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Descomposición espinodal

Evolución microestructural según la ecuación de Cahn-Hilliard , que demuestra un engrosamiento distintivo y una separación de fases.

La descomposición espinodal es un mecanismo por el cual una única fase termodinámica se separa espontáneamente en dos fases (sin nucleación ). [1] La descomposición ocurre cuando no existe una barrera termodinámica para la separación de fases. Como resultado, la separación de fases mediante descomposición no requiere los eventos de nucleación resultantes de las fluctuaciones termodinámicas, que normalmente desencadenan la separación de fases.

La descomposición espinodal se observa cuando mezclas de metales o polímeros se separan en dos fases coexistentes, cada una rica en una especie y pobre en la otra. [2] Cuando las dos fases emergen en proporciones aproximadamente iguales (cada una ocupando aproximadamente el mismo volumen o área), se forman estructuras entrelazadas características que gradualmente se vuelven más gruesas (ver animación). La dinámica de la descomposición espinodal se modela comúnmente utilizando la ecuación de Cahn-Hilliard .

La descomposición espinodal es fundamentalmente diferente de la nucleación y el crecimiento. Cuando existe una barrera de nucleación para la formación de una segunda fase, el sistema tarda un tiempo en superar esa barrera. Como no existe ninguna barrera (por definición) para la descomposición espinodal, algunas fluctuaciones (en el parámetro de orden que caracteriza la fase) comienzan a crecer instantáneamente. Además, en la descomposición espinodal, las dos fases distintas comienzan a crecer en cualquier ubicación de manera uniforme en todo el volumen, mientras que un cambio de fase nucleada comienza en un número discreto de puntos.

La descomposición espinodal ocurre cuando una fase homogénea se vuelve termodinámicamente inestable. Una fase inestable se encuentra en un máximo de energía libre . Por el contrario, la nucleación y el crecimiento ocurren cuando una fase homogénea se vuelve metaestable . Es decir, otro sistema bifásico se vuelve más bajo en energía libre, pero la fase homogénea permanece en un mínimo local en energía libre y, por lo tanto, es resistente a pequeñas fluctuaciones. J. Willard Gibbs describió dos criterios para una fase metaestable: que debe permanecer estable frente a un pequeño cambio en un área grande. [3]

Historia

A principios de la década de 1940, Bradley informó sobre la observación de bandas laterales alrededor de los picos de Bragg en el patrón de difracción de rayos X de una aleación de Cu-Ni-Fe que se había enfriado y luego recocido dentro del espacio de miscibilidad . Daniel y Lipson realizaron otras observaciones sobre la misma aleación y demostraron que las bandas laterales podían explicarse por una modulación periódica de la composición en las direcciones <100>. A partir del espaciamiento de las bandas laterales, pudieron determinar la longitud de onda de la modulación, que era del orden de 100 angstroms (10 nm).

El crecimiento de una modulación de la composición en una aleación inicialmente homogénea implica una difusión ascendente o un coeficiente de difusión negativo. Becker y Dehlinger ya habían predicho una difusividad negativa dentro de la región espinodal de un sistema binario, pero sus tratamientos no pudieron explicar el crecimiento de una modulación de una longitud de onda particular, como se observó en la aleación Cu-Ni-Fe. De hecho, cualquier modelo basado en la ley de Fick produce una solución físicamente inaceptable cuando el coeficiente de difusión es negativo.

La primera explicación de la periodicidad fue dada por Mats Hillert en su tesis doctoral de 1955 en el MIT . Partiendo de un modelo de solución regular, derivó una ecuación de flujo para la difusión unidimensional en una red discreta. Esta ecuación difería de la habitual por la inclusión de un término, que permitía el efecto de la energía interfacial en la fuerza impulsora de los planos interatómicos adyacentes que diferían en composición. Hillert resolvió la ecuación de flujo numéricamente y descubrió que dentro del espinodal producía una variación periódica de la composición con la distancia. Además, la longitud de onda de la modulación era del mismo orden que la observada en las aleaciones de Cu-Ni-Fe. [4] [5]

Basándose en el trabajo de Hillert, John W. Cahn y John Hilliard desarrollaron posteriormente un modelo continuo más flexible , que incluía los efectos de las tensiones de coherencia, así como el término de gradiente de energía. Las tensiones son importantes porque determinan la morfología final de la descomposición en materiales anisotrópicos. [6] [7] [8]

Modelo de Cahn-Hilliard para la descomposición espinodal

Las energías libres en presencia de pequeñas fluctuaciones de amplitud, por ejemplo en la concentración, se pueden evaluar utilizando una aproximación introducida por Ginzburg y Landau para describir los gradientes de campo magnético en superconductores. Este enfoque permite aproximar la energía libre como una expansión en términos del gradiente de concentración , un vector . Dado que la energía libre es un escalar y estamos sondeando cerca de sus mínimos, el término proporcional a es insignificante. El término de orden más bajo es la expresión cuadrática , un escalar. Aquí hay un parámetro que controla el costo de energía libre de las variaciones en la concentración .

La energía libre de Cahn-Hilliard es entonces

donde es la energía libre por unidad de volumen de la solución homogénea, y la integral es sobre el volumen del sistema.

Ahora queremos estudiar la estabilidad del sistema con respecto a pequeñas fluctuaciones en la concentración , por ejemplo, una onda sinusoidal de amplitud y vector de onda , para la longitud de onda de la onda de concentración. Para que sea termodinámicamente estable, el cambio de energía libre debido a cualquier fluctuación de concentración de pequeña amplitud , debe ser positivo.

Podemos ampliar la composición media c o de la siguiente manera:

y para la perturbación el cambio de energía libre es

Cuando esto se integra sobre el volumen , da cero, mientras que y se integran para dar . Por lo tanto, [9]

Como , la estabilidad termodinámica requiere que el término entre paréntesis sea positivo. El siempre es positivo pero tiende a cero en vectores de onda pequeños, longitudes de onda grandes. Como nos interesan las fluctuaciones macroscópicas, , la estabilidad requiere que la segunda derivada de la energía libre sea positiva. Cuando lo es, no hay descomposición espinodal, pero cuando es negativa, se producirá la descomposición espinodal. Entonces las fluctuaciones con vectores de onda se vuelven espontáneamente inestables, donde el número de onda crítico viene dado por:

que corresponde a fluctuaciones por encima de una longitud de onda crítica

Dinámica de la descomposición espinodal cuando las moléculas se mueven por difusión

La descomposición espinodal se puede modelar utilizando una ecuación de difusión generalizada : [10] [11] [12]

para el potencial químico y la movilidad. Como señala Cahn, esta ecuación puede considerarse como una definición fenomenológica de la movilidad M, que por definición debe ser positiva. [13] Consiste en la relación entre el flujo y el gradiente local en potencial químico. El potencial químico es una variación de la energía libre y cuando esta es la energía libre de Cahn-Hilliard esto es [10]

y entonces

y ahora queremos ver qué sucede con una pequeña fluctuación de concentración - note que ahora tiene dependencia del tiempo como una dependencia del vector de onda. Aquí hay una tasa de crecimiento. Si entonces la perturbación se reduce a nada, el sistema es estable con respecto a pequeñas perturbaciones o fluctuaciones, y no hay descomposición espinodal. Sin embargo, si entonces la perturbación crece y el sistema es inestable con respecto a pequeñas perturbaciones o fluctuaciones: Hay descomposición espinodal.

Sustituyendo en esta fluctuación de concentración, obtenemos

Esto proporciona las mismas expresiones para la estabilidad que las anteriores, pero también proporciona una expresión para la tasa de crecimiento de las perturbaciones de concentración.

que tiene un máximo en un vector de onda

Entonces, al menos al comienzo de la descomposición espinodal, esperamos que las concentraciones crecientes tengan en su mayoría este vector de onda.

Diagrama de fases

Este tipo de transformación de fase se conoce como descomposición espinodal y se puede ilustrar en un diagrama de fases que muestra una brecha de miscibilidad. Por lo tanto, la separación de fases se produce siempre que un material pasa a la región inestable del diagrama de fases. El límite de la región inestable, a veces denominada curva binodal o de coexistencia, se encuentra realizando una construcción de tangente común del diagrama de energía libre. Dentro del binodal hay una región llamada espinodal, que se encuentra determinando dónde la curvatura de la curva de energía libre es negativa. El binodal y el espinodal se encuentran en el punto crítico. Es cuando un material se mueve a la región espinodal del diagrama de fases que puede ocurrir la descomposición espinodal. [14]

La curva de energía libre se representa gráficamente en función de la composición para una temperatura inferior a la temperatura de convolución, T. Las composiciones de fase de equilibrio son las correspondientes a los mínimos de energía libre. Las regiones de curvatura negativa (∂ 2 f/∂c 2 < 0 ) se encuentran dentro de los puntos de inflexión de la curva (∂ 2 f/∂c 2 = 0 ) que se denominan espinodos. Su lugar geométrico en función de la temperatura define la curva espinodal. Para composiciones dentro del espinodal, una solución homogénea es inestable frente a fluctuaciones infinitesimales en la densidad o la composición, y no existe ninguna barrera termodinámica para el crecimiento de una nueva fase. Por tanto, el espinodal representa el límite de la estabilidad física y química.

Para llegar a la región espinodal del diagrama de fases, una transición debe llevar al material a través de la región binodal o el punto crítico. A menudo, la separación de fases se producirá mediante nucleación durante esta transición y no se observará la descomposición espinodal. Para observar la descomposición espinodal, se requiere una transición muy rápida, a menudo denominada extinción , para pasar de la región estable a la inestable espinodal del diagrama de fases.

En algunos sistemas, el ordenamiento del material conduce a una inestabilidad compositiva y esto se conoce como espinodal condicional , por ejemplo en los feldespatos . [15] [16] [17] [18] [19]

Tensiones de coherencia

En la mayoría de las soluciones sólidas cristalinas, los parámetros de red varían según la composición. Para que la red de una solución de este tipo permanezca coherente en presencia de una modulación de la composición, se debe realizar un trabajo mecánico para tensar la estructura reticular rígida. El mantenimiento de la coherencia afecta así a la fuerza impulsora de la difusión. [13] [20] [21] [22]

Consideremos un sólido cristalino que contiene una modulación de composición unidimensional a lo largo de la dirección x. Calculamos la energía de deformación elástica para un cristal cúbico estimando el trabajo requerido para deformar una porción de material de modo que pueda agregarse de manera coherente a una placa existente de área de sección transversal. Supondremos que la modulación de la composición se produce a lo largo de la dirección x' y, como se indicó, se utilizará un primo para distinguir los ejes de referencia de los ejes estándar de un sistema cúbico (es decir, a lo largo de <100>). [11]

Sea a o la distancia entre las mallas en el plano de la losa y a la de la porción no deformada . Para que la porción sea coherente después de la adición de la losa, debe estar sometida a una deformación ε en las direcciones z' e y' que viene dada por:

En el primer paso, la rodaja se deforma hidrostáticamente para producir las deformaciones requeridas en las direcciones z' e y' . Usamos la compresibilidad lineal de un sistema cúbico 1 / ( c 11 + 2 c 12 ) donde las c son las constantes elásticas. Las tensiones requeridas para producir una deformación hidrostática de δ están dadas por:

El trabajo elástico por unidad de volumen viene dado por:

donde ε son las deformaciones. El trabajo realizado por unidad de volumen de la porción durante el primer paso viene dado por:

En el segundo paso, se sujetan los lados de la rebanada paralelos a la dirección x' y se relaja reversiblemente la tensión en esta dirección. Por lo tanto, ε z' = ε y' = 0. El resultado es que:

El trabajo neto realizado sobre la porción para lograr la coherencia viene dado por:

o

El paso final es expresar c 1'1' en términos de las constantes referidas a los ejes estándar. A partir de la rotación de los ejes, obtenemos lo siguiente:

donde l, m, n son los cosenos directores del eje x' y, por tanto, los cosenos directores de la modulación de la composición. Combinando estos, obtenemos lo siguiente:

No se ha tenido en cuenta la existencia de ninguna deformación por esfuerzo cortante. Cahn consideró este problema y concluyó que no habría esfuerzo cortante para las modulaciones a lo largo de <100>, <110>, <111> y que para otras direcciones el efecto de las deformaciones por esfuerzo cortante sería pequeño. De ello se deduce que la energía de deformación elástica total de una losa de área de sección transversal A viene dada por:

A continuación, tenemos que relacionar la deformación δ con la variación de la composición. Sea a o el parámetro reticular del sólido no deformado de composición media c o . Si utilizamos una expansión en serie de Taylor sobre c o obtenemos lo siguiente:

En el cual

donde las derivadas se evalúan en c o . Por lo tanto, ignorando los términos de orden superior, tenemos:

Sustituyendo obtenemos:

Este simple resultado indica que la energía de deformación de una modulación de composición depende únicamente de la amplitud y es independiente de la longitud de onda. Para una amplitud dada, la energía de deformación W E es proporcional a Y. Consideremos algunos casos especiales.

Para un material isótropo:

de modo que:

Esta ecuación también se puede escribir en términos del módulo de Young E y el coeficiente de Poisson υ utilizando las relaciones estándar:

Sustituyendo obtenemos lo siguiente:

Para la mayoría de los metales, el lado izquierdo de esta ecuación

es positiva, por lo que la energía elástica será mínima para aquellas direcciones que minimicen el término: l 2 m 2 + m 2 n 2 + l 2 n 2 . Por inspección, se ve que son <100>. Para este caso:

lo mismo que para un material isotrópico. Al menos un metal (molibdeno) tiene una anisotropía de signo opuesto. En este caso, las direcciones para el mínimo W E serán aquellas que maximicen la función coseno direccional. Estas direcciones son <111>, y

Como veremos, la tasa de crecimiento de las modulaciones será máxima en las direcciones que minimicen Y. Estas direcciones, por tanto, determinan la morfología y las características estructurales de la descomposición en soluciones sólidas cúbicas.

Reescribiendo la ecuación de difusión e incluyendo el término derivado para la energía elástica se obtiene lo siguiente:

o

que alternativamente puede escribirse en términos del coeficiente de difusión D como:

La forma más sencilla de resolver esta ecuación es utilizando el método de las transformadas de Fourier.

Transformada de Fourier

La motivación para la transformación de Fourier proviene del estudio de una serie de Fourier . En el estudio de una serie de Fourier, las funciones periódicas complicadas se escriben como la suma de ondas simples representadas matemáticamente por senos y cosenos . Debido a las propiedades del seno y el coseno, es posible recuperar la cantidad de cada onda en la suma mediante una integral. En muchos casos es deseable utilizar la fórmula de Euler , que establece que e 2 πiθ  = cos 2 πθ  +  i  sen 2 πθ , para escribir la serie de Fourier en términos de las ondas básicas e 2 πiθ , con la clara ventaja de simplificar muchas fórmulas difíciles de manejar.

El paso de senos y cosenos a exponenciales complejas hace necesario que los coeficientes de Fourier tengan valores complejos. La interpretación habitual de este número complejo es que proporciona tanto la amplitud (o tamaño) de la onda presente en la función como la fase (o el ángulo inicial) de la onda. Este paso también introduce la necesidad de "frecuencias" negativas. (Por ejemplo, si θ se midiera en segundos, las ondas e 2 πiθ y e −2 πiθ completarían un ciclo por segundo, pero representan frecuencias diferentes en la transformada de Fourier. Por lo tanto, la frecuencia ya no mide el número de ciclos por unidad de tiempo, sino que está estrechamente relacionada).

Si A(β) es la amplitud de un componente de Fourier de longitud de onda λ y número de onda β = 2π/λ la variación espacial en la composición se puede expresar mediante la integral de Fourier: [13]

en el que los coeficientes se definen por la relación inversa:

Sustituyendo, obtenemos en coeficientes de igualación:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria que tiene como solución:

en la que A(β) es la amplitud inicial del componente de Fourier de la onda número de onda β y R(β) definida por:

o, expresado en términos del coeficiente de difusión D:

De manera similar, la nueva ecuación de difusión:

tiene una solución de onda sinusoidal simple dada por:

donde se obtiene sustituyendo esta solución en la ecuación de difusión de la siguiente manera:

Para los sólidos, las deformaciones elásticas resultantes de la coherencia agregan términos al factor de amplificación de la siguiente manera:

donde, para sólidos isótropos:

,

donde E es el módulo de elasticidad de Young, ν es el coeficiente de Poisson y η es la deformación lineal por diferencia de composición unitaria. Para los sólidos anisotrópicos, el término elástico depende de la dirección de una manera que puede predecirse mediante constantes elásticas y cómo varían los parámetros de red con la composición. Para el caso cúbico, Y es un mínimo para las direcciones (100) o (111), dependiendo solo del signo de la anisotropía elástica.

De este modo, al describir cualquier fluctuación de la composición en términos de sus componentes de Fourier, Cahn demostró que una solución sería inestable en relación con las fluctuaciones sinusoidales de una longitud de onda crítica. Al relacionar la energía de deformación elástica con las amplitudes de dichas fluctuaciones, formalizó la dependencia de la longitud de onda o la frecuencia del crecimiento de dichas fluctuaciones y, de este modo, introdujo el principio de amplificación selectiva de los componentes de Fourier de ciertas longitudes de onda. El tratamiento produce el tamaño medio de partícula o la longitud de onda esperados de la fluctuación de crecimiento más rápido.

Por lo tanto, la amplitud de las fluctuaciones de la composición debería crecer continuamente hasta que se alcance un equilibrio metaestable con amplificación preferencial de los componentes de longitudes de onda particulares. El factor de amplificación cinética R es negativo cuando la solución es estable a la fluctuación, cero en la longitud de onda crítica y positivo para longitudes de onda más largas, mostrando un máximo exactamente en los tiempos de la longitud de onda crítica.

Consideremos una solución homogénea dentro del espinodal. Inicialmente tendrá una cierta cantidad de fluctuación con respecto a la composición promedio, que puede escribirse como una integral de Fourier. Cada componente de Fourier de esa fluctuación aumentará o disminuirá según su longitud de onda.

Debido al máximo de R en función de la longitud de onda, los componentes de la fluctuación que se multiplican por la longitud de onda crítica crecerán más rápido y serán los que predominen. Este "principio de amplificación selectiva" depende de la presencia inicial de estas longitudes de onda, pero no depende críticamente de su amplitud exacta en relación con otras longitudes de onda (si el tiempo es grande en comparación con (1/R). No depende de ningún supuesto adicional, ya que diferentes longitudes de onda pueden coexistir y no interfieren entre sí.

Las limitaciones de esta teoría parecen surgir de esta suposición y de la ausencia de una expresión formulada para dar cuenta de los procesos irreversibles durante la separación de fases que pueden estar asociados con la fricción interna y la producción de entropía . En la práctica, generalmente existe amortiguamiento por fricción y parte de la energía se transforma en energía térmica. Por lo tanto, la amplitud y la intensidad de una onda unidimensional disminuyen con la distancia desde la fuente y, en el caso de una onda tridimensional, la disminución será mayor.

Dinámica en el espacio k

En la región espinodal del diagrama de fases, la energía libre se puede reducir permitiendo que los componentes se separen, aumentando así la concentración relativa de un material componente en una región particular del material. La concentración seguirá aumentando hasta que el material alcance la parte estable del diagrama de fases. Las regiones muy grandes de material cambiarán su concentración lentamente debido a la cantidad de material que debe moverse. Las regiones muy pequeñas se encogerán debido al costo energético de mantener una interfaz entre dos materiales componentes diferentes. [23] [24] [25]

Para iniciar un enfriamiento homogéneo, se modifica de forma abrupta y global un parámetro de control, como la temperatura. Para una mezcla binaria de materiales de tipo y tipo, la energía libre de Landau

es una buena aproximación de la energía libre cerca del punto crítico y se utiliza a menudo para estudiar los enfriamientos homogéneos. La concentración de la mezcla es la diferencia de densidad de los componentes de la mezcla, los parámetros de control que determinan la estabilidad de la mezcla son y , y el costo de energía interfacial está determinado por .

El movimiento difusivo suele predominar en la escala de longitud de la descomposición espinodal. La ecuación de movimiento para un sistema difusivo es

donde es la movilidad difusiva, es algún ruido aleatorio tal que , y el potencial químico se deriva de la energía libre de Landau:

Vemos que si , las pequeñas fluctuaciones alrededor tienen una movilidad difusiva efectiva negativa y crecerán en lugar de contraerse. Para comprender la dinámica de crecimiento, ignoramos las corrientes fluctuantes debido a , linealizamos la ecuación de movimiento alrededor y realizamos una transformada de Fourier en el espacio. Esto conduce a

que tiene una solución de crecimiento exponencial :

Dado que la tasa de crecimiento es exponencial, el número de onda angular de crecimiento más rápido

dominará rápidamente la morfología. Ahora vemos que la descomposición espinodal da como resultado dominios de la escala de longitud característica llamada longitud espinodal :

La tasa de crecimiento del número de onda angular de más rápido crecimiento es

donde se conoce como el tiempo espinodal .

La longitud espinodal y el tiempo espinodal se pueden utilizar para adimensionalizar la ecuación de movimiento, lo que da como resultado una escala universal para la descomposición espinodal.

Materiales arquitectónicos espinodales

Ejemplo de diseño de un material con arquitectura espinodal.

La descomposición de fases espinodales se ha utilizado para generar materiales arquitectónicos interpretando una fase como sólida y la otra fase como vacía. Estos materiales arquitectónicos espinodales presentan propiedades mecánicas interesantes, como una alta absorción de energía, [26] insensibilidad a las imperfecciones, [27] resiliencia mecánica superior, [28] y una alta relación rigidez-peso. [29] Además, al controlar la separación de fases, es decir, controlar la proporción de materiales y/o imponer direcciones preferenciales en las descomposiciones, se puede controlar la densidad y las direcciones preferenciales ajustando de manera efectiva la resistencia, el peso y la anisotropía del material arquitectónico resultante. [30] Otra propiedad interesante de los materiales espinodales es la capacidad de realizar transiciones sin problemas entre diferentes clases, orientaciones y densidades, [30] lo que permite la fabricación de estructuras multimateriales de manera efectiva. [31]

Referencias

  1. ^ Binder, K (1 de julio de 1987). "Teoría de las transiciones de fase de primer orden". Informes sobre el progreso en física . 50 (7): 783–859. doi :10.1088/0034-4885/50/7/001. ISSN  0034-4885. S2CID  250879624.
  2. ^ Gennes, Pierre-Gilles de. (1979). Conceptos de escalamiento en física de polímeros. Ithaca, NY: Cornell University Press. ISBN 0-8014-1203-X.OCLC 4494721  .
  3. ^ Gibbs, JW, Documentos científicos de J Willard Gibbs , 2 vols. Bumstead, HA y Van Name, RG, eds. (Dover, Nueva York, 1961) ISBN 0-918024-77-3 
  4. ^ Hillert, M., Una teoría de la nucleación para soluciones metálicas sólidas , tesis de doctorado en ciencias (MIT, 1955)
  5. ^ Hillert, M (1961). "Un modelo de solución sólida para sistemas no homogéneos". Acta Metallurgica . 9 (6). Elsevier BV: 525–535. doi :10.1016/0001-6160(61)90155-9. ISSN  0001-6160.
  6. ^ Cahn, John W (1961). "Sobre la descomposición espinodal". Acta Metallurgica . 9 (9). Elsevier BV: 795–801. doi :10.1016/0001-6160(61)90182-1. ISSN  0001-6160.
  7. ^ Cahn, John W (1962). "Sobre la descomposición espinodal en cristales cúbicos". Acta Metallurgica . 10 (3). Elsevier BV: 179–183. doi :10.1016/0001-6160(62)90114-1. ISSN  0001-6160.
  8. ^ Cahn, John W (1962). "Fluctuaciones coherentes y nucleación en sólidos isotrópicos". Acta Metallurgica . 10 (10). Elsevier BV: 907–913. doi :10.1016/0001-6160(62)90140-2. ISSN  0001-6160.
  9. ^ Cahn, John W.; Hilliard, John E. (1958). "Energía libre de un sistema no uniforme. I. Energía libre interfacial". Revista de Física Química . 28 (2). AIP Publishing: 258–267. Bibcode :1958JChPh..28..258C. doi :10.1063/1.1744102. ISSN  0021-9606.
  10. ^ ab Bray, AJ (1 de marzo de 2002). "Teoría de la cinética de ordenamiento de fases". Avances en Física . 51 (2): 481–587. arXiv : cond-mat/9501089 . Código Bibliográfico :2002AdPhy..51..481B. doi :10.1080/00018730110117433. ISSN  0001-8732. S2CID  218646292.
  11. ^ ab Hilliard, JE, Descomposición espinodal , en Transformaciones de fase , pág. 497 (Sociedad Americana de Metales, Metals Park, 1970)
  12. ^ Bray, AJ (1994). "Teoría de la cinética de ordenamiento de fases". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 194 (1): 41–52. arXiv : cond-mat/9501089 . doi :10.1016/0378-4371(93)90338-5. ISSN  0378-4371.
  13. ^ abc Cahn, JW, Descomposición espinodal , Conferencia del Instituto de Metales de 1967 , Trans. Met. Soc. AIME, vol. 242, pág. 168 (1968)
  14. ^ Jones, Richard AL (2004) [2002]. Materia condensada blanda. Oxford University Press. pág. 33. ISBN 978-0-19-850589-1. Consultado el 22 de octubre de 2007 .
  15. ^ Cook, HE (1973). "Un modelo reticular de transformaciones estructurales y de dislocación". Acta Metallurgica . 21 (10). Elsevier BV: 1431–1444. doi :10.1016/0001-6160(73)90092-8. ISSN  0001-6160.
  16. ^ Cook, HE (1973). "Sobre la naturaleza de la transformación omega". Acta Metallurgica . 21 (10). Elsevier BV: 1445–1449. doi :10.1016/0001-6160(73)90093-x. ISSN  0001-6160.
  17. ^ Cook, HE (1975). "Sobre transiciones de fase estructurales de primer orden—I. Consideraciones generales de los fenómenos de pretransición y nucleación". Acta Metallurgica . 23 (9). Elsevier BV: 1027–1039. doi :10.1016/0001-6160(75)90107-8. ISSN  0001-6160.
  18. ^ Suzuki, T. y Wuttig, M., Analogía entre la descomposición espinodal y la transformación martensítica , Acta Met., Vol. 23, pág. 1069 (1975)
  19. ^ Carpenter, MA (1981). "Un "spinodal condicional" dentro de la brecha de miscibilidad de la peristerita de los feldespatos de plagioclasa" (PDF) . American Mineralogist . 66 : 553–560.
  20. ^ de Fontaine, D (1969). "Un criterio aproximado para la pérdida de coherencia en estructuras moduladas". Acta Metallurgica . 17 (4). Elsevier BV: 477–482. doi :10.1016/0001-6160(69)90029-7. ISSN  0001-6160.
  21. ^ Cook, HE; ​​De Fontaine, D; Hilliard, Je (1969). "Un modelo para la difusión en redes cúbicas y su aplicación a las primeras etapas del ordenamiento". Acta Metallurgica . 17 (6). Elsevier BV: 765–773. doi :10.1016/0001-6160(69)90083-2. ISSN  0001-6160.
  22. ^ Cook, HE; ​​de Fontaine, D (1969). "Sobre la energía libre elástica de soluciones sólidas—I. Teoría microscópica". Acta Metallurgica . 17 (7). Elsevier BV: 915–924. doi :10.1016/0001-6160(69)90112-6. ISSN  0001-6160.
  23. ^ De Fontaine, D. (1970). "Inestabilidades mecánicas en la red bcc y la transformación de fase beta a omega". Acta Metallurgica . 18 (2). Elsevier BV: 275–279. doi :10.1016/0001-6160(70)90035-0. ISSN  0001-6160.
  24. ^ Cook, HE; ​​De Fontaine, D. (1971). "Sobre la energía libre elástica de soluciones sólidas—II. Influencia del módulo efectivo en la precipitación de la solución y la reacción de orden-desorden". Acta Metallurgica . 19 (7). Elsevier BV: 607–616. doi :10.1016/0001-6160(71)90013-7. ISSN  0001-6160.
  25. ^ De Fontaine, D; Paton, NE; Williams, JC (1971). "La transformación de fase omega en aleaciones de titanio como un ejemplo de reacciones controladas por desplazamiento". Acta Metallurgica . 19 (11). Elsevier BV: 1153–1162. doi :10.1016/0001-6160(71)90047-2. ISSN  0001-6160.
  26. ^ Guell Izard, Anna; Bauer, Jens; Crook, Cameron; Turlo, Vladyslav; Valdevit, Lorenzo (noviembre de 2019). "Nanoarquitecturas espinodales multifuncionales de absorción de energía ultraalta". Small . 15 (45): 1903834. doi :10.1002/smll.201903834. PMID  31531942. S2CID  202672680.
  27. ^ Hsieh, Meng-Ting; Endo, Bianca; Zhang, Yunfei; Bauer, Jens; Valdevit, Lorenzo (1 de abril de 2019). "La respuesta mecánica de materiales celulares con topologías espinodales". Revista de mecánica y física de sólidos . 125 : 401–419. arXiv : 1904.06733 . Código Bibliográfico :2019JMPSo.125..401H. doi :10.1016/j.jmps.2019.01.002. S2CID  118645530.
  28. ^ Portela, Carlos M.; Vidyasagar, A.; Krödel, Sebastian; Weissenbach, Tamara; Yee, Daryl W.; Greer, Julia R.; Kochmann, Dennis M. (17 de marzo de 2020). "Resiliencia mecánica extrema de materiales nanolaberínticos autoensamblados". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 117 (11): 5686–5693. Bibcode :2020PNAS..117.5686P. doi : 10.1073/pnas.1916817117 . ISSN  0027-8424. PMC 7084143 . PMID  32132212. 
  29. ^ Zheng, Li; Kumar, Siddhant; Kochmann, Dennis M. (septiembre de 2021). "Optimización topológica basada en datos de metamateriales espinodoides con anisotropía perfectamente ajustable". Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería . 383 : 113894. arXiv : 2012.15744 . Código Bibliográfico : 2021CMAME.383k3894Z. doi : 10.1016/j.cma.2021.113894. S2CID  : 229923529.
  30. ^ ab Kumar, Siddhant; Tan, Stephanie; Zheng, Li; Kochmann, Dennis M. (diciembre de 2020). "Metamateriales espinodoides de diseño inverso". npj Computational Materials . 6 (1): 73. Bibcode :2020npjCM...6...73K. doi : 10.1038/s41524-020-0341-6 . hdl : 20.500.11850/418523 . S2CID  219315003.
  31. ^ Senhora, Fernando V.; Sanders, Emily D.; Paulino, Glaucio H. (27 de abril de 2022). "Materiales arquitectónicos espinodales adaptados de forma óptima para el diseño y la fabricación a múltiples escalas". Materiales avanzados . 34 (26): 2109304. Bibcode :2022AdM....3409304S. doi : 10.1002/adma.202109304 . PMID  35297113. S2CID  247498613.

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