Gráfico de ciclos Los cuatro ciclos hexagonales tienen en común la inversión (el nudo negro en la parte superior). Los hexágonos son simétricos, por lo que, por ejemplo, 3 y 4 están en el mismo ciclo.
Un octaedro regular tiene 24 simetrías rotacionales (o que preservan la orientación) y 48 simetrías en total. Estas incluyen transformaciones que combinan una reflexión y una rotación. Un cubo tiene el mismo conjunto de simetrías, ya que es el poliedro el que es dual de un octaedro.
El grupo de simetrías que preservan la orientación es S 4 , el grupo simétrico o el grupo de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una simetría de este tipo para cada permutación de las cuatro diagonales del cubo.
Como el grupo hiperoctaédrico de dimensión 3, el grupo octaédrico completo es el producto corona , y una forma natural de identificar sus elementos es como pares ( m , n ) con y . Pero como también es el producto directo S4 ×S2 , uno puede simplemente identificar los elementos del subgrupo tetraédrico Td como y sus inversiones como a ′.
Así, por ejemplo, la identidad (0, 0) se representa como 0 y la inversión (7, 0) como 0′. (3, 1) se representa como 6 y (4, 1) como 6′.
Una rotorreflexión es una combinación de rotación y reflexión.
Simetría octaédrica quiral
O , 432 , o [4,3] + de orden 24, es simetría octaédrica quiral o simetría octaédrica rotacional . Este grupo es como la simetría tetraédrica quiral T, pero los ejes C 2 son ahora ejes C 4 , y además hay 6 ejes C 2 , a través de los puntos medios de las aristas del cubo. T d y O son isomorfos como grupos abstractos: ambos corresponden a S 4 , el grupo simétrico sobre 4 objetos. T d es la unión de T y el conjunto obtenido al combinar cada elemento de O \ T con inversión. O es el grupo de rotación del cubo y el octaedro regular .
Simetría octaédrica completa
O h , *432 , [4,3], o m3m de orden 48 – simetría octaédrica aquiral o simetría octaédrica completa . Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que O, pero con planos especulares, que comprenden tanto los planos especulares de T d como de T h . Este grupo es isomorfo a S 4 .C 2 , y es el grupo de simetría completa del cubo y del octaedro . Es el grupo hiperoctaédrico para n = 3 . Véanse también las isometrías del cubo .
Con los ejes cuádruples como ejes de coordenadas, un dominio fundamental de O h está dado por 0 ≤ x ≤ y ≤ z . Un objeto con esta simetría se caracteriza por la parte del objeto en el dominio fundamental, por ejemplo, el cubo está dado por z = 1 , y el octaedro por x + y + z = 1 (o las desigualdades correspondientes, para obtener el sólido en lugar de la superficie). ax + by + cz = 1 da un poliedro con 48 caras, por ejemplo, el disdyakis dodecaedro.
Las caras son de 8 por 8 combinadas en caras más grandes para a = b = 0 (cubo) y de 6 por 6 para a = b = c (octaedro).
Las 9 líneas especulares de simetría octaédrica completa se pueden dividir en dos subgrupos de 3 y 6 (dibujados en violeta y rojo), que representan dos subsimetrías ortogonales: D 2h y T d . La simetría D 2h se puede duplicar a D 4h restaurando 2 espejos desde una de tres orientaciones.
Matrices de rotación
Tome el conjunto de todas las matrices de permutación 3×3 y asigne un signo + o − a cada uno de los tres 1. Hay permutaciones y combinaciones de signos para un total de 48 matrices, lo que da el grupo octaédrico completo. 24 de estas matrices tienen un determinante de +1; estas son las matrices de rotación del grupo octaédrico quiral. Las otras 24 matrices tienen un determinante de −1 y corresponden a una reflexión o inversión.
Para la simetría octaédrica se necesitan tres matrices de generadores reflexivos, que representan los tres espejos de un diagrama de Coxeter-Dynkin . El producto de las reflexiones produce tres generadores rotacionales.
Subgrupos de simetría octaédrica completa
Las isometrías del cubo
48 elementos de simetría de un cubo
El cubo tiene 48 isometrías (elementos de simetría), que forman el grupo de simetría O h , isomorfo a S 4 × Z 2 . Se pueden clasificar de la siguiente manera:
rotación alrededor de un eje desde el centro de una cara al centro de la cara opuesta en un ángulo de 90°: 3 ejes, 2 por eje, juntos 6 ((1 2 3 4), etc.; ((1 ± i )/ √ 2 , etc.)
lo mismo para un ángulo de 180°: 3 ejes, 1 por eje, juntos 3 ((1 2) (3 4), etc.; i , j , k )
rotación alrededor de un eje desde el centro de un borde hasta el centro del borde opuesto en un ángulo de 180°: 6 ejes, 1 por eje, juntos 6 ((1 2), etc.; (( i ± j )/ √ 2 , etc.)
rotación alrededor de una diagonal del cuerpo en un ángulo de 120°: 4 ejes, 2 por eje, juntos 8 ((1 2 3), etc.; (1 ± i ± j ± k )/2)
Lo mismo ocurre con la inversión ( x se asigna a − x ) (también 24 isometrías). Nótese que la rotación en un ángulo de 180° sobre un eje combinada con la inversión es simplemente una reflexión en el plano perpendicular. La combinación de inversión y rotación sobre la diagonal de un cuerpo en un ángulo de 120° es una rotación sobre la diagonal del cuerpo en un ángulo de 60°, combinada con una reflexión en el plano perpendicular (la rotación en sí no asigna el cubo a sí mismo; la intersección del plano de reflexión con el cubo es un hexágono regular ).
Una isometría del cubo se puede identificar de varias maneras:
por las caras se asignan tres caras adyacentes dadas (por ejemplo, 1, 2 y 3 en un dado) a
por la imagen de un cubo con una marca asimétrica en una cara: la cara con la marca, ya sea normal o una imagen especular, y la orientación
mediante una permutación de las cuatro diagonales del cuerpo (cada una de las 24 permutaciones es posible), combinada con un interruptor para la inversión del cubo, o no
Para los cubos con colores o marcas (como los dados ), el grupo de simetría es un subgrupo de O h .
Ejemplos:
C 4v , [4], (*422): si una cara tiene un color diferente (o dos caras opuestas tienen colores diferentes entre sí y de las otras cuatro), el cubo tiene 8 isometrías, como las tiene un cuadrado en 2D.
D 2h , [2,2], (*222): si las caras opuestas tienen los mismos colores, diferentes para cada conjunto de dos, el cubo tiene 8 isometrías, como un cuboide .
D 4h , [4,2], (*422): si dos caras opuestas tienen el mismo color, y todas las demás caras tienen un color diferente, el cubo tiene 16 isometrías, como un prisma cuadrado (caja cuadrada).
C 2v , [2], (*22):
Si dos caras adyacentes tienen el mismo color y todas las demás caras tienen un color diferente, el cubo tiene 4 isometrías.
si tres caras, de las cuales dos opuestas entre sí, tienen un color y las otras tres otro color, el cubo tiene 4 isometrías.
si dos caras opuestas tienen el mismo color, y otras dos caras opuestas también, y las dos últimas tienen colores diferentes, el cubo tiene 4 isometrías, como un trozo de papel en blanco con una figura con simetría especular.
C s , [ ], (*):
Si dos caras adyacentes tienen colores diferentes entre sí, y las otras cuatro tienen un tercer color, el cubo tiene 2 isometrías.
Si dos caras opuestas tienen el mismo color y todas las demás caras tienen colores diferentes, el cubo tiene 2 isometrías, como una hoja de papel en blanco asimétrica.
C 3v , [3], (*33): si tres caras, de las cuales ninguna opuesta entre sí, tienen un color y las otras tres otro color, el cubo tiene 6 isometrías.
Para algunos subgrupos más grandes, no es posible crear un cubo con ese grupo como grupo de simetría simplemente coloreando las caras completas. Hay que dibujar algún patrón en las caras.
Ejemplos:
D 2d , [2 + ,4], (2*2): si una cara tiene un segmento de línea que divide la cara en dos rectángulos iguales, y la opuesta tiene el mismo en dirección perpendicular, el cubo tiene 8 isometrías; hay un plano de simetría y simetría rotacional doble con un eje en un ángulo de 45° con ese plano, y, como resultado, también hay otro plano de simetría perpendicular al primero, y otro eje de simetría rotacional doble perpendicular al primero.
T h , [3 + ,4], (3*2): si cada cara tiene un segmento de línea que divide la cara en dos rectángulos iguales, de modo que los segmentos de línea de las caras adyacentes no se encuentran en el borde, el cubo tiene 24 isometrías: las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las mismas combinadas con la inversión ( x se asigna a − x ).
T d , [3,3], (*332): si el cubo consta de ocho cubos más pequeños, cuatro blancos y cuatro negros, colocados alternativamente en las tres direcciones estándar, el cubo tiene nuevamente 24 isometrías: esta vez las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las inversas de las otras rotaciones propias.
T, [3,3] + , (332): si cada cara tiene el mismo patrón con simetría rotacional doble, digamos la letra S, tal que en todos los bordes un vértice de un S se encuentra con un lado del otro S, el cubo tiene 12 isometrías: las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo.
La simetría completa del cubo, O h , [4,3], (*432), se conserva si y sólo si todas las caras tienen el mismo patrón de modo que se conserva la simetría completa del cuadrado , con para el cuadrado un grupo de simetría, Dih 4 , [4], de orden 8.
La simetría completa del cubo bajo rotaciones adecuadas, O, [4,3] + , (432), se conserva si y solo si todas las caras tienen el mismo patrón con simetría rotacional cuádruple , Z 4 , [4] + .
Simetría octaédrica de la superficie de Bolza
En la teoría de superficies de Riemann , la superficie de Bolza , a veces llamada curva de Bolza, se obtiene como la doble cubierta ramificada de la esfera de Riemann, con lugar geométrico de ramificación en el conjunto de vértices del octaedro regular inscrito. Su grupo de automorfismos incluye la involución hiperelíptica que invierte las dos láminas de la cubierta. El cociente por el subgrupo de orden 2 generado por la involución hiperelíptica produce precisamente el grupo de simetrías del octaedro. Entre las muchas propiedades notables de la superficie de Bolza está el hecho de que maximiza la sístole entre todas las superficies hiperbólicas de género 2.
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Referencias
^ John Conway, Las simetrías de las cosas , Fig. 20.8, pág. 280
Peter R. Cromwell, Poliedros (1997), pág. 295
Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos de Coxeter esféricos
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