Desigualdad de Pu

Una animación de la superficie romana que representa RP ² en R ³

En geometría diferencial , la desigualdad de Pu , demostrada por Pao Ming Pu , relaciona el área de una superficie riemanniana arbitraria homeomorfa al plano proyectivo real con las longitudes de las curvas cerradas contenidas en ella.

Declaración

Un estudiante de Charles Loewner , Pu demostró en su tesis de 1950 (Pu 1952) que toda superficie riemanniana homeomorfa al plano proyectivo real satisface la desigualdad ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}\operatorname {Systole} (M)^{2},}$

donde es la sístole de . La igualdad se alcanza precisamente cuando la métrica tiene curvatura gaussiana constante . ${\displaystyle \operatorname {Systole} (M)}$ ${\displaystyle M}$

En otras palabras, si todos los bucles no contráctiles en tienen una longitud de al menos , entonces y la igualdad se cumple si y sólo si se obtiene de una esfera euclidiana de radio identificando cada punto con su antípoda. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}L^{2},}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r=L/\pi }$

El artículo de Pu también planteó por primera vez la desigualdad de Loewner , un resultado similar para las métricas de Riemann en el toro .

Prueba

La prueba original de Pu se basa en el teorema de uniformización y emplea un argumento de promedio, como sigue.

Por uniformización, la superficie de Riemann es difeomorfa conformemente a un plano proyectivo redondo. Esto significa que podemos suponer que la superficie se obtiene a partir de la esfera unitaria euclidiana identificando puntos antípodas, y el elemento de longitud de Riemann en cada punto es ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {dLength} =f(x)\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}},}$

donde es el elemento de longitud euclidiana y la función , llamada factor conforme , satisface . ${\displaystyle \mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to (0,+\infty )}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

Más precisamente, la cubierta universal de es , un bucle no es contráctil si y solo si su sustentación va de un punto a su opuesto, y la longitud de cada curva es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \gamma \subseteq M}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}\subseteq S^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{\widetilde {\gamma }}f\,\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}.}$

Sujeto a la restricción de que cada una de estas longitudes es al menos , queremos encontrar una que minimice la ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {Area} (M,g)=\int _{S_{+}^{2}}f(x)^{2}\,\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x),}$

¿Dónde está la mitad superior de la esfera? ${\displaystyle S_{+}^{2}}$

Una observación clave es que si promediamos varios valores diferentes que satisfacen la restricción de longitud y tienen la misma área , entonces obtenemos un mejor factor conforme , que también satisface la restricción de longitud y tiene ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{\text{new}}={\frac {1}{n}}\sum _{0\leq i<n}f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Area} (M,g_{\text{new}})=\int _{S_{+}^{2}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}f_{i}(x)\right)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\int _{S_{+}^{2}}f_{i}(x)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)\right)=A,}$

y la desigualdad es estricta a menos que las funciones sean iguales. ${\displaystyle f_{i}}$

Una forma de mejorar cualquier variable no constante es obtener las diferentes funciones a partir de las rotaciones de la esfera , definiendo . Si hacemos un promedio de todas las rotaciones posibles , obtenemos una que es constante en toda la esfera. Podemos reducir aún más esta constante al valor mínimo permitido por la restricción de longitud. Luego obtenemos la métrica única que alcanza el área mínima . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R_{i}\in SO^{3}}$ ${\displaystyle f_{i}(x)=f(R_{i}(x))}$ ${\displaystyle f_{\text{new}}}$ ${\displaystyle r={\frac {L}{\pi }}}$ ${\displaystyle 2\pi r^{2}={\frac {2}{\pi }}L^{2}}$

Reformulación

Alternativamente, cada métrica en la esfera invariante bajo el mapa antípoda admite un par de puntos opuestos a la distancia de Riemann que satisface ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle p,q\in S^{2}}$ ${\displaystyle d=d(p,q)}$ ${\displaystyle d^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\operatorname {area} (S^{2}).}$

Una explicación más detallada de este punto de vista se puede encontrar en la página Introducción a la geometría sistólica .

Conjetura del área de llenado

Una formulación alternativa de la desigualdad de Pu es la siguiente: de todos los rellenos posibles del círculo de longitud de Riemann mediante un disco de dimensión 1 con la propiedad fuertemente isométrica, el hemisferio redondo tiene el área menor. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2}$

Para explicar esta formulación, comenzamos con la observación de que el círculo ecuatorial de la esfera unitaria es un círculo riemanniano de longitud . Más precisamente, la función de distancia riemanniana de se induce a partir de la distancia riemanniana ambiental en la esfera. Nótese que esta propiedad no se satisface con la incrustación estándar del círculo unitario en el plano euclidiano. De hecho, la distancia euclidiana entre un par de puntos opuestos del círculo es solo , mientras que en el círculo riemanniano es . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$

Consideramos todos los rellenos de por un disco de dimensión -, de modo que la métrica inducida por la inclusión del círculo como límite del disco es la métrica de Riemann de un círculo de longitud . La inclusión del círculo como límite se denomina entonces incrustación fuertemente isométrica del círculo. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Gromov conjeturó que el hemisferio redondo proporciona la "mejor" manera de llenar el círculo incluso cuando se permite que la superficie de relleno tenga género positivo (Gromov 1983).

Desigualdad isoperimétrica

La desigualdad de Pu tiene una curiosa semejanza con la desigualdad isoperimétrica clásica

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A}$

Para las curvas de Jordan en el plano, donde es la longitud de la curva mientras que es el área de la región que limita. Es decir, en ambos casos una cantidad bidimensional (área) está limitada por (el cuadrado de) una cantidad unidimensional (longitud). Sin embargo, la desigualdad va en la dirección opuesta. Por lo tanto, la desigualdad de Pu puede considerarse como una desigualdad isoperimétrica "opuesta". ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Conjetura del área de llenado
• Desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales
• Desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo
• Desigualdad del toro de Loewner
• Geometría sistólica
• Sístoles de superficies

Referencias

• Gromov, Mikhael (1983). "Relleno de variedades de Riemann". J. Differential Geom. 18 (1): 1–147. doi : 10.4310/jdg/1214509283 . MR  0697984.
• Gromov, Mikhael (1996). "Sístoles y desigualdades intersistólicas". En Besse, Arthur L. (ed.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [ Actas de la Mesa Redonda sobre Geometría Diferencial ]. Seminarios y Congresos. vol. 1. París: Soc. Matemáticas. Francia. págs. 291–362. ISBN 2-85629-047-7.Señor 1427752  .
• Gromov, Misha (1999) [1981]. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Progress in Mathematics. Vol. 152. Con apéndices de M. Katz, P. Pansu y S. Semmes. Traducido del francés por Sean Michael Bates. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3898-9.Señor 1699320  .
• Katz, Mikhail G. (2007). Geometría y topología sistólicas . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 137. Con un apéndice de J. Solomon. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/surv/137. ISBN . 978-0-8218-4177-8. Sr.  2292367. S2CID  118039315.
• Pu, Pao Ming (1952). "Algunas desigualdades en ciertas variedades de Riemann no orientables". Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR  0048886.