Dattatreya Ramchandra Kaprekar ( maratí : दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर ; 17 de enero de 1905 - 1986) fue un matemático recreativo indio que describió varias clases de números naturales , incluidos los números Kaprekar , harshad y self , y descubrió la constante de Kaprekar , que lleva su nombre. [1] A pesar de no tener una formación formal de posgrado y trabajar como maestro de escuela, publicó extensamente y se hizo muy conocido en los círculos de matemáticas recreativas. [2]
Kaprekar recibió su educación secundaria en Thane y estudió en el Fergusson College de Pune . En 1927, ganó el Premio de Matemáticas Wrangler RP Paranjpye por un trabajo original en matemáticas. [3]
Asistió a la Universidad de Mumbai , donde se licenció en 1929. Sin haber recibido nunca formación de posgrado formal, durante toda su carrera (1930-1962) fue maestro en la escuela secundaria gubernamental de Devlali, Maharashtra , India. Viajando en bicicleta de un lugar a otro, también dio clases particulares con métodos poco convencionales, sentándose alegremente junto a un río y "pensando en teoremas". Publicó extensamente, escribiendo sobre temas como decimales periódicos , cuadrados mágicos y números enteros con propiedades especiales. [ cita requerida ]
Trabajando en gran medida solo, Kaprekar descubrió una serie de resultados en teoría de números y describió varias propiedades de los números. [4] Además de la constante de Kaprekar y los números de Kaprekar que recibieron su nombre, también describió los números propios o números de Devlali , los números harshad y los números de Demlo . También construyó ciertos tipos de cuadrados mágicos relacionados con el cuadrado mágico de Copérnico. [5] Inicialmente, sus ideas no fueron tomadas en serio por los matemáticos indios, y sus resultados se publicaron principalmente en revistas de matemáticas de bajo nivel o en publicaciones privadas, pero la fama internacional llegó cuando Martin Gardner escribió sobre Kaprekar en su columna de marzo de 1975 de Mathematical Games para Scientific American . Una descripción de la constante de Kaprekar , sin mencionar a Kaprekar, aparece en el libro infantil The I Hate Mathematics Book , de Marilyn Burns , [6] publicado en 1975. Hoy su nombre es bien conocido y muchos otros matemáticos han perseguido el estudio de las propiedades que descubrió. [2]
En 1955, Kaprekar descubrió una propiedad interesante del número 6174, que posteriormente se denominó constante de Kaprekar. [7] Demostró que 6174 se obtiene al final cuando se restan repetidamente los números más altos y más bajos que se pueden construir a partir de un conjunto de cuatro dígitos que no son todos idénticos. Por lo tanto, a partir de 1234, tenemos:
Repitiendo desde este punto en adelante se obtiene el mismo número (7641 − 1467 = 6174). En general, cuando la operación converge lo hace en un máximo de siete iteraciones.
Una constante similar para 3 dígitos es 495. [8] Sin embargo, en base 10 solo existe una única constante de este tipo para números de 3 o 4 dígitos; para otras longitudes de dígitos o bases distintas de 10, el algoritmo de rutina de Kaprekar descrito anteriormente puede, en general, terminar en múltiples constantes diferentes o ciclos repetidos, dependiendo del valor inicial. [9]
Otra clase de números que Kaprekar describió son los números de Kaprekar. [10] Un número de Kaprekar es un entero positivo con la propiedad de que si se eleva al cuadrado, entonces su representación se puede dividir en dos partes enteras positivas cuya suma es igual al número original (por ejemplo, 45, ya que 45 2 = 2025, y 20 + 25 = 45, también 9, 55, 99, etc.). Sin embargo, tenga en cuenta la restricción de que los dos números son positivos; por ejemplo, 100 no es un número de Kaprekar aunque 100 2 = 10000, y 100 + 00 = 100. Esta operación, de tomar los dígitos más a la derecha de un cuadrado y sumarlos al entero formado por los dígitos más a la izquierda, se conoce como la operación de Kaprekar.
Algunos ejemplos de números Kaprekar en base 10, además de los números 9, 99, 999, ..., son (secuencia A006886 en la OEIS ):
En 1963, Kaprekar definió la propiedad que se ha dado en llamar números propios [11] , como los números enteros que no se pueden generar tomando otro número y sumándole sus propios dígitos. Por ejemplo, 21 no es un número propio, ya que se puede generar a partir de 15: 15 + 1 + 5 = 21. Pero 20 sí lo es, ya que no se puede generar a partir de ningún otro número entero. También realizó una prueba para verificar esta propiedad en cualquier número. A veces se los denomina números Devlali (por la ciudad en la que vivía); aunque esta parece haber sido su designación preferida, [11] el término "número propio" es más extendido. A veces también se los designa como números colombianos , por una designación posterior.
Kaprekar también describió los números harshad a los que llamó harshad, que significa "dar alegría" ( sánscrito harsha , alegría + da taddhita pratyaya, causativo ); estos se definen por la propiedad de que son divisibles por la suma de sus dígitos. Así, 12, que es divisible por 1 + 2 = 3, es un número harshad. Estos también fueron llamados más tarde números de Niven después de la conferencia de 1977 sobre ellos por el matemático canadiense Ivan M. Niven . Los números que son harshad en todas las bases (solo 1, 2, 4 y 6) se llaman números all-harshad . Se ha realizado mucho trabajo sobre los números harshad, y su distribución, frecuencia, etc. son un tema de considerable interés en la teoría de números actual. [ cita requerida ]
Kaprekar también estudió los números Demlo , [12] cuyo nombre se deriva del nombre de una estación de tren Demlo (ahora llamada Dombivili ) a 30 millas de Bombay en el entonces ferrocarril GIP donde tuvo la idea de estudiarlos. [2] Los más conocidos de estos son los maravillosos números Demlo 1, 121, 12321, 1234321, ..., que son los cuadrados de las repunits 1, 11, 111,1111, .... [13]