En matemáticas , una superficie de Del Pezzo o superficie de Fano es una variedad de Fano bidimensional , en otras palabras, una superficie algebraica proyectiva no singular con amplia clase de divisor anticanónico . Son en cierto sentido lo opuesto a las superficies de tipo general , cuya clase canónica es grande.
Llevan el nombre de Pasquale del Pezzo , quien estudió las superficies con la condición más restrictiva de que tuvieran una clase divisoria anticanónica muy amplia, o en su lenguaje las superficies con un grado n incrustadas en un espacio proyectivo de n dimensiones (del Pezzo 1887), que son las superficies del Pezzo de grado al menos 3.
Una superficie del Pezzo es una superficie no singular completa con un amplio paquete anticanónico. Hay algunas variaciones de esta definición que a veces se utilizan. A veces se permite que las superficies del Pezzo tengan singularidades. Originalmente se asumió que estaban incrustados en el espacio proyectivo mediante la incrustación anticanónica, que restringe el grado a al menos 3.
El grado d de una superficie X de Del Pezzo es , por definición, el número de autointersección ( K , K ) de su clase canónica K.
Cualquier curva en una superficie de Del Pezzo tiene un número de autointersección de al menos −1. El número de curvas con número de autointersección −1 es finito y depende sólo del grado (a menos que el grado sea 8).
Una curva (−1) es una curva racional con un número de autointersección −1. Para d > 2 , la imagen de tal curva en el espacio proyectivo bajo la incrustación anticanónica es una línea.
La purga de cualquier curva (−1) en una superficie de Del Pezzo es una superficie de Del Pezzo de grado 1 más. La ampliación de cualquier punto en una superficie de Del Pezzo es una superficie de Del Pezzo de grado 1 menor, siempre que el punto no se encuentre en una curva (−1) y el grado sea mayor que 2. Cuando el grado es 2, Hay que añadir la condición de que el punto no esté fijado por la involución de Geiser, asociada al morfismo anticanónico.
Del Pezzo demostró que una superficie de Del Pezzo tiene grado d como máximo 9. Sobre un campo algebraicamente cerrado, cada superficie de Del Pezzo es un producto de dos líneas proyectivas (con d = 8) o la ampliación de un plano proyectivo en 9 − d puntos sin tres colineales, ni seis en una cónica , ni ocho en una cúbica que tenga un nodo en uno de ellos. Por el contrario, cualquier explosión del avión en puntos que cumplan estas condiciones es una superficie del Pezzo.
El grupo Picard de una superficie de Del Pezzo de grado d es la red unimodular impar I 1,9− d , excepto cuando la superficie es producto de 2 líneas cuando el grupo Picard es la red unimodular par II 1,1 .Cuando es En una red impar, el elemento canónico es (3, 1, 1, 1, ....), y las curvas excepcionales están representadas por permutaciones de todas menos la primera coordenada de los siguientes vectores:
Grado 1: tienen 240 (−1) curvas correspondientes a las raíces de un sistema radicular E 8 . Forman una familia de 8 dimensiones. El divisor anticanónico no es muy amplio. El sistema lineal |−2 K | define un mapa de grado 2 desde la superficie del Pezzo hasta un cono cuadrático en P 3 , ramificado sobre una curva de género 4 no singular cortada por una superficie cúbica.
Grado 2: tienen 56 (−1) curvas correspondientes a los vectores minúsculos del dual de la red E 7 . Forman una familia de 6 dimensiones. El divisor anticanónico no es muy amplio, y su sistema lineal define un mapa desde la superficie del Pezzo hasta el plano proyectivo, ramificado sobre una curva del plano cuártico . Este mapa es genéricamente de 2 a 1, por lo que a esta superficie a veces se le llama doble plano del Pezzo. Las 56 líneas de la superficie del Pezzo se asignan en pares a las 28 bitangentes de un cuártico .
Grado 3: son superficies esencialmente cúbicas en P 3 ; la superficie cúbica es la imagen de la incrustación anticanónica. Tienen 27 (−1) curvas correspondientes a los vectores minúsculos de una clase lateral en el dual de la red E 6 , que se asignan a las 27 líneas de la superficie cúbica. Forman una familia de 4 dimensiones.
Grado 4: son esencialmente superficies de Segre en P 4 , dadas por la intersección de dos cuádricas. Tienen 16 (−1) curvas. Forman una familia bidimensional.
Grado 5: tienen 10 (−1) curvas correspondientes a los vectores minúsculos de una clase lateral en el dual de la red A 4 . Hasta el isomorfismo solo existe una de esas superficies, dada al expandir el plano proyectivo en 4 puntos sin 3 en una línea.
Grado 6: tienen 6 (−1) curvas. Hasta el isomorfismo solo existe una de esas superficies, dada al expandir el plano proyectivo en 3 puntos que no están en una línea. El sistema de raíces es A 2 × A 1
Grado 7: tienen 3 (−1) curvas. Hasta el isomorfismo solo existe una de esas superficies, dada al expandir el plano proyectivo en 2 puntos distintos.
Grado 8: tienen 2 tipos de isomorfismo. Una es una superficie de Hirzebruch dada por la ampliación del plano proyectivo en un punto, que tiene 1 (−1) curvas. La otra es el producto de dos líneas proyectivas, que es la única superficie de Del Pezzo que no se puede obtener comenzando con el plano proyectivo y ampliando los puntos. Su grupo Picard es la red indefinida unimodular par bidimensional II 1,1 , y no contiene curvas (−1).
Grado 9: La única superficie de grado 9 del Pezzo es P 2 . Su incrustación anticanónica es la incrustación veronesa de grado 3 en P 9 utilizando el sistema lineal de cúbicas.
Una superficie débil de Del Pezzo es una superficie no singular completa con paquete anticanónico que es nef y grande.
La purga de cualquier curva (−1) en una superficie débil de Del Pezzo es una superficie débil de Del Pezzo de grado 1 más. La explosión de cualquier punto en una superficie débil de Del Pezzo es una superficie débil de Del Pezzo de grado 1 menor, siempre que el punto no se encuentre en una curva −2 y el grado sea mayor que 1.
Cualquier curva en una superficie débil de Del Pezzo tiene un número de autointersección de al menos −2. El número de curvas con número de autointersección −2 es como máximo 9− d , y el número de curvas con número de autointersección −1 es finito.