De manera informal, un número real definible es un número real que se puede especificar de forma única mediante su descripción. La descripción se puede expresar como una construcción o como una fórmula de un lenguaje formal . Por ejemplo, la raíz cuadrada positiva de 2, , se puede definir como la única solución positiva de la ecuación , y se puede construir con un compás y una regla.
Diferentes opciones de lenguaje formal o su interpretación dan lugar a diferentes nociones de definibilidad. Las variedades específicas de números definibles incluyen los números construibles de la geometría, los números algebraicos y los números computables . Debido a que los lenguajes formales solo pueden tener una cantidad contable de fórmulas, cada noción de números definibles tiene como máximo una cantidad contable de números reales definibles. Sin embargo, por el argumento diagonal de Cantor , hay una cantidad incontable de números reales, por lo que casi todos los números reales son indefinibles.
Una forma de especificar un número real utiliza técnicas geométricas. Un número real es un número construible si existe un método para construir un segmento de línea de longitud utilizando un compás y una regla, comenzando con un segmento de línea fijo de longitud 1.
Todo entero positivo y todo número racional positivo son construibles. La raíz cuadrada positiva de 2 es construible. Sin embargo, la raíz cúbica de 2 no lo es; esto está relacionado con la imposibilidad de duplicar el cubo .
Un número real se denomina número algebraico real si existe un polinomio , con solo coeficientes enteros, de modo que sea una raíz de , es decir, . Cada número algebraico real se puede definir individualmente utilizando la relación de orden sobre los reales. Por ejemplo, si un polinomio tiene 5 raíces reales, la tercera se puede definir como el único tal que y tal que existen dos números distintos menores que en los que es cero.
Todos los números racionales son construibles y todos los números construibles son algebraicos. Hay números como la raíz cúbica de 2 que son algebraicos pero no construibles.
Los números algebraicos reales forman un subcuerpo de los números reales. Esto significa que 0 y 1 son números algebraicos y, además, si y son números algebraicos, entonces también lo son , , y, si es distinto de cero, .
Los números algebraicos reales también tienen la propiedad, que va más allá de ser un subcuerpo de los reales, de que para cada entero positivo y cada número algebraico real , todas las raíces n de ése que son números reales también son algebraicas.
Sólo hay una cantidad contable de números algebraicos, pero hay una cantidad incontable de números reales, por lo que, en el sentido de cardinalidad, la mayoría de los números reales no son algebraicos. Esta prueba no constructiva de que no todos los números reales son algebraicos fue publicada por primera vez por Georg Cantor en su artículo de 1874 " Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales ".
Los números no algebraicos se denominan números trascendentales . Los números trascendentales más conocidos son π y e .
Un número real es un número computable si existe un algoritmo que, dado un número natural , produce una expansión decimal para el número con precisión de decimales. Esta noción fue introducida por Alan Turing en 1936. [1]
Los números computables incluyen los números algebraicos junto con muchos números trascendentales, incluidos y . Al igual que los números algebraicos, los números computables también forman un subcuerpo de los números reales, y los números computables positivos son cerrados tomando raíces para cada .
No todos los números reales son computables. Algunos ejemplos específicos de números reales no computables incluyen los límites de las secuencias de Specker y los números reales aleatorios algorítmicos, como los números Ω de Chaitin .
Otra noción de definibilidad proviene de las teorías formales de la aritmética, como la aritmética de Peano . El lenguaje de la aritmética tiene símbolos para 0, 1, la operación sucesora, la adición y la multiplicación, destinados a ser interpretados de la manera habitual sobre los números naturales . Debido a que ninguna variable de este lenguaje abarca los números reales , se necesita un tipo diferente de definibilidad para referirse a los números reales. Un número real es definible en el lenguaje de la aritmética (o aritmético ) si su corte de Dedekind puede definirse como un predicado en ese lenguaje; es decir, si hay una fórmula de primer orden en el lenguaje de la aritmética, con tres variables libres, tales que Aquí m , n y p abarcan números enteros no negativos.
El lenguaje de segundo orden de la aritmética es el mismo que el de primer orden, excepto que se permite que las variables y los cuantificadores ocupen conjuntos de números naturales. Un número real que se puede definir en segundo orden en el lenguaje de la aritmética se denomina analítico .
Todo número real computable es aritmético, y los números aritméticos forman un subcuerpo de los reales, al igual que los números analíticos. Todo número aritmético es analítico, pero no todo número analítico es aritmético. Como solo hay una cantidad contable de números analíticos, la mayoría de los números reales no son analíticos y, por lo tanto, tampoco aritméticos.
Todo número computable es aritmético, pero no todo número aritmético es computable. Por ejemplo, el límite de una sucesión de Specker es un número aritmético que no es computable.
Las definiciones de los números reales aritméticos y analíticos se pueden dividir en jerarquía aritmética y jerarquía analítica . En general, un número real es computable si y solo si su corte de Dedekind está en el nivel de la jerarquía aritmética, uno de los niveles más bajos. De manera similar, los números reales con cortes de Dedekind aritméticos forman el nivel más bajo de la jerarquía analítica.
Un número real es definible en primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos, sin parámetros , si existe una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos , con una variable libre , tal que es el único número real tal que se cumple. [2] Esta noción no puede expresarse como una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos.
Todos los números analíticos, y en particular todos los números computables, son definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos incluyen todos los números reales familiares como , 1 , , , etcétera, junto con todos los números algebraicos. Suponiendo que forman un conjunto en el modelo, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos sobre un modelo particular de ZFC forman un cuerpo.
Cada modelo de conjunto de la teoría de conjuntos ZFC que contiene una cantidad incontable de números reales debe contener números reales que no sean definibles dentro de él (sin parámetros). Esto se deduce del hecho de que solo hay una cantidad contable de fórmulas y, por lo tanto, solo una cantidad contable de elementos de pueden ser definibles sobre . Por lo tanto, si tiene una cantidad incontable de números reales, se puede demostrar desde "fuera" que no todos los números reales de son definibles sobre .
Este argumento se vuelve más problemático si se aplica a los modelos de clase de ZFC, como el universo de von Neumann . La afirmación "el número real es definible sobre el modelo de clase " no puede expresarse como una fórmula de ZFC. [3] [4] De manera similar, la pregunta de si el universo de von Neumann contiene números reales que no puede definir no puede expresarse como una oración en el lenguaje de ZFC. Además, existen modelos contables de ZFC en los que todos los números reales, todos los conjuntos de números reales, funciones sobre los reales, etc. son definibles. [3] [4]
