En geometría , la notación de Coxeter (también símbolo de Coxeter ) es un sistema de clasificación de grupos de simetría , que describe los ángulos entre reflexiones fundamentales de un grupo de Coxeter en una notación entre corchetes que expresa la estructura de un diagrama de Coxeter-Dynkin , con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación lleva el nombre de HSM Coxeter y Norman Johnson la definió de manera más integral .
Para los grupos de Coxeter , definidos por reflexiones puras, existe una correspondencia directa entre la notación entre corchetes y el diagrama de Coxeter-Dynkin . Los números entre paréntesis representan los órdenes de reflexión especular en las ramas del diagrama de Coxeter. Utiliza la misma simplificación, suprimiendo 2 entre espejos ortogonales.
La notación de Coxeter se simplifica con exponentes para representar el número de ramas en una fila en un diagrama lineal. Entonces , el grupo An está representado por [3 n −1 ], para implicar n nodos conectados por n −1 ramas de orden 3. Ejemplo A 2 = [3,3] = [3 2 ] o [3 1,1 ] representa diagramas
o
.
Coxeter inicialmente representó diagramas de bifurcación con posicionamiento vertical de números, pero luego los abrevió con una notación de exponente, como [...,3 p,q ] o [3 p,q,r ], comenzando con [3 1,1,1 ] o [3,3 1,1 ] =
o como D4 . Coxeter permitió ceros como casos especiales para adaptarse a la familia An , como A 3 = [3,3,3,3] = [3 4,0,0 ] = [3 4,0 ] = [3 3,1 ] = [3 2,2 ], como=
=
.
Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan entre paréntesis entre paréntesis, como [(p,q,r)] =
para el grupo de triángulos (pqr). Si los órdenes de las ramas son iguales, se pueden agrupar como un exponente como la duración del ciclo entre paréntesis, como [(3,3,3,3)] = [3 [4] ], que representa el diagrama de Coxeter.
o
.se puede representar como [3,(3,3,3)] o [3,3 [3] ].
También se pueden expresar con cuidado diagramas de bucles más complicados. El grupo Coxeter paracompacto se puede representar mediante notación de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], con paréntesis anidados/superpuestos que muestran dos bucles [(3,3,3)] adyacentes, y también se representa de forma más compacta como [3 [ ]×[ ] ], que representa la simetría rómbica del diagrama de Coxeter. El diagrama gráfico completo paracompacto.
o 
, se representa como [3 [3,3] ] con el superíndice [3,3] como la simetría de su diagrama de coxeter tetraédrico regular .
Para los grupos afines e hiperbólicos, el subíndice es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo sumando un nodo al diagrama de un grupo finito.
El diagrama de Coxeter generalmente deja ramas de orden 2 sin dibujar, pero la notación entre corchetes incluye un 2 explícito para conectar los subgrafos. Entonces el diagrama de Coxeter
= A 2 × A 2 = 2 A 2 se puede representar por [3]×[3] = [3] 2 = [3,2,3]. A veces, se pueden incluir 2 ramas explícitas con una etiqueta 2 o con una línea con un espacio:
o, como una presentación idéntica a [3,2,3].
El rango del grupo de puntos de Coxeter es igual al número de nodos, que también es igual a la dimensión. Existe un solo espejo en una dimensión, [],, mientras que en 2 dimensiones [1],
o [ ]×[ ] + . El 1 es un marcador de posición, no una orden de rama real, sino un marcador para un espejo ortogonal inactivo. La notación [ n ,1], representa un grupo de rango 3, como [ n ]×[ ] + o
. De manera similar, [1,1] como [ ]×[ ] + ×[ ] + oorden 2 y [1,1] + como [ ] + ×[ ] + ×[ ] + o¡Pide 1!
La notación de Coxeter representa la simetría rotacional/traslacional agregando un operador de superíndice + fuera de los corchetes, [X] + que corta el orden del grupo [X] a la mitad, por lo tanto, un subgrupo de índice 2. Este operador implica que se debe aplicar un número par de operadores, reemplazando reflexiones con rotaciones (o traslaciones). Cuando se aplica a un grupo de Coxeter, esto se llama subgrupo directo porque lo que queda son sólo isometrías directas sin simetría reflexiva.
Los operadores + también se pueden aplicar dentro de los corchetes, como [X,Y + ] o [X,(Y,Z) + ], y crean subgrupos "semidirectos" que pueden incluir generadores tanto reflectantes como no reflectantes. Los subgrupos semidirectos solo pueden aplicarse a los subgrupos del grupo Coxeter que tienen ramas de orden par adyacentes. A los elementos entre paréntesis dentro de un grupo de Coxeter se les puede dar un operador de superíndice + , que tiene el efecto de dividir ramas ordenadas adyacentes en medio orden, por lo que generalmente solo se aplica con números pares. Por ejemplo, [4,3 + ] y [4,(3,3) + ] (
).
Si se aplica con una rama impar adyacente, no crea un subgrupo del índice 2, sino que crea dominios fundamentales superpuestos, como [5,1 + ] = [5/2], que puede definir polígonos doblemente envueltos como un pentagrama , { 5/2}, y [5,3 + ] se relaciona con el triángulo de Schwarz [5/2,3], densidad 2.
Los grupos sin elementos + vecinos se pueden ver en nodos anillados. El diagrama de Coxeter-Dynkin para politopos uniformes y el panal están relacionados con nodos huecos alrededor de los elementos + , círculos vacíos con los nodos alternos eliminados. Entonces el cubo desaire ,
tiene simetría [4,3] + (), y el tetraedro chato ,tiene simetría [4,3 + ] (), y un demicubo , h{4,3} = {3,3} (o
=
) tiene simetría [1 + ,4,3] = [3,3] (o
==).
Nota: simetría piritoédrica Se puede escribir como
, separando el gráfico con espacios para mayor claridad, con los generadores {0,1,2} del grupo Coxeter
, produciendo generadores piritoédricos {0,12}, una reflexión y una rotación triple. Y la simetría tetraédrica quiral se puede escribir como o , [1 + ,4,3 + ] = [3,3] + , con generadores {12,0120}.
Johnson extiende el operador + para trabajar con un marcador de posición 1 + nodos, lo que elimina los espejos, duplica el tamaño del dominio fundamental y corta el orden del grupo a la mitad. [1] En general, esta operación sólo se aplica a espejos individuales delimitados por ramas de orden par. El 1 representa un espejo, por lo que [2p] puede verse como [2p, 1 ], [ 1,2p ] o [ 1,2p , 1 ], como en el diagrama.
o
, con 2 espejos relacionados por un ángulo diédrico de orden 2p. El efecto de eliminar un espejo es duplicar los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter:=
, o entre paréntesis:[1 + ,2p, 1 ] = [ 1 ,p, 1 ] = [p].
Cada uno de estos espejos se puede quitar de modo que h[2p] = [1 + ,2p,1] = [1,2p,1 + ] = [p], un índice de subgrupo reflectante 2. Esto se puede mostrar en un diagrama de Coxeter mediante agregando un símbolo + encima del nodo:==.
Si se eliminan ambos espejos, se genera un cuarto de subgrupo, y el orden de la rama se convierte en un punto de giro de la mitad del orden:
==== 
.Por ejemplo, (con p=2): [4,1 + ] = [1 + ,4] = [2] = [ ]×[ ], orden 4. [1 + ,4,1 + ] = [2] + , orden 2.
Lo opuesto a reducir a la mitad es duplicar [2], lo que agrega un espejo, divide un dominio fundamental y duplica el orden del grupo.
Las operaciones de reducción a la mitad se aplican para grupos de rango superior, como la simetría tetraédrica es un medio grupo de un grupo octaédrico : h[4,3] = [1 + ,4,3] = [3,3], eliminando la mitad de los espejos en las 4 ramas . El efecto de eliminar un espejo es duplicar todos los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter:
=
, h[2p,3] = [1 + ,2p,3] = [(p,3,3)].
Si los nodos están indexados, los medios subgrupos se pueden etiquetar con nuevos espejos como compuestos. Como, los generadores {0,1} tienen subgrupo=
, generadores {1,010}, donde se elimina el espejo 0 y se reemplaza por una copia del espejo 1 reflejado a través del espejo 0. También se proporciona, generadores {0,1,2}, tiene medio grupo=, generadores {1,2,010}.
Duplicar agregando un espejo también se aplica al invertir la operación de reducción a la mitad: [[3,3]] = [4,3], o más generalmente [[(q,q,p)]] = [2p,q].
Johnson también agregó un operador de asterisco o estrella * para subgrupos "radicales", [3] que actúa de manera similar al operador + , pero elimina la simetría rotacional. El índice del subgrupo radical es el orden del elemento eliminado. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrupo [3] eliminado es de orden 6, por lo que [2,2] es un subgrupo de índice 6 de [4,3].
Los subgrupos radicales representan la operación inversa a una operación de simetría extendida. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2], y a la inversa [2,2] se puede extender como [3[2,2]] ≅ [4,3]. Los subgrupos se pueden expresar como un diagrama de Coxeter:
o
≅
. El nodo eliminado (espejo) hace que los espejos virtuales adyacentes se conviertan en espejos reales.
Si [4,3] tiene generadores {0,1,2}, [4,3 + ], índice 2, tiene generadores {0,12}; [1 + ,4,3] ≅ [3,3], el índice 2 tiene generadores {010,1,2}; mientras que el subgrupo radical [4,3*] ≅ [2,2], índice 6, tiene generadores {01210, 2, (012) 3 }; y finalmente [1 + ,4,3*], el índice 12 tiene generadores {0(12) 2 0, (012) 2 01}.
Un subgrupo triónico es un subgrupo de índice 3. Johnson define un subgrupo triónico con operador ⅄, índice 3. Para grupos Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, [3 ⅄ ] es [], un solo espejo. Y para [3 p ], el subgrupo triónico es [3 p ] ⅄ ≅ [ p ]. Dado
, con generadores {0,1}, tiene 3 subgrupos triónicos. Se pueden diferenciar poniendo el símbolo ⅄ al lado del generador de espejos a retirar, o en una rama para ambos: [3 p ,1 ⅄ ] =
=
, =, y [3 p ⅄ ] =
=con generadores {0,10101}, {01010,1} o {101,010}.
Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica: [3,3] ⅄ ≅ [2 + ,4], relacionando la simetría del tetraedro regular y el disfenoide tetragonal .
Para grupos de Coxeter de rango 3, [ p ,3], hay un subgrupo triónico [ p ,3 ⅄ ] ≅ [ p /2, p ], o=
. Por ejemplo, el grupo finito [4,3 ⅄ ] ≅ [2,4], el grupo euclidiano [6,3 ⅄ ] ≅ [3,6] y el grupo hiperbólico [8,3 ⅄ ] ≅ [4,8] .
Una rama adyacente de orden impar, p , no reducirá el orden del grupo, sino que creará dominios fundamentales superpuestos. El orden del grupo permanece igual, mientras que la densidad aumenta. Por ejemplo, la simetría icosaédrica , [5,3], del icosaedro de poliedros regulares se convierte en [5/2,5], la simetría de 2 poliedros regulares en estrella. También relaciona los mosaicos hiperbólicos {p,3} y los mosaicos hiperbólicos de estrellas {p/2,p}
Para el rango 4, [ q ,2 p ,3 ⅄ ] = [2 p ,((p,q,q))],
=
.
Por ejemplo, [3,4,3 ⅄ ] = [4,3,3], o
=
, generadores {0,1,2,3} en [3,4,3] con el subgrupo triónico [4,3,3] generadores {0,1,2,32123}. Para grupos hiperbólicos, [3,6,3 ⅄ ] = [6,3 [3] ] y [4,4,3 ⅄ ] = [4,4,4].
Johnson identificó dos subgrupos triónicos específicos [4] de [3,3], primero un subgrupo de índice 3 [3,3] ⅄ ≅ [2 + ,4], con [3,3] (==
) generadores {0,1,2}. También se puede escribir como [(3,3,2 ⅄ )] () como recordatorio de sus generadores {02,1}. Esta reducción de simetría es la relación entre el tetraedro regular y el disfenoide tetragonal , representa un estiramiento de un tetraedro perpendicular a dos aristas opuestas.
En segundo lugar, identifica un subgrupo de índice 6 relacionado [3,3] Δ o [(3,3,2 ⅄ )] + (), índice 3 de [3,3] + ≅ [2,2] + , con generadores {02,1021}, de [3,3] y sus generadores {0,1,2}.
Estos subgrupos también se aplican dentro de grupos de Coxeter más grandes con el subgrupo [3,3] con ramas vecinas, todas en orden par.
Por ejemplo, [(3,3) + ,4], [(3,3) ⅄ ,4] y [(3,3) Δ ,4] son subgrupos de [3,3,4], índice 2, 3 y 6 respectivamente. Los generadores de [(3,3) ⅄ ,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 + ,8], orden 128, son {02,1,3} de [3,3, 4] generadores {0,1,2,3}. Y [(3,3) Δ ,4] ≅ [[4,2 + ,4]], orden 64, tiene generadores {02,1021,3}. Además, [3 ⅄ ,4,3 ⅄ ] ≅ [(3,3) ⅄ ,4].
También relacionado [3 1,1,1 ] = [3,3,4,1 + ] tiene subgrupos triónicos: [3 1,1,1 ] ⅄ = [(3,3) ⅄ ,4,1 + ], orden 64, y 1=[3 1,1,1 ] Δ = [(3,3) Δ ,4,1 + ] ≅ [[4,2 + ,4]] + , orden 32.
Una inversión central , de orden 2, es operativamente diferente según la dimensión. El grupo [ ] n = [2 n −1 ] representa n espejos ortogonales en un espacio n-dimensional, o un subespacio n-plano de un espacio dimensional superior. Los espejos del grupo [2 n −1 ] están numerados . El orden de los espejos no importa en caso de inversión. La matriz de una inversión central es la matriz de identidad con uno negativo en la diagonal.
A partir de esa base, la inversión central tiene un generador como producto de todos los espejos ortogonales. En notación de Coxeter, este grupo de inversión se expresa agregando una alternancia + a cada 2 ramas. La simetría de alternancia está marcada en los nodos del diagrama de Coxeter como nodos abiertos.
Un diagrama de Coxeter-Dynkin se puede marcar con 2 ramas explícitas que definen una secuencia lineal de espejos, nodos abiertos y nodos dobles abiertos compartidos para mostrar el encadenamiento de los generadores de reflexión.
Por ejemplo, [2 + ,2] y [2,2 + ] son subgrupos índice 2 de [2,2],, y se representan como(o) y(o) con generadores {01,2} y {0,12} respectivamente. Su índice de subgrupo común 4 es [2 + , 2 + ], y está representado por
(o), con la doble aperturamarcando un nodo compartido en las dos alternancias, y un único generador de rotorreflexión {012}.
Las rotaciones y las reflexiones rotatorias se construyen mediante un único producto de un solo generador de todas las reflexiones de un grupo prismático, [2 p ]×[2 q ]×... donde mcd ( p , q ,...)=1, son son isomorfos al grupo cíclico abstracto Z n , de orden n =2 pq .
Las rotaciones dobles de 4 dimensiones, [2 p + ,2 + ,2 q + ] (con mcd ( p , q )=1), que incluyen un grupo central, y están expresadas por Conway como ±[C p ×C q ], [5] pide 2 pq . Del diagrama de Coxeter, generadores {0,1,2,3}, requiere dos generadores para [2 p + ,2 + ,2 q + ],como {0123,0132}. Medios grupos, [2 p + ,2 + ,2 q + ] + , o gráfico cíclico, [(2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + )],expresado por Conway es [C p ×C q ], orden pq , con un generador, como {0123}.
Si hay un factor común f , la doble rotación se puede escribir como 1 ⁄ f [2 pf + ,2 + ,2 qf + ] (con mcd ( p , q )=1), generadores {0123,0132}, orden 2pqf . Por ejemplo, p = q =1, f =2, 1 ⁄ 2 [4 + ,2 + ,4 + ] es de orden 4. Y 1 ⁄ f [2 pf + ,2 + ,2 qf + ] + , generador { 0123}, es el orden pqf . Por ejemplo, 1 ⁄ 2 [4 + ,2 + ,4 + ] + es de orden 2, una inversión central .
En general, un grupo de n -rotación, [2 p 1 + ,2,2 p 2 + ,2,..., p n + ] puede requerir hasta n generadores si mcd( p 1 ,.., p n )> 1, como producto de todos los espejos, y luego intercambiando pares secuenciales. El medio grupo, [2 p 1 + ,2,2 p 2 + ,2,..., p n + ] + tiene generadores al cuadrado. Las reflexiones n -rotativas son similares.
Los grupos simples con solo elementos de rama de orden impar tienen solo un subgrupo rotacional/traslacional de orden 2, que también es el subgrupo del conmutador , ejemplos [3,3] + , [3,5] + , [3,3,3] + , [3,3,5] + . Para otros grupos de Coxeter con ramas de orden par, el subgrupo del conmutador tiene un índice 2 c , donde c es el número de subgrafos desconectados cuando se eliminan todas las ramas de orden par. [6]
Por ejemplo, [4,4] tiene tres nodos independientes en el diagrama de Coxeter cuando se eliminan los 4 s, por lo que su subgrupo conmutador es el índice 2 3 y puede tener diferentes representaciones, todas con tres operadores + : [4 + ,4 + ] + , [1 + ,4,1 + ,4,1 + ], [1 + ,4,4,1 + ] + , o [(4 + ,4 + ,2 + )]. Se puede utilizar una notación general con + c como exponente de grupo, como [4,4] +3 .
Los grupos de simetría diédricos con órdenes pares tienen varios subgrupos. Este ejemplo muestra dos espejos generadores de [4] en rojo y verde, y analiza todos los subgrupos mediante reducción a la mitad, reducción de rango y sus subgrupos directos. El grupo [4],tiene dos generadores de espejos 0 y 1. Cada uno genera dos espejos virtuales 101 y 010 por reflexión a través del otro.
El grupo [4,4] tiene 15 subgrupos de índice pequeños. Esta tabla los muestra todos, con un dominio fundamental amarillo para grupos reflectantes puros y dominios blancos y azules alternos que se emparejan para formar dominios rotacionales. Las líneas especulares cian, roja y verde corresponden a los nodos del mismo color en el diagrama de Coxeter. Los generadores de subgrupos se pueden expresar como productos de los 3 espejos originales del dominio fundamental, {0,1,2}, correspondientes a los 3 nodos del diagrama de Coxeter,. Un producto de dos líneas de reflexión que se cruzan genera una rotación, como {012}, {12} o {02}. La eliminación de un espejo genera dos copias de espejos vecinos, a lo largo del espejo eliminado, como {010} y {212}. Dos rotaciones en serie reducen el orden de rotación a la mitad, como {0101} o {(01) 2 }, {1212} o {(02) 2 }. Un producto de los tres espejos crea una transreflexión , como {012} o {120}.
El mismo conjunto de 15 subgrupos pequeños existe en todos los grupos de triángulos con elementos de orden par, como [6,4] en el plano hiperbólico:
Un subgrupo parabólico de un grupo Coxeter se puede identificar eliminando uno o más espejos generadores representados con un diagrama de Coxeter. Por ejemplo el grupo octaédricotiene subgrupos parabólicos,,,,,. Entre paréntesis, la notación [4,3] tiene subgrupos parabólicos [4],[2],[3] y un solo espejo []. Se conoce el orden del subgrupo, y siempre es un orden del grupo divisor entero, o índice. Los subgrupos parabólicos también se pueden escribir con x nodos, como=[4,3] subgrupo eliminando el segundo espejo:o== [4,1 × ,3] = [2].
Se puede crear un subgrupo petrie de un grupo coxeter irreducible mediante el producto de todos los generadores. Se puede ver en el polígono de Petrie regular sesgado de un politopo regular . El orden del nuevo grupo se denomina número de Coxeter del grupo Coxeter original. El número de Coxeter de un grupo de Coxeter es 2 m / n , donde n es el rango y m es el número de reflexiones. Un subgrupo de Petrie se puede escribir con un superíndice π . Por ejemplo, [3,3] π es el subgrupo petrie de un grupo tetraédrico, grupo cíclico de orden 4, generado por una reflexión del rotor . Un grupo Coxeter de rango 4 tendrá un generador de doble rotación , como [4,3,3] π es de orden 8.
La notación de Coxeter incluye notación de doble corchete, [[X]] para expresar simetría automórfica dentro de un diagrama de Coxeter. Johnson agregó una duplicación alternativa mediante el corchete angular <[X]>. Johnson también agregó un modificador de simetría de prefijo [Y[X]], donde Y puede representar la simetría del diagrama de Coxeter de [X] o la simetría del dominio fundamental de [X].
Por ejemplo, en 3D estos diagramas de geometría rómbica y rectangular equivalentes de :y, el primero duplicado entre corchetes, [[3 [4] ]] o dos veces duplicado como [2[3 [4] ]], con [2], simetría de orden 4 superior. Para diferenciar el segundo, se utilizan paréntesis angulares para duplicar, <[3 [4] ]> y duplicar dos veces como <2[3 [4] ]>, también con una simetría diferente [2], de orden 4. Finalmente, una simetría completa donde los 4 nodos son equivalentes se puede representar mediante [4[3 [4] ]], con el orden 8, [4] simetría del cuadrado . Pero al considerar el dominio fundamental del disfenoide tetragonal, la simetría extendida [4] del gráfico cuadrado se puede marcar más explícitamente como [(2 + ,4)[3 [4] ]] o [2 + ,4[3 [4] ] ].
Existe más simetría en los diagramas cíclico y ramificado , y . tiene simetría de orden 2 n de un n -gón regular , { n }, y está representada por [ n [3 [ n ] ]]. y están representados por [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3] y [3[3 2,2,2 ]] respectivamente mientras que por [(3,3)[3 1,1, 1,1 ]] = [3,3,4,3], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del tetraedro regular , {3,3}. El grupo hiperbólico paracompacto = [3 1,1,1,1,1 ],
, contiene la simetría de un 5 celdas , {3,3,3}, y por lo tanto está representado por [(3,3,3)[3 1,1,1,1,1 ]] = [3,4, 3,3,3].
Un asterisco * superíndice es efectivamente una operación inversa, que crea subgrupos radicales eliminando espejos conectados o de orden impar. [7]
Ejemplos:
En cuanto a los generadores, se considera que la doble simetría agrega un nuevo operador que asigna posiciones simétricas en el diagrama de Coxeter, lo que hace que algunos generadores originales sean redundantes. Para grupos espaciales 3D y grupos de puntos 4D, Coxeter define un subgrupo de índice dos de [[X]], [[X] + ], que define como el producto de los generadores originales de [X] por el generador de duplicación. Esto se parece a [[X]] + , que es el subgrupo quiral de [[X]]. Entonces, por ejemplo, los grupos espaciales 3D [[4,3,4]] + (I432, 211) y [[4,3,4] + ] (Pm 3 n, 223) son subgrupos distintos de [[4,3, 4]] (Tengo 3 m, 229).
En una dimensión, el grupo bilateral [] representa una simetría especular única, abstracta Dih 1 o Z 2 , orden de simetría 2. Se representa como un diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo nodo,. El grupo de identidad es el subgrupo directo [ ] + , Z 1 , orden de simetría 1. El superíndice + simplemente implica que se ignoran los reflejos especulares alternativos, dejando el grupo de identidad en este caso más simple. Coxeter usó un único nodo abierto para representar una alternancia,.
En dos dimensiones, el grupo rectangular [2], abstracto D 2 2 o D 4 , también se puede representar como un producto directo [ ]×[ ], siendo el producto de dos grupos bilaterales, representa dos espejos ortogonales, con diagrama de Coxeter,, con orden 4. El 2 en [2] proviene de la linealización de los subgrafos ortogonales en el diagrama de Coxeter, comocon orden de rama explícito 2. El grupo rómbico , [2] + (o), la mitad del grupo rectangular, el punto de simetría de reflexión, Z 2 , orden 2.
Notación de Coxeter para permitir un marcador de posición 1 para grupos de rango inferior, por lo que [1] es lo mismo que [ ], y [1 + ] o [1] + es lo mismo que [ ] + y el diagrama de Coxeter.
El grupo p-gonal completo [p], grupo diédrico abstracto D 2 p , ( no abeliano para p>2), de orden 2 p , es generado por dos espejos en ángulo π / p , representado por el diagrama de Coxeter.. El subgrupo p-gonal [p] + , grupo cíclico Z p , de orden p , generado por un ángulo de rotación de π / p .
La notación de Coxeter utiliza doble paréntesis para representar una duplicación automórfica de simetría agregando un espejo bisector al dominio fundamental . Por ejemplo, [[p]] agrega un espejo bisector a [p] y es isomorfo a [2p].
En el límite, bajando a una dimensión, el grupo apeirogonal completo se obtiene cuando el ángulo tiende a cero, por lo que [∞], de manera abstracta el grupo diédrico infinito D ∞ , representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter.
. El grupo apeirogonal [∞] + ,, de manera abstracta, el grupo cíclico infinito Z ∞ , isomorfo al grupo aditivo de los números enteros , se genera mediante una única traducción distinta de cero.
En el plano hiperbólico, hay un grupo pseudogonal completo [ iπ/λ ] y un subgrupo pseudogonal [ iπ/λ ] + ,
. Estos grupos existen en polígonos regulares de lados infinitos, con una longitud de borde λ. Todos los espejos son ortogonales a una sola línea.
Los grupos de puntos en 3 dimensiones se pueden expresar entre paréntesis relacionados con los grupos de Coxeter de rango 3:
En tres dimensiones, el grupo ortorrómbico completo u ortorrectangular [2,2], de manera abstracta Z 2 3 , orden 8, representa tres espejos ortogonales (también representados por el diagrama de Coxeter como tres puntos separados). También se puede representar como un producto directo [ ]×[ ]×[ ], pero la expresión [2,2] permite definir subgrupos:
Primero hay un subgrupo "semidirecto", el grupo ortorrómbico , [2,2 + ] (o), de manera abstracta Z 2 × Z 2 , de orden 4. Cuando el superíndice + se da dentro de los corchetes, significa reflejos generados solo a partir de los espejos adyacentes (como se define en el diagrama de Coxeter,) se alternan. En general, las órdenes de las ramas vecinas al nodo + deben ser pares. En este caso [2,2 + ] y [2 + ,2] representan dos subgrupos isomórficos que son geométricamente distintos. Los otros subgrupos son el grupo pararómbico [2,2] + (o), también orden 4, y finalmente el grupo central [2 + ,2 + ] (o) de orden 2.
Luego está el grupo orto- p -gonal completo , [2,p] (), de manera abstracta Z 2 ×D 2 p , de orden 4p, que representa dos espejos en un ángulo diédrico π/ p , y ambos son ortogonales a un tercer espejo. También está representado por el diagrama de Coxeter como.
El subgrupo directo se llama grupo para- p -gonal, [2,p] + (o), de forma abstracta D 2 p , de orden 2p, y otro subgrupo es [2,p + ] () de forma abstracta Z 2 × Z p , también de orden 2p.
El grupo giro-p-gonal completo , [2 + ,2 p ] (o), de forma abstracta D 4 p , de orden 4 p . El grupo giro- p -gonal, [2 + ,2p + ] (o), de manera abstracta Z 2 p , de orden 2 p es un subgrupo de [2 + ,2 p ] y [2,2 p + ].
Los grupos poliédricos se basan en la simetría de los sólidos platónicos : el tetraedro , octaedro , cubo , icosaedro y dodecaedro , con símbolos de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} y {5,3} respectivamente. Los grupos de Coxeter para estos son: [3,3] (), [3,4] (), [3,5] (
) llamada simetría tetraédrica completa , simetría octaédrica y simetría icosaédrica , con órdenes de 24, 48 y 120.
En todas estas simetrías, se pueden eliminar reflexiones alternas produciendo el tetraédrico rotacional [3,3] + (), octaédrico [3,4] + (), e icosaédrico [3,5] + () grupos de orden 12, 24 y 60. El grupo octaédrico también tiene un subgrupo de índice 2 único llamado grupo de simetría piritoédrica , [3 + , 4] (o), de orden 12, con una mezcla de simetría rotacional y reflexiva. La simetría piritoédrica también es un subgrupo de índice 5 de simetría icosaédrica:-->, con espejo virtual 1 en 0 , {010} y rotación triple {12}.
El grupo tetraédrico, [3,3] (), tiene una duplicación [[3,3]] (que puede representarse mediante nodos de colores), mapeando el primer y el último espejo entre sí, y esto produce el [3,4] (o) grupo. El subgrupo [3,4,1 + ] (o) es lo mismo que [3,3], y [3 + ,4,1 + ] (o) es lo mismo que [3,3] + .
En el plano euclidiano existen 3 grupos reflectantes fundamentales generados por 3 espejos, representados por diagramas de Coxeter.,
, y, y reciben notación de Coxeter como [4,4], [6,3] y [(3,3,3)]. Los paréntesis del último grupo implican el ciclo del diagrama y también tienen una notación abreviada [3 [3] ].
[[4,4]] como duplicación del grupo [4,4] produjo la misma simetría girada π/4 del conjunto original de espejos.
Los subgrupos directos de simetría rotacional son: [4,4] + , [6,3] + y [(3,3,3)] + . [4 + ,4] y [6,3 + ] son subgrupos semidirectos.
Dados en notación de Coxeter ( notación orbifold ), algunos subgrupos afines de índice bajo son:
Los grupos de rango cuatro definieron los grupos de puntos de 4 dimensiones :
Los grupos de rango cuatro también definieron los grupos de líneas tridimensionales :
Los grupos de rango cuatro definieron los grupos duoprismáticos de 4 dimensiones. En el límite cuando p y q van al infinito, degeneran en 2 dimensiones y los grupos de papel tapiz.
Los grupos de rango cuatro también definieron algunos de los grupos de papel tapiz bidimensionales , como casos límite de los grupos de duoprisma de cuatro dimensiones:
Los subgrupos de [∞,2,∞], (*2222) se pueden expresar hasta su subgrupo de conmutador de índice 16:
La notación de Coxeter se ha ampliado al espacio complejo , C n, donde los nodos son reflexiones unitarias de período 2 o mayor. Los nodos están etiquetados por un índice, que se supone que es 2 para la reflexión real ordinaria si se suprime. Los grupos de reflexión complejos se denominan grupos de Shephard en lugar de grupos de Coxeter y pueden usarse para construir politopos complejos .
En , un grupo Shephard de rango 1
, orden p , se representa como p [ ], [ ] p o ] p [. Tiene un único generador, que representa una rotación de 2 π / p radianes en el plano Complejo : .
Coxeter escribe el grupo complejo de rango 2, p [ q ] r representa el diagrama de Coxeter 
. P y r solo deben suprimirse si ambos son 2, que es el caso real [ q ] . El orden de un grupo de rango 2 p [ q ] r es . [9]
Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son: p [4] 2 ( p es 2,3,4,...), 3 [3] 3 , 3 [6] 2 , 3 [4] 3 , 4 [3 ] 4 , 3 [8] 2 , 4 [6] 2 , 4 [4] 3 , 3 [5] 3 , 5 [3] 5 , 3 [10] 2 , 5 [6] 2 y 5 [4] 3 con diagramas de Coxeter,
,,,
,
,,,,
,
,,.
Los grupos infinitos son 3 [12] 2 , 4 [8] 2 , 6 [6] 2 , 3 [6] 3 , 6 [4] 3 , 4 [4] 4 y 6 [3] 6 o
,,
,,,,.
Los subgrupos del índice 2 existen eliminando una reflexión real: p [2 q ] 2 → p [ q ] p . También existen subgrupos de índice r para 4 ramas: p [4] r → p [ r ] p .
Para la familia infinita p [4] 2 , para cualquier p = 2, 3, 4,..., existen dos subgrupos: p [4] 2 → [ p ], índice p , while y p [4] 2 → p [ ] × p [ ], índice 2.
Un grupo de Coxeter, representado por el diagrama de Coxeter. , recibe la notación de Coxeter [p,q] para las órdenes de sucursal. Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espejo, llamado por convención ρ i (y matriz Ri ) . Los generadores de este grupo [p,q] son reflexiones: ρ 0 , ρ 1 y ρ 2 . La subsimetría rotacional se da como producto de reflexiones: Por convención, σ 0,1 (y matriz S 0,1 ) = ρ 0 ρ 1 representa una rotación de ángulo π/p, y σ 1,2 = ρ 1 ρ 2 es una rotación del ángulo π/q, y σ 0,2 = ρ 0 ρ 2 representa una rotación del ángulo π/2.
[p,q] + ,, es un subgrupo de índice 2 representado por dos generadores de rotación, cada uno de los cuales es producto de dos reflexiones: σ 0,1 , σ 1,2 , y que representan rotaciones de ángulos π/ p y π/ q respectivamente.
Con una rama par, [ p + ,2 q ],o, es otro subgrupo del índice 2, representado por el generador de rotación σ 0,1 y el reflexivo ρ 2 .
Con ramas pares, [2 p + ,2 q + ],, es un subgrupo del índice 4 con dos generadores, construido como producto de las tres matrices de reflexión: Por convención como: ψ 0,1,2 y ψ 1,2,0 , que son reflexiones rotativas , que representan una reflexión y una rotación o reflexión.
En el caso de grupos afines de Coxeter como, o, un espejo, normalmente el último, se traslada fuera del origen. Un generador de traducción τ 0,1 (y una matriz T 0,1 ) se construye como el producto de dos (o un número par de) reflexiones, incluida la reflexión afín. Una transreflexión (reflexión más una traslación) puede ser el producto de un número impar de reflexiones φ 0,1,2 (y la matriz V 0,1,2 ), como el subgrupo del índice 4.: [4 + ,4 + ] =.
Otro generador compuesto, por convención como ζ (y matriz Z), representa la inversión , asignando un punto a su inversa. Para [4,3] y [5,3], ζ = (ρ 0 ρ 1 ρ 2 ) h/2 , donde h es 6 y 10 respectivamente, el número de Coxeter para cada familia. Para el grupo 3D Coxeter [p,q] (), este subgrupo es una reflexión rotatoria [2 + ,h + ].
Los grupos de Coxeter se clasifican por su rango, siendo el número de nodos en su diagrama de Coxeter-Dynkin . La estructura de los grupos también se proporciona con sus tipos de grupos abstractos: en este artículo, los grupos diédricos abstractos se representan como Dih n , y los grupos cíclicos están representados por Z n , con Dih 1 = Z 2 .
Ejemplo, en 2D, el grupo Coxeter [ p ] () está representada por dos matrices de reflexión R 0 y R 1 , La simetría cíclica [ p ] + () está representado por el generador de rotación de la matriz S 0,1 .
Los grupos de Coxeter de rango finito 3 son [1, p ], [2, p ], [3,3], [3,4] y [3,5].
Para reflejar un punto a través de un plano (que pasa por el origen), se puede utilizar , donde es la matriz identidad de 3×3 y es el vector unitario tridimensional para el vector normal del plano. Si la norma L2 de y es la unidad, la matriz de transformación se puede expresar como:
El grupo reflectante finito tridimensional reducible es simetría diédrica , [ p ,2], orden 4 p ,. Los generadores de reflexión son matrices R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =(R 0 ×R 1 ) 3 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =Identidad. [ p ,2] + () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S 0,1 , S 1,2 y S 0,2 . Una reflexión del rotor de orden p se genera mediante V 0,1,2 , el producto de las 3 reflexiones.
El grupo reflectante finito tridimensional irreducible más simple es la simetría tetraédrica , [3,3], orden 24,. Los generadores de reflexión, a partir de una construcción D 3 =A 3 , son las matrices R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =(R 0 ×R 1 ) 3 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =Identidad. [3,3] + () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S 0,1 , S 1,2 y S 0,2 . Un subgrupo triónico, isomorfo a [2 + ,4], orden 8, es generado por S 0,2 y R 1 . Una reflexión del rotor de orden 4 se genera mediante V 0,1,2 , el producto de las 3 reflexiones.
Otro grupo reflectante finito tridimensional irreducible es la simetría octaédrica , [4,3], orden 48,. Las matrices generadoras de reflexión son R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =(R 0 ×R 1 ) 4 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =Identidad. Simetría octaédrica quiral, [4,3] + , () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S 0,1 , S 1,2 y S 0,2 . Simetría piritoédrica [4,3 + ], () se genera por reflexión R 0 y rotación S 1,2 . Una reflexión del rotor de 6 veces se genera mediante V 0,1,2 , el producto de las 3 reflexiones.
Un último grupo reflectante finito tridimensional irreducible es la simetría icosaédrica , [5,3], orden 120,. Las matrices generadoras de reflexión son R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =(R 0 ×R 1 ) 5 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =Identidad. [5,3] + () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S 0,1 , S 1,2 y S 0,2 . V 0,1,2 , el producto de las 3 reflexiones, genera una reflexión del rotor de 10 veces .
Hay 4 grupos de Coxeter irreducibles en 4 dimensiones: [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,4], [5,3,3] , así como una familia infinita de grupos duoprismáticos [ p ,2, q ].
El grupo duprismático, [ p ,2, q ], tiene orden 4 pq .
El grupo duoprismático puede duplicarse en orden, hasta 8 p 2 , con una rotación doble entre los dos planos.
La simetría hipertetraédrica, [3,3,3], orden 120, es más fácil de representar con 4 espejos en 5 dimensiones, como un subgrupo de [4,3,3,3].
El grupo extendido [[3,3,3]], orden 240, se duplica mediante una matriz de rotación doble T, aquí invirtiendo el orden de las coordenadas y el signo: Hay 3 generadores {T, R 0 , R 1 }. Dado que T es recíproco, R 3 =TR 0 T, y R 2 =TR 1 T.
Un grupo reflectante finito irreducible de 4 dimensiones es un grupo hiperoctaédrico (o grupo hexadecacórico (para 16 celdas ), B 4 = [4,3,3], orden 384,. Las matrices generadoras de reflexión son R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 4 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =(R 1 ×R 3 ) 2 =(R 0 ×R 3 ) 2 =Identidad.
Simetría quiral hiperoctaédrica, [4,3,3] + , () se genera mediante 3 de 6 rotaciones: S 0,1 , S 1,2 , S 2,3 , S 0,2 , S 1,3 y S 0,3 . Simetría hiperpiritoédrica [4,(3,3) + ], () se genera por reflexión R 0 y rotaciones S 1,2 y S 2,3 . W 0,1,2,3 , el producto de las 4 reflexiones, genera una doble rotación de 8 veces .
Un medio grupo de [4,3,3] es [3,3 1,1 ],
, orden 192. Comparte 3 generadores con el grupo [4,3,3], pero tiene dos copias de un generador adyacente, uno reflejado en el espejo eliminado.
Un grupo reflectante finito irreducible de 4 dimensiones es el grupo icositetracórico (para 24 celdas ), F 4 = [3,4,3], orden 1152,. Las matrices generadoras de reflexión son R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 3 =(R 1 ×R 2 ) 4 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =(R 1 ×R 3 ) 2 =(R 0 ×R 3 ) 2 =Identidad.
Simetría quiral icositetracórica, [3,4,3] + , () se genera mediante 3 de 6 rotaciones: S 0,1 , S 1,2 , S 2,3 , S 0,2 , S 1,3 y S 0,3 . Grupo iónico disminuido [3,4,3 + ], () se genera por reflexión R 0 y rotaciones S 1,2 y S 2,3 . W 0,1,2,3 , el producto de las 4 reflexiones, genera una doble rotación de 12 veces .
El grupo [[3,4,3]] extiende [3,4,3] mediante una rotación doble, T, orden de duplicación hasta 2304.
La simetría hipericosaédrica, [5,3,3], orden 14400,. Las matrices generadoras de reflexión son R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 5 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =(R 0 ×R 3 ) 2 =(R 1 ×R 3 ) 2 =Identidad. [5,3,3] + () se genera mediante 3 rotaciones: S 0,1 = R 0 ×R 1 , S 1,2 = R 1 ×R 2 , S 2,3 = R 2 ×R 3 , etc.
El grupo E8 Coxeter, [3 4,2,1 ],, tiene 8 nodos espejo, pida 696729600 (192x10!). E7 y E6, [3 3,2,1 ],, y [3 2,2,1 ],se puede construir ignorando el primer espejo o los dos primeros espejos respectivamente.
Las matrices afines se representan agregando una fila y una columna adicionales, siendo la última fila cero excepto la última entrada 1. La última columna representa un vector de traducción.
El grupo afín [∞],, puede estar dado por dos matrices de reflexión, x=0 y x=1.
El grupo afín [4,4],, (p4m), puede estar dado por tres matrices de reflexión, reflexiones a través del eje x (y=0), una diagonal (x=y) y la reflexión afín a través de la línea (x=1). [4,4] + () (p4) es generado por S 0,1 S 1,2 y S 0,2 . [4 + ,4 + ] () (pgg) se genera mediante una rotación doble S 0,2 y una reflexión de deslizamiento (transreflexión) V 0,1,2 . [4 + ,4] () (p4g) es generado por S 0,1 y R 3 . El grupo [(4,4,2 + )] (
) (cmm), se genera mediante una rotación doble S 1,3 y una reflexión R 2 .
El grupo afín [3,6],, (p6m), puede estar dado por tres matrices de reflexión, reflexiones a través del eje x (y=0), línea y=(√3/2)x y línea vertical x=1.
El grupo afín [3 [3] ] se puede construir como un medio grupo de. R 2 se reemplaza por R' 2 = R 2 ×R 1 ×R 2 , presentado por el hiperplano: y+(√3/2)x=2. El dominio fundamental es un triángulo equilátero con arista de longitud 2.
El grupo afín es [4,3,4] (), puede estar dado por cuatro matrices de reflexión. El espejo R 0 se puede colocar en el plano z=0. El espejo R 1 se puede colocar en el plano y=z. El espejo R 2 se puede colocar en el plano x=y. El espejo R 3 se puede colocar en el plano x=1. [4,3,4] + () es generado por S 0,1 , S 1,2 y S 2,3 .
El grupo extendido [[4,3,4]] duplica el orden del grupo, sumando con una matriz de rotación doble T, con un eje fijo que pasa por los puntos (1,1/2,0) y (1/2,1/ 2,1/2). Los generadores son {R 0 ,R 1 ,T}. R 2 = T×R 1 ×T y R 3 = T×R 0 ×T.
El grupo [4,3 1,1 ] se puede construir a partir de [4,3,4], calculando [4,3,4,1 + ],, como R' 3 =R 3 ×R 2 ×R 3 , con el nuevo R' 3 como una imagen de R 2 a través de R 3 .
El grupo [3 [4] ] se puede construir a partir de [4,3,4], eliminando el primer y último espejo, [1 + ,4,3,4,1 + ],, por R' 1 =R 0 ×R 1 ×R 0 y R' 3 =R 3 ×R 2 ×R 3 .
![{\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1- 2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da54416016b586c35e295fa5aa6fb4adf99a8c4)