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Teorema del círculo de Conway

Un diagrama geométrico que muestra un círculo dentro de un triángulo dentro de un círculo más grande.
Círculo de Conway de un triángulo con sus seis puntos concéntricos (negro sólido), el círculo inscrito del triángulo (gris discontinuo) y el centro de ambos círculos (blanco); los segmentos de línea sólidos y discontinuos del mismo color tienen la misma longitud

En geometría plana , el teorema del círculo de Conway establece que cuando los lados que se encuentran en cada vértice de un triángulo se extienden por la longitud del lado opuesto, los seis puntos finales de los tres segmentos de línea resultantes se encuentran en un círculo cuyo centro es el incentro del triángulo. El círculo en el que se encuentran estos seis puntos se llama círculo de Conway del triángulo. [1] [2] [3] El teorema y el círculo reciben su nombre del matemático John Horton Conway .

Prueba

Los segmentos del mismo color tienen la misma longitud.

Sea I el centro del incírculo del triángulo ABC , r su radio y F a , F b y F c los tres puntos donde el incírculo toca los lados del triángulo a , b y c . Puesto que los lados (extendidos) del triángulo son tangentes del incírculo, se deduce que IF a , IF b e IF c son perpendiculares a a , b y c . Además, se cumplen las siguientes igualdades para segmentos de línea. |AF c |=|AF b |, |BF c |=|BF a |, |CF a |=|CF b |. Con ello, los seis triángulos IF c P a , IF c Q b , IF a P b , IF a Q c , IF b Q a e IF b P c tienen todos un lado de longitud | AF c |+| BF c |+| CF a | y un lado de longitud r con un ángulo recto entre ellos. Esto significa que, debido al teorema de congruencia SAS para triángulos, los seis triángulos son congruentes, lo que produce | IP a |=| IQ a |=| IP b |=| IQ b |=| IP c |=| IQ c |. Por lo tanto, los seis puntos P a , Q a , P b , Q b , P c y Q c tienen todos la misma distancia desde el incentro del triángulo I , es decir, se encuentran en un círculo común con centro I .

Propiedades adicionales

El radio del círculo de Conway es

donde y son el radio interior y el semiperímetro del triángulo. [3]

Generalización

El teorema del círculo de Conway como caso especial de la generalización, llamado "teorema del divisor lateral" (Villiers) o "teorema del limpiaparabrisas" (Polster)

El círculo de Conway es un caso especial de un círculo más general para un triángulo que se puede obtener de la siguiente manera: Dado cualquier △ABC con un punto arbitrario P en la línea AB, se construye BQ = BP, CR = CQ, AS = AR, BT = BS, CU = CT. Luego, AU = AP y PQRSTU es cíclico. [4]

Si coloca P en el lado extendido del triángulo AB de manera que BP = b y BP esté completamente fuera del triángulo, entonces las construcciones anteriores producen el teorema del círculo de Conway.

Véase también

Referencias

  1. ^ "John Horton Conway". www.cardcolm.org . Archivado desde el original el 20 de mayo de 2020 . Consultado el 29 de mayo de 2020 .
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Conway Circle". MathWorld . Consultado el 29 de mayo de 2020 .
  3. ↑ ab Francisco Javier García Capitán (2013). "Una generalización del círculo de Conway" (PDF) . Foro Geométricorum . 13 : 191-195.
  4. ^ Michael de Villiers (2023). "El teorema del círculo de Conway como caso especial de un teorema más general del divisor de lados". Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas (34): 37–42.

Enlaces externos