya que la concentración dentro de la región es inicialmente mayor que en el exterior. Esto se puede cuantificar con un flujo trazador. El flujo tiene unidades de cantidad de trazador por área y tiempo, que es lo mismo que la concentración del trazador multiplicada por la velocidad. La tasa de acumulación de trazadores locales dependería entonces de la diferencia entre los flujos entrantes y salientes. En nuestro ejemplo, los flujos salientes son mayores que los flujos entrantes, lo que produce una acumulación local negativa (es decir, agotamiento) del trazador. En general, este efecto daría como resultado un equilibrio del perfil inicial a lo largo del tiempo, independientemente de cuál pueda ser el perfil inicial. Para poder calcular esta evolución temporal es necesario saber calcular el flujo. Esta sección explora la hipótesis más simple: el flujo está relacionado linealmente con la diferencia de concentración (al igual que en el caso de la difusión molecular). Esta también es la suposición más intuitiva del análisis que acabamos de realizar. El flujo es, en principio, un vector. Este vector apunta en la dirección de transporte del trazador y en este caso sería paralelo a . Por lo tanto, el modelo suele denominarse difusión en gradiente (o, equivalentemente, difusión en gradiente descendente). ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t=0)}$ ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ ${\textstyle \phi ({\vec {x}})}$ ${\textstyle -\nabla \phi ({\vec {x}})}$

Un argumento aproximado a favor de la difusión de gradientes

Fuente: ^[3]

Diagrama conceptual para una derivación simple de la difusión en remolino. Un remolino mezcla el contenido de dos regiones fluidas inyectando corrientes y filamentos de un lado a otro de forma casi aleatoria. El proceso real es mucho más caótico de lo que sugiere una simple espiral. y representan las concentraciones de la misma sustancia arbitraria que está siendo mezclada por el remolino. La escala de longitud de las dos regiones influenciadas por el remolino en esta imagen está determinada por la escala de longitud del remolino, y no al revés. ${\textstyle \Phi _{1}}$ ${\textstyle \Phi _{2}}$

La subsección pretende presentar un argumento simple, aproximado y heurístico que explique cómo surgen las matemáticas de la difusión de gradientes. En la siguiente subsección se ofrece un tratamiento más riguroso y general del modelo de gradiente, que se basa directamente en la sección sobre tratamiento matemático general (que aún no asumía el modelo de gradiente en esa etapa inicial y dejó la covarianza de las fluctuaciones como estaba). Por ahora, las medias no se indican explícitamente para lograr la máxima simplicidad de notación. Por ahora, desprecie también la difusividad molecular , ya que suele ser significativamente menor que la difusividad de los remolinos y desviaría la atención del mecanismo de los remolinos. ${\textstyle K_{0}}$

Considere dos parcelas de fluido vecinas con sus centros separados. Contienen concentraciones en volumen y un trazador pasivo inerte. Sin pérdida de generalidad, dejemos . Imagine que un único remolino de escala de longitud y escala de velocidad es responsable de una agitación continua de material entre las dos parcelas. El flujo trazador intercambiado a través del límite lateral de las dos parcelas está etiquetado . El límite es perpendicular al eje -. El flujo de la parcela 1 a la parcela 2 es entonces, al menos en orden de magnitud: ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle \phi _{1}}$ ${\textstyle \phi _{2}}$ ${\textstyle \phi _{2}>\phi _{1}}$ ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle J}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J&=\phi _{1}U-\phi _{2}U\\&=-U\Delta \phi \\&=-(U\Delta x){\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\end{aligned}}}$$

Este argumento puede verse como un análisis dimensional motivado físicamente , ya que utiliza únicamente las escalas de longitud y velocidad de un remolino para estimar el flujo trazador que genera. Si todo el dominio estudiado (que se cree que contiene una gran cantidad de tales pares y ) es mucho mayor que la escala de longitud del remolino , se puede aproximar como la derivada de la concentración en un medio que varía continuamente: ${\textstyle \phi _{1}}$ ${\textstyle \phi _{2}}$ ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle \Delta \phi }$ ${\textstyle \Delta x}$

$${\displaystyle J=-(U\Delta x){\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$$

Basado en la similitud con la ley de difusión de Fick, se puede interpretar el término entre paréntesis como un coeficiente de difusión asociado con este remolino turbulento, dado por el producto de sus escalas de longitud y velocidad. ${\textstyle K}$

$${\displaystyle J=-K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$$

Usando una forma unidimensional de ecuación de continuidad , podemos escribir: ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial J}{\partial x}}=0}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}$$

Si se supone que es espacialmente homogéneo, se puede sacar de la derivada y se obtiene una ecuación de difusión de la forma: ${\textstyle K}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=K{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}$$

Este es un ejemplo prototípico de ecuación diferencial parcial parabólica . También se la conoce como ecuación del calor . Su solución fundamental para una fuente puntual es: ${\textstyle x=0}$

$${\displaystyle \phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Kt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}}$$

En comparación con la distribución gaussiana , se puede identificar la varianza como y la desviación estándar como , una dependencia del tiempo muy típica para la difusión molecular o el paseo aleatorio . ${\textstyle \sigma ^{2}(t)=2Kt}$ ${\textstyle \sigma (t)={\sqrt {2Kt}}\sim t^{1/2}}$

Para concluir esta subsección, se describió cómo un remolino puede agitar dos regiones circundantes de un fluido y cómo este comportamiento da lugar a una matemática descrita como "modelo de gradiente", lo que significa que los flujos difusos están alineados con un gradiente espacial negativo de concentración. Consideró una geometría muy simple, en la que todas las variaciones ocurren a lo largo de un eje. El argumento utilizaba sólo escalas de orden de magnitud de separación espacial y velocidad de remolino, por lo que era muy aproximado. La siguiente sección ofrece un tratamiento más riguroso.

Interpretación a partir de ecuaciones generales.

Fuente: ^[13]

Esta subsección se basa en la sección sobre tratamiento matemático general y observa lo que sucede cuando se inserta un supuesto de gradiente.

Recuerde la ecuación de concentración promediada de Reynolds:

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$

$${\displaystyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle =-K({\vec {x}},t)\nabla \langle \phi \rangle }$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left((K_{0}+K)\nabla \langle \phi \rangle \right)}$$

Leyes de difusión de Fickadvección ${\textstyle \phi \rightarrow \langle \phi \rangle ,{\vec {u}}\rightarrow \langle {\vec {u}}\rangle }$ ${\textstyle K_{0}\rightarrow K_{0}+K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$

A veces, el término difusión fickiana se reserva únicamente para el caso en que es una constante verdadera. ^[16] debe ser al menos espacialmente uniforme para que sea posible escribir: ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=(K_{0}+K)\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

En el contexto de este artículo, el adjetivo "fickiano" también se puede utilizar como equivalente a un modelo de gradiente, ^[17] por lo que se permite una forma más general como . La terminología de los artículos científicos no siempre es coherente a este respecto. ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$

Deficiencias y contraejemplos del modelo de gradiente.

Los modelos de gradiente fueron históricamente los primeros modelos de difusión en remolinos. ^[13] Son simples y matemáticamente convenientes, pero la suposición subyacente sobre el flujo difusivo puramente descendente no es universalmente válida. Aquí hay algunos contraejemplos experimentales:

1. Para un caso simple de flujo cortante turbulento homogéneo ^[5], se encontró que el ángulo entre y era de 65 grados. La difusión fickiana predice 0 grados. ${\textstyle -\nabla \langle \phi \rangle }$ ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$
2. En el mar, los vagabundos de superficie que inicialmente están más alejados tienen una mayor probabilidad de aumentar su distancia física en grandes cantidades que aquellos que inicialmente están más cerca. En contraste, la difusión fickiana predice que el cambio en la distancia mutua (es decir, la distancia inicial restada de la distancia final) de los dos vagabundos es independiente de sus propias distancias iniciales o finales. Esto fue observado por Stommel en 1949. ^[17]
3. Cerca de una fuente puntual (por ejemplo, una chimenea), se suele observar que la evolución temporal de la envoltura de la nube de vapor de agua en difusión es lineal en el tiempo. La difusión fickiana predeciría una dependencia de la raíz cuadrada en el tiempo. ^{[4] [7]}

Estas observaciones indican que existen mecanismos diferentes de la pura difusión en gradiente descendente, y que la analogía cualitativa entre la difusión molecular y la difusión en remolinos no es perfecta. En la siguiente sección sobre modelos estadísticos, se presenta una forma diferente de ver la difusión en remolinos.

Teoría de la difusión estadística

Ejemplo de sistema de referencia lagrangiano. El observador sigue la partícula en su camino. ^[15]

La teoría estadística de la turbulencia de fluidos comprende una gran cantidad de literatura y sus resultados se aplican en muchas áreas de investigación, desde la meteorología hasta la oceanografía.

La teoría de la difusión estadística se originó con el artículo de GI Taylor (1921) titulado "Difusión por movimientos continuos" ^[18] y posteriormente se desarrolló en su artículo "Teoría estadística de la turbulencia". ^[19] El enfoque estadístico de la difusión es diferente de las teorías basadas en gradientes ya que, en lugar de estudiar el transporte espacial en un punto fijo en el espacio, se hace uso del sistema de referencia lagrangiano y se siguen las partículas en su movimiento a través del fluido y se intenta determinar a partir de estos las propiedades estadísticas para representar la difusión.

Taylor en particular argumentó que, con un número de Reynolds alto , el transporte espacial debido a la difusión molecular puede despreciarse en comparación con el transporte convectivo por el flujo medio y los movimientos turbulentos. Despreciando la difusión molecular, ésta se conserva siguiendo una partícula fluida y, en consecuencia, la evolución del campo medio puede determinarse a partir de las estadísticas del movimiento de las partículas fluidas. ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \left\langle \phi \right\rangle }$

formulación lagrangiana

Fuente: ^[13]

Considere un flujo turbulento ilimitado en el que una fuente en ese momento determina el campo escalar con algún valor: ${\textstyle t_{0}}$

$${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {x}})}$$

${\textstyle {\vec {X}}(t,{\vec {Y}})}$ ${\textstyle t_{0}}$ ${\textstyle {\vec {Y}}}$

Si se desprecia la difusión molecular, se conserva después de una partícula fluida. Entonces, el valor de en los puntos inicial y final de la trayectoria de la partícula fluida es el mismo: ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \phi }$

$${\displaystyle \phi ({\vec {X}}(t,{\vec {Y}}),t)=\phi ({\vec {Y}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {Y}})}$$

$${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =\left\langle \phi _{0}({\vec {Y}}(t,{\vec {x}})\right\rangle =\int f_{X}({\vec {x}};t|{\vec {Y}})\phi _{0}({\vec {Y}})d{\vec {Y}}}$$

donde es la función de densidad de probabilidad directa de la posición de las partículas. ${\textstyle f_{X}}$

Dispersión desde una fuente puntual

Para el caso de una fuente puntual unitaria fija en la ubicación , es decir, , el valor esperado de es ${\textstyle {\vec {Y_{0}}}}$ ${\textstyle \phi _{0}({\vec {x}})=\delta ({\vec {x}}-{\vec {Y_{0}}})}$ ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =f_{X}({\vec {x}};t|Y_{0})}$$

${\textstyle f_{X}}$

El caso más sencillo a considerar es la dispersión desde una fuente puntual, situada en el origen ( ), en una turbulencia isotrópica estadísticamente estacionaria . En particular, considere un experimento en el que el campo isotrópico de velocidades turbulentas tiene media cero. ${\textstyle Y_{0}=0}$

En este contexto, se pueden derivar los siguientes resultados:

• 

  Muestras de trayectorias de partículas fluidas dadas por la ecuación de Langevin para tiempos mucho más cortos que la escala de tiempo de Lagrang. Tenga en cuenta que la expectativa evoluciona linealmente. (Ambos ejes se expresan en cantidades adimensionales adecuadas).

  

  Muestras de trayectorias de partículas fluidas dadas por la ecuación de Langevin para tiempos mucho más largos que la escala de tiempo de Lagrang. Tenga en cuenta que la expectativa evoluciona como una raíz cuadrada del tiempo. (Ambos ejes se expresan en cantidades adimensionales adecuadas).

  Dado que el campo isotrópico de velocidades turbulentas tiene media cero, las partículas de fluido se dispersan desde el origen isotrópicamente, lo que significa que la media y la covarianza de la posición de la parcela de fluido son respectivamente
  $${\displaystyle \left\langle {\vec {X}}(t,0)\right\rangle =\int _{0}^{t}\left\langle {\vec {U}}(s,0)\right\rangle ds=0}$$
  $${\displaystyle \left\langle X_{i}(t,0)X_{j}(t,0)\right\rangle =\sigma _{X}^{2}(t)\delta _{ij}}$$
  donde está la desviación estándar y el delta de Kronecker . ${\textstyle \sigma _{x}(t)}$ ${\textstyle \delta _{ij}}$
• La desviación estándar del desplazamiento de partículas está dada en términos de la autocorrelación de velocidad lagrangiana seguida por ${\textstyle \rho (s)}$
  $${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)=2u'^{2}\int _{0}^{t}(t-s)\rho (s)ds}$$
  ¿Dónde está la raíz cuadrática media de la velocidad ? Este resultado se corresponde con el resultado obtenido originalmente por Taylor. ^[18] ${\textstyle u'}$
• Para todos los tiempos, la dispersión se puede expresar en términos de difusividad como ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)}$

$${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sigma _{X}^{2}=u'^{2}\int _{0}^{t}\rho (s)ds}$$

• La cantidad define una escala de tiempo característica de la turbulencia llamada escala de tiempo integral de Lagrang. ${\displaystyle T_{L}=\int _{0}^{\infty }\rho (s)ds}$
• Para tiempos suficientemente pequeños ( ), que pueden aproximarse con , el movimiento del fluido en línea recta conduce a un aumento lineal de la desviación estándar que, en términos, corresponde a una difusividad dependiente del tiempo . Esto arroja luz sobre uno de los contraejemplos experimentales de difusión en gradiente mencionados anteriormente, a saber, la observación de la velocidad de propagación lineal del humo cerca de la chimenea. ${\textstyle t\ll T_{L}}$ ${\textstyle \rho (s)}$ ${\textstyle \rho (0)=1}$ ${\textstyle \sigma _{X}\approx u't}$ ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)\approx u'^{2}t}$
• Para tiempos suficientemente grandes ( ), la dispersión corresponde a la difusión con una difusividad constante, de modo que la desviación estándar aumenta como la raíz cuadrada del tiempo siguiente. ${\textstyle t\gg T_{L}}$ ${\textstyle \Gamma _{T}=u'^{2}T_{L}}$
  $${\displaystyle \sigma _{X}(t)\approx {\sqrt {2u'^{2}T_{L}t}}}$$
• Este es el mismo tipo de dependencia que se derivó para un caso simple de difusión en gradiente. Este acuerdo entre los dos enfoques sugiere que, para tiempos suficientemente largos, el modelo de gradiente funciona bien y, en cambio, no logra predecir el comportamiento de las partículas recientemente expulsadas de su fuente.

Ecuación de Langevin

El modelo lagrangiano estocástico más simple es la ecuación de Langevin , que proporciona un modelo para la velocidad que sigue a la partícula de fluido. En particular, la ecuación de Langevin para la velocidad de las partículas de fluido produce una predicción completa de la dispersión turbulenta. Según la ecuación, la función de autocorrelación de velocidad lagrangiana es exponencial . Con esta expresión para , la desviación estándar del desplazamiento de partículas se puede integrar para obtener ${\displaystyle \rho (s)=\exp(-|s|/T_{L})}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

$${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)=2u^{2}T_{L}[t-T_{L}(1-\exp(-t/T_{L}))]}$$

proceso de Ornstein-Uhlenbeck

$${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =(\sigma _{X}{\sqrt {2\pi }})^{-3}\exp(-x_{i}x_{i}/2\sigma _{X}^{2})}$$

${\displaystyle \sigma _{X}(t)}$

Difusión de remolinos en las ciencias naturales.

Difusión de remolinos en el océano.

La difusión molecular es insignificante a los efectos del transporte de materiales a través de cuencas oceánicas. Sin embargo, las observaciones indican que los océanos se mezclan constantemente. Esto es posible gracias a los remolinos oceánicos que van desde microescalas de Kolmogorov hasta giros que abarcan cuencas enteras. La actividad de remolinos que permite esta mezcla disipa continuamente energía, que pierde en escalas de movimiento más pequeñas. Esto se equilibra principalmente con las mareas y la tensión del viento, que actúan como fuentes de energía que compensan continuamente la energía disipada. ^{[20] [21]}

Transporte vertical: circulación invertida y remolinos

Aparte de las capas situadas en las inmediaciones de la superficie, la mayor parte del océano está estratificada de forma estable. En unas pocas regiones estrechas y esporádicas en latitudes altas, el agua superficial se vuelve lo suficientemente inestable como para hundirse profundamente y constituir la rama profunda hacia el sur de la circulación de retorno ^[20] (ver, por ejemplo, AMOC ). La difusión de remolinos, principalmente en la corriente circumpolar antártica , permite entonces el retorno ascendente de estas masas de agua. El afloramiento también tiene un componente costero debido al transporte de Ekman , pero se considera que la corriente circumpolar antártica es la fuente dominante de afloramiento, responsable de aproximadamente el 80% de su intensidad total. ^[22] Por lo tanto, la eficiencia de la mezcla turbulenta en las regiones subantárticas es el elemento clave que fija la velocidad de la circulación y, por tanto, el transporte de calor y sal a través del océano global.

La difusión de remolinos también controla el afloramiento de carbono atmosférico disuelto en la parte superior del océano miles de años antes y, por lo tanto, juega un papel importante en el sistema climático de la Tierra. ^[9] En el contexto del calentamiento global causado por el aumento del dióxido de carbono atmosférico , el afloramiento de estas antiguas masas de agua (por lo tanto, menos ricas en carbono), al mismo tiempo que se disuelve y hace descender el aire actual rico en carbono, provoca una acumulación neta de emisiones de carbono en el océano. . Esto a su vez modera el cambio climático, pero provoca problemas como la acidificación de los océanos . ^[10]

Transporte horizontal: plásticos

Un ejemplo de transporte horizontal que ha recibido un importante interés de investigación en el siglo XXI es el transporte de plásticos flotantes . A grandes distancias, el mecanismo de transporte más eficaz es la circulación impulsada por el viento . El transporte convergente de Ekman en los giros subtropicales los convierte en regiones de mayor concentración de plástico flotante (por ejemplo, la Gran mancha de basura del Pacífico ). ^[23]

Además de las circulaciones a gran escala ( deterministas ), muchos procesos a menor escala desdibujan el panorama general del transporte de plástico. La difusión turbulenta subred añade una naturaleza estocástica al movimiento. A menudo se realizan estudios numéricos que involucran grandes conjuntos de partículas flotantes para superar esta estocasticidad inherente .

Además, también hay remolinos más macroscópicos que se resuelven en simulaciones y se comprenden mejor. Por ejemplo, los remolinos de mesoescala juegan un papel importante. Los remolinos de mesoescala son vórtices que giran lentamente con diámetros de cientos de kilómetros y se caracterizan por números de Rossby mucho más pequeños que la unidad. Los remolinos anticiclónicos (en el sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio norte) tienen un componente de flujo radial en la superficie hacia el interior, que provoca una acumulación neta de partículas flotantes en su centro. Los remolinos de mesoescala no sólo son capaces de retener escombros, sino también de transportarlos a grandes distancias debido a su deriva hacia el oeste. Esto se ha demostrado en el caso de los vagabundos de superficie, los marcadores de isótopos radiactivos, ^[24] el plancton, las medusas, ^{[25] [12]} el calor y la sal. ^[11] Los vórtices submesoescala y los frentes oceánicos también son importantes, pero normalmente no se resuelven en modelos numéricos y contribuyen al componente estocástico del transporte antes mencionado. ^[23]

Atmósfera

Fuente: ^[16]

El problema de la difusión en la atmósfera a menudo se reduce al de resolver la ecuación de difusión original basada en gradiente bajo las condiciones de contorno apropiadas. Esta teoría a menudo se denomina teoría K, donde el nombre proviene del coeficiente de difusividad K introducido en la teoría basada en gradientes.

Si se considera que K es constante, por ejemplo, se puede considerar que mide el flujo de una cantidad escalar pasiva , como el humo a través de la atmósfera. ${\textstyle \phi }$

Para un medio estacionario , en el que los coeficientes de difusión, que no son necesariamente iguales, pueden variar con las tres coordenadas espaciales, la ecuación de difusión más general basada en gradiente establece: ${\textstyle \phi }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K_{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow \infty \quad {\text{for}}\quad -\infty <x<\infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow 0\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\end{aligned}}}$$

${\textstyle \phi \rightarrow \infty }$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi dx=\Phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\displaystyle \phi }$

La solución de este problema es una función gaussiana. En particular, la solución para una fuente puntual instantánea de , con fuerza , de una atmósfera en la que es constante, y para la que consideramos un sistema de referencia lagrangiano que se mueve con el viento medio : ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle {\overline {u}}}$ ${\textstyle v=w=0}$ ${\textstyle {\overline {u}}}$

$${\displaystyle {\frac {\phi }{\Phi }}={\frac {1}{(4\pi Kt)^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}$$

Capa límite atmosférica

La teoría K se ha aplicado al estudiar la dinámica de una cantidad escalar a través de la capa límite atmosférica . El supuesto de difusividad de remolinos constante rara vez se puede aplicar aquí y, por esta razón, no es posible aplicar simplemente la teoría K como se presentó anteriormente. ${\displaystyle \phi }$

Sin perder generalidad, considere un estado estacionario, es decir , y una fuente lineal de viento cruzado infinita, para la cual, en ${\textstyle \partial \phi /\partial t=0}$ ${\textstyle z=0}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=0}$$

${\textstyle \partial (K_{x}\partial \phi /\partial x)/\partial x\ll {\overline {u}}\partial \phi /\partial x}$ ${\textstyle q}$

$${\displaystyle {\overline {u}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow \infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad z>0\quad {\text{but}}\quad \phi \rightarrow \infty \quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0,\quad z\rightarrow 0\quad {\text{such that}}\quad \lim _{x\rightarrow 0}\int _{0}^{\infty }{\overline {u}}\phi dz=\Phi \\(3)\quad &K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad x>0\end{aligned}}}$$

${\textstyle K_{z}}$

Ejemplo de una columna inclinada descrita utilizando la teoría K en "Diffusion of stack gasses in very stable atmósfera" por Morton L. Barad. ^[26]

Como ejemplo, la teoría K se usa ampliamente en la difusión turbulenta atmosférica (conducción de calor desde la superficie terrestre, distribución de momento) porque la ecuación diferencial fundamental involucrada puede simplificarse considerablemente eliminando una o más de las coordenadas espaciales. ^[27] Dicho esto, en la conducción de calor de la capa límite planetaria, la fuente es una función de tiempo sinusoidal y, por lo tanto, la complejidad matemática de algunas de estas soluciones es considerable.

Deficiencias y ventajas.

En general, la teoría K tiene algunas deficiencias. Calder ^[28] estudió la aplicabilidad de la ecuación de difusión al caso atmosférico y concluyó que la forma estándar de la teoría K no puede ser válida en general. Monin ^[29] se refiere a la teoría K como una teoría semiempírica de la difusión y señala que debe tenerse en cuenta la naturaleza básica de la teoría K a medida que la cadena de deducciones de la ecuación original se hace más larga y complicada.

Dicho esto, la teoría K proporciona muchos resultados prácticos y útiles. Uno de ellos es el estudio de Barad ^{[26] donde desarrolló una teoría K del complicado problema de la difusión de una columna de} humo inclinada en atmósferas muy estables.

Nota sobre cómo revolver y mezclar

El verbo "revolver" tiene un significado distinto de "mezclar". El primero representa un fenómeno a mayor escala, como la difusión en remolinos, mientras que el segundo se utiliza a veces para procesos más microscópicos, como la difusión molecular. A menudo se utilizan indistintamente, incluida cierta literatura científica. "Mezclar" se utiliza a menudo para el resultado de ambos, especialmente en narraciones menos formales. Se puede ver en la animación de la sección introductoria que la agitación inducida por remolinos descompone el área negra en patrones espaciales más pequeños y caóticos, pero en ninguna parte aparece ningún tono de gris. Dos fluidos se entrelazan cada vez más, pero no se mezclan debido a la difusión en remolinos. En realidad, a medida que su interfaz se hace más grande, la difusión molecular se vuelve cada vez más eficiente y finaliza la homogeneización mezclando las moléculas a través de los límites. Este es un proceso verdaderamente microscópicamente irreversible. Pero incluso sin que la difusión molecular se encargue del último paso, se puede afirmar razonablemente que la concentración espacial se altera debido a la difusión en remolino. En la práctica, la concentración se define utilizando un volumen de control muy pequeño pero finito en el que se cuentan las partículas de las especies relevantes. Promediar un volumen de control tan pequeño produce una medida útil de concentración. Este procedimiento captura bien la acción de todos los remolinos más pequeños que el tamaño del volumen de control. Esto permite formular ecuaciones que describen la difusión en remolinos y su efecto sobre la concentración sin la necesidad de considerar explícitamente la difusión molecular.

Referencias

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