Difeología

En matemáticas , una difeología sobre un conjunto generaliza el concepto de gráficos suaves en una variedad diferenciable , declarando cuáles son las "parametrizaciones suaves" en el conjunto.

El concepto fue introducido por primera vez por Jean-Marie Souriau en la década de 1980 bajo el nombre de Espace différentiel ^{[1] [2]} y luego desarrollado por sus estudiantes Paul Donato ^[3] y Patrick Iglesias. ^{[4] [5]} Una idea relacionada fue introducida por Kuo-Tsaï Chen (陳國才, Chen Guocai ) en la década de 1970, utilizando conjuntos convexos en lugar de conjuntos abiertos para los dominios de las parcelas. ^[6]

Definición intuitiva

Recordemos que una variedad topológica es un espacio topológico que es localmente homeomorfo a . Las variedades diferenciables generalizan la noción de suavidad en el siguiente sentido: una variedad diferenciable es una variedad topológica con un atlas diferenciable , es decir, una colección de funciones de subconjuntos abiertos de a la variedad que se utilizan para "retraer" la estructura diferencial de a la variedad. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Un espacio difeológico consiste en un conjunto junto con una colección de funciones (llamada difeología ) que satisfacen axiomas adecuados, que generalizan la noción de un atlas sobre una variedad. De esta manera, la relación entre variedades lisas y espacios difeológicos es análoga a la relación entre variedades topológicas y espacios topológicos.

Más precisamente, una variedad suave puede definirse de manera equivalente como un espacio difeológico que es localmente difeomorfo a . De hecho, cada variedad suave tiene una difeología natural, que consiste en su atlas máximo (todas las funciones suaves de subconjuntos abiertos de a la variedad). Este punto de vista abstracto no hace referencia a un atlas específico (y por lo tanto a una dimensión fija ) ni al espacio topológico subyacente, y por lo tanto es adecuado para tratar ejemplos de objetos más generales que las variedades. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Definición formal

Una difeología sobre un conjunto consiste en una colección de mapas, llamados gráficos o parametrizaciones, desde subconjuntos abiertos de ( ) hasta tales que se cumplen los siguientes axiomas: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle X}$

• Axioma de cobertura : cada mapa constante es una gráfica.
• Axioma de localidad : para un mapa dado , si cada punto en tiene un vecindario tal que es una parcela, entonces él mismo es una parcela. ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subset U}$ ${\displaystyle f_{\mid V}}$ ${\displaystyle f}$
• Axioma de compatibilidad suave : si es un gráfico, y es una función suave de un subconjunto abierto de algún en el dominio de , entonces el compuesto es un gráfico. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\circ f}$

Nótese que los dominios de diferentes gráficos pueden ser subconjuntos de para diferentes valores de ; en particular, cualquier difeología contiene los elementos de su conjunto subyacente como los gráficos con . Un conjunto junto con una difeología se denomina espacio difeológico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$

De manera más abstracta, un espacio difeológico es un haz concreto en el sitio de subconjuntos abiertos de , para todos los , y cubiertas abiertas. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Morfismos

Una función entre espacios difeológicos se denomina suave si y solo si su composición con cualquier gráfico del primer espacio es un gráfico del segundo espacio. Se denomina difeomorfismo si es suave, biyectivo y su inverso también es suave. Por construcción, dado un espacio difeológico , sus gráficos definidos en son precisamente todos los gráficos suaves de a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios difeológicos forman una categoría en la que los morfismos son aplicaciones suaves. La categoría de espacios difeológicos está cerrada bajo muchas operaciones categóricas: por ejemplo, es cartesianamente cerrada , completa y cocompleta y, de manera más general, es un quasitopos . ^[7]

Topología D

Cualquier espacio difeológico es automáticamente un espacio topológico con la llamada D-topología : ^[8] la topología final tal que todas las gráficas son continuas (con respecto a la topología euclidiana en ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En otras palabras, un subconjunto es abierto si y solo si es abierto para cualquier gráfico en . En realidad, la D-topología está completamente determinada por curvas suaves , es decir, un subconjunto es abierto si y solo si es abierto para cualquier mapa suave . ^[9] ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle c^{-1}(U)}$ ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to X}$

La D-topología está conectada localmente de forma automática ^[10] y un mapa diferenciable entre espacios difeológicos es automáticamente continuo entre sus D-topologías. ^[5]

Estructuras adicionales

Se puede desarrollar un cálculo de Cartan-De Rham en el marco de las difeologías, así como una adaptación adecuada de las nociones de fibrados , homotopía , etc. ^[5] Sin embargo, no existe una definición canónica de espacios tangentes y fibrados tangentes para espacios difeológicos. ^[11]

Ejemplos

Ejemplos triviales

• Cualquier conjunto puede estar dotado de la difeología burda (o trivial, o indiscreta) , es decir, la mayor difeología posible (cualquier mapa es un gráfico). La D-topología correspondiente es la topología trivial .
• Cualquier conjunto puede estar dotado de difeología discreta (o fina) , es decir, la difeología más pequeña posible (los únicos gráficos son las funciones localmente constantes). La D-topología correspondiente es la topología discreta .
• Cualquier espacio topológico puede ser dotado de la difeología continua , cuyas gráficas son todas aplicaciones continuas .

Colectores

• Cualquier variedad diferenciable es un espacio difeológico considerando su atlas máximo (es decir, las gráficas son todas funciones suaves de subconjuntos abiertos de a la variedad); su D-topología recupera la topología de la variedad original. Con esta difeología, una función entre dos variedades suaves es suave si y solo si es diferenciable en el sentido difeológico. En consecuencia, las variedades suaves con funciones suaves forman una subcategoría completa de la categoría de espacios difeológicos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• De manera similar, las variedades complejas , las variedades analíticas , etc. tienen difeologías naturales que consisten en mapas que preservan la estructura extra.
• Este método de modelado de espacios difeológicos se puede extender a modelos locales que no son necesariamente el espacio euclidiano . Por ejemplo, los espacios difeológicos incluyen orbifolds , que se modelan sobre espacios cocientes , para es un subgrupo lineal finito, ^[12] o variedades con borde y vértices, modeladas sobre ortantes , etc. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$
• Cualquier variedad de Banach es un espacio difeológico. ^[14]
• Cualquier variedad de Fréchet es un espacio difeológico. ^{[15] [16]}

Construcciones desde otros espacios difeológicos

• Si a un conjunto se le dan dos difeologías diferentes, su intersección es una difeología en , llamada difeología de intersección , que es más fina que ambas difeologías iniciales. La D-topología de la difeología de intersección es la intersección de las D-topologías de las difeologías iniciales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un subconjunto del espacio difeológico , entonces la difeología del subespacio en es la difeología que consiste en las gráficas de cuyas imágenes son subconjuntos de . La D-topología de es igual a la topología del subespacio de la D-topología de si es abierta, pero puede ser más fina en general. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Si y son espacios difeológicos, entonces la difeología del producto sobre el producto cartesiano es la difeología generada por todos los productos de los gráficos de y de . La D-topología de es la topología delta-generada más burda que contiene la topología del producto de las D-topologías de y ; es igual a la topología del producto cuando o es localmente compacta , pero puede ser más fina en general. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Si es un espacio difeológico y es una relación de equivalencia en , entonces la difeología cociente en el conjunto cociente /~ es la difeología generada por todas las composiciones de parcelas de con la proyección de a . La D-topología en es la topología cociente de la D-topología de (nótese que esta topología puede ser trivial sin que la difeología sea trivial). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/\sim }$ ${\displaystyle X/\sim }$ ${\displaystyle X}$
• La difeología de empuje hacia adelante de un espacio difeológico por una función es la difeología en generada por las composiciones , para una trama de . En otras palabras, la difeología de empuje hacia adelante es la difeología más pequeña en hacer diferenciable. La difeología del cociente se reduce a la difeología de empuje hacia adelante por la proyección . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\circ p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\to X/\sim }$
• La difeología de pullback de un espacio difeológico por una función es la difeología en cuyos gráficos hay mapas tales que la composición es un gráfico de . En otras palabras, la difeología de pullback es la difeología más pequeña en hacer diferenciable. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\circ p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$
• La difeología funcional entre dos espacios difeológicos es la difeología en el conjunto de mapas diferenciables, cuyos gráficos son los mapas tales que es suave (con respecto a la difeología del producto de ). Cuando y son variedades, la D-topología de es la topología localmente conectada por caminos más pequeña que contiene la topología débil . ^[9] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$ ${\displaystyle \phi :U\to {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$ ${\displaystyle (u,x)\mapsto \phi (u)(x)}$ ${\displaystyle U\times X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$

Difeología de alambres/espaguetis

La difeología de alambre (o difeología de espagueti ) en es la difeología cuyos gráficos se factorizan localmente a través de . Más precisamente, una función es un gráfico si y solo si para cada hay un vecindario abierto de tal que para dos gráficos y . Esta difeología no coincide con la difeología estándar en : por ejemplo, la identidad no es un gráfico en la difeología de alambre. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p:U\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p|_{V}=q\circ F}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {id} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

Este ejemplo se puede ampliar a difeologías cuyos gráficos se factorizan localmente a través de . De manera más general, se puede considerar la difeología de rango restringido en una variedad suave : una función es un gráfico si y solo si el rango de su diferencial es menor o igual que . Para ello se recupera la difeología de alambre. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\to M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=1}$

Otros ejemplos

• Los cocientes proporcionan una manera sencilla de construir difeologías no-variedades. Por ejemplo, el conjunto de números reales es una variedad suave. El cociente , para algún irracional , llamado toro irracional , es un espacio difeológico difeomorfo al cociente del 2-toro regular por una línea de pendiente . Tiene una difeología no trivial, pero su D-topología es la topología trivial . ^[18] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$
• Combinando la difeología del subespacio y la difeología funcional, se pueden definir difeologías en el espacio de secciones de un haz de fibras , o en el espacio de bisecciones de un grupoide de Lie , etc.

Subducciones e inducciones

De manera análoga a las nociones de sumersiones e inmersiones entre variedades, existen dos clases especiales de morfismos entre espacios difeológicos. Una subducción es una función sobreyectiva entre espacios difeológicos tal que la difeología de es el empuje hacia delante de la difeología de . De manera similar, una inducción es una función inyectiva entre espacios difeológicos tal que la difeología de es el retroceso de la difeología de . Nótese que las subducciones e inducciones son automáticamente suaves. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Es instructivo considerar el caso donde y son variedades suaves. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• Toda inmersión sobreyectiva es una subducción. ${\displaystyle f:X\to Y}$
• Una subducción no tiene por qué ser necesariamente una inmersión sobreyectiva. Un ejemplo lo da . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y):=xy}$
• Una inmersión inyectiva no tiene por qué ser necesariamente una inducción. Un ejemplo es la parametrización de la "figura ocho", dada por . ${\displaystyle f:\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R^{2}} }$ ${\displaystyle f(t):=(2\cos(t),\sin(2t))}$
• Una inducción no tiene por qué ser necesariamente una inmersión inyectiva. Un ejemplo es el "semicúbico", dado por . ^{[19] [20]} ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(t):=(t^{2},t^{3})}$

En la categoría de espacios difeológicos, las subducciones son precisamente los epimorfismos fuertes, y las inducciones son precisamente los monomorfismos fuertes . Una función que es a la vez subducción e inducción es un difeomorfismo. ^[17]

Referencias

1. Souriau, JM (1980), García, PL; Pérez-Rendón, A.; Souriau, JM (eds.), "Grupos diferenciales", Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics, vol. 836, Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 91–128, doi :10.1007/bfb0089728, ISBN 978-3-540-10275-5, consultado el 16 de enero de 2022
2. Souriau, Jean-Marie (1984), Denardo, G.; Ghirardi, G.; Weber, T. (eds.), "Groupes différentiels et physique mathématique", Métodos teóricos grupales en física , Lecture Notes in Physics, vol. 201, Berlín/Heidelberg: Springer-Verlag, págs. 511–513, doi :10.1007/bfb0016198, ISBN 978-3-540-13335-3, consultado el 16 de enero de 2022
3. Donato, Pablo (1984). Revêtement et groupe fondamental des espaces différentiels homogènes [ Revestimientos y grupos fundamentales de espacios diferenciales homogéneos ] (en francés). Marsella: tesis ScD, Université de Provence .
4. Iglesias, Patricio (1985). Fibrés difféologiques et homotopie [ Haces de fibras difeológicas y homotopía ] (PDF) (en francés). Marsella: tesis ScD, Université de Provence .
5. Iglesias-Zemmour, Patrick (9 de abril de 2013). Difeología. Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 185. American Mathematical Society. doi :10.1090/surv/185. ISBN 978-0-8218-9131-5.
6. Chen, Kuo-Tsai (1977). "Integrales de trayectoria iteradas". Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas . 83 (5): 831–879. doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14320-6 . ISSN  0002-9904.
7. Baez, John; Hoffnung, Alexander (2011). "Categorías convenientes de espacios suaves". Transacciones de la American Mathematical Society . 363 (11): 5789–5825. arXiv : 0807.1704 . doi : 10.1090/S0002-9947-2011-05107-X . ISSN  0002-9947.
8. Iglesias, Patricio (1985). Fibrés difféologiques et homotopie [ Haces de fibras difeológicas y homotopía ] (PDF) (en francés). Marsella: tesis ScD, Université de Provence . Definición 1.2.3
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12. Iglesias-Zemmour, Patrick; Karshon, Yael; Zadka, Moshe (2010). "Orbifolds como difeologías" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 362 (6): 2811–2831. doi :10.1090/S0002-9947-10-05006-3. JSTOR  25677806. S2CID  15210173.
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19. Karshon, Yael; Miyamoto, David; Watts, Jordan (21 de abril de 2022). "Subvariedades difeológicas y sus amigos". arXiv : 2204.10381 [math.DG].
20. Joris, Henri (1 de septiembre de 1982). "Una aplicación C∞ no inmersiva que posee la propiedad universal de las inmersiones". Archiv der Mathematik (en francés). 39 (3): 269–277. doi :10.1007/BF01899535. ISSN  1420-8938.

Enlaces externos

• Patrick Iglesias-Zemmour: Diffeology (libro), Mathematical Surveys and Monographs, vol. 185, American Mathematical Society, Providence, RI USA [2013].
• Patrick Iglesias-Zemmour: Diffeología (muchos documentos)
• diffeology.net Centro global sobre difeología y temas relacionados