En el análisis funcional , una disciplina dentro de las matemáticas , dada un C*-álgebra A , la construcción de Gelfand-Naimark-Segal establece una correspondencia entre las representaciones cíclicas * de A y ciertos funcionales lineales en A (llamados estados ). La correspondencia se muestra mediante una construcción explícita de la representación * del Estado. Lleva el nombre de Israel Gelfand , Mark Naimark e Irving Segal .
Una representación * de un álgebra C* A en un espacio de Hilbert H es una aplicación de π de A al álgebra de operadores acotados en H tal que
Un estado en un álgebra C* A es un funcional lineal positivo f de norma 1. Si A tiene un elemento unitario multiplicativo, esta condición es equivalente a f (1) = 1.
Para una representación π de un álgebra C* A en un espacio de Hilbert H , un elemento ξ se llama vector cíclico si el conjunto de vectores
es norma densa en H , en cuyo caso π se llama representación cíclica . Cualquier vector distinto de cero de una representación irreducible es cíclico. Sin embargo, los vectores distintos de cero en una representación cíclica general pueden no ser cíclicos.
Sea π una representación * de un álgebra C* A en el espacio de Hilbert H y ξ sea un vector cíclico norma unitario para π. Entonces es un estado de A .
Por el contrario, cada estado de A puede verse como un estado vectorial como se indicó anteriormente, bajo una representación canónica adecuada.
Teorema. [1] — Dado un estado ρ de A , existe una representación * π de A que actúa sobre un espacio de Hilbert H con un vector cíclico unitario distinguido ξ tal que para cada a en A.
Definir en A una forma sesquilineal semidefinida
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , los elementos degenerados, a en A que satisfacen ρ( a* a )= 0, forman un subespacio vectorial I de A. Mediante un argumento algebraico C*, se puede demostrar que I es un ideal izquierdo de A (conocido como núcleo izquierdo de ρ). De hecho, es el ideal izquierdo más grande en el espacio nulo de ρ. El espacio cociente de A por el subespacio vectorial I es un espacio producto interno con el producto interno definido por . La terminación de Cauchy de A / I en la norma inducida por este producto interno es un espacio de Hilbert, que denotamos por H.Si A tiene una identidad multiplicativa 1, entonces es inmediato que la clase de equivalencia ξ en el espacio H de GNS Hilbert que contiene 1 es un vector cíclico para la representación anterior. Si A no es unitario, tome una identidad aproximada { e λ } para A. Dado que los funcionales lineales positivos están acotados, las clases de equivalencia de la red { e λ } convergen a algún vector ξ en H , que es un vector cíclico para π.
De la definición del producto interno en el espacio GNS de Hilbert H se desprende claramente que el estado ρ se puede recuperar como un estado vectorial en H. Esto prueba el teorema.El método utilizado para producir una representación * de un estado de A en la demostración del teorema anterior se llama construcción GNS . Para un estado de un álgebra C* A , la representación GNS correspondiente está esencialmente determinada de forma única por la condición, como se ve en el teorema siguiente.
Teorema. [2] — Dado un estado ρ de A , sean π, π' *-representaciones de A en espacios de Hilbert H , H ′ respectivamente, cada uno con vectores cíclicos de norma unitaria ξ ∈ H , ξ' ∈ H ′ tales que para todos . Entonces π, π' son representaciones * unitariamente equivalentes, es decir, hay un operador unitario U de H a H ′ tal que π'( a ) = Uπ( a )U* para todo a en A . El operador U que implementa la equivalencia unitaria asigna π( a )ξ a π'( a )ξ' para todo a en A .
La construcción GNS está en el centro de la prueba del teorema de Gelfand-Naimark que caracteriza a las álgebras C* como álgebras de operadores. El álgebra AC* tiene suficientes estados puros (ver más abajo) para que la suma directa de las representaciones GNS irreducibles correspondientes sea fiel .
La suma directa de las representaciones GNS correspondientes de todos los estados se denomina representación universal de A. La representación universal de A contiene todas las representaciones cíclicas. Como cada representación * es una suma directa de representaciones cíclicas, se deduce que cada representación * de A es una suma directa de alguna suma de copias de la representación universal.
Si Φ es la representación universal de un C*-álgebra A , el cierre de Φ( A ) en la topología del operador débil se llama álgebra envolvente de von Neumann de A. Se puede identificar con la doble dual A** .
También es importante la relación entre representaciones * irreducibles y puntos extremos del conjunto convexo de estados. Una representación π en H es irreducible si y sólo si no hay subespacios cerrados de H que sean invariantes bajo todos los operadores π( x ) distintos del propio H y el subespacio trivial {0}.
Teorema : el conjunto de estados de un álgebra C* A con un elemento unitario es un conjunto convexo compacto bajo la topología débil-*. En general, (independientemente de si A tiene o no un elemento unitario) el conjunto de funcionales positivos de norma ≤ 1 es un conjunto convexo compacto.
Ambos resultados se derivan inmediatamente del teorema de Banach-Alaoglu .
En el caso conmutativo unital, para el C*-álgebra C ( X ) de funciones continuas en algún X compacto , el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani dice que los funcionales positivos de norma ≤ 1 son precisamente las medidas positivas de Borel en X con total masa ≤ 1. Del teorema de Krein-Milman se deduce que los estados extremos son las medidas de masa puntual de Dirac.
Por otro lado, una representación de C ( X ) es irreducible si y sólo si es unidimensional. Por lo tanto, la representación GNS de C ( X ) correspondiente a una medida μ es irreducible si y solo si μ es un estado extremo. De hecho, esto es cierto para las álgebras C* en general.
Teorema : Sea A un álgebra C *. Si π es una representación * de A en el espacio de Hilbert H con un vector cíclico de norma unitaria ξ, entonces π es irreducible si y sólo si el estado correspondiente f es un punto extremo del conjunto convexo de funcionales lineales positivos en A de norma ≤ 1.
Para probar este resultado se observa primero que una representación es irreducible si y sólo si el conmutante de π( A ), denotado por π( A )', consta de múltiplos escalares de la identidad.
Cualquier funcional lineal positivo g en A dominado por f tiene la forma para algún operador positivo T g en π( A )' con 0 ≤ T ≤ 1 en el orden del operador. Esta es una versión del teorema de Radón-Nikodym .
Para tal g , se puede escribir f como una suma de funcionales lineales positivos: f = g + g' . Entonces π es unitariamente equivalente a una subrepresentación de π g ⊕ π g' . Esto muestra que π es irreducible si y sólo si cualquier π g es unitariamente equivalente a π, es decir, g es un múltiplo escalar de f , lo que demuestra el teorema.
Los estados extremos suelen denominarse estados puros . Tenga en cuenta que un estado es puro si y sólo si es extremo en el conjunto convexo de estados.
Los teoremas anteriores para álgebras C* son válidos de manera más general en el contexto de álgebras B* con identidad aproximada.
El teorema de factorización de Stinespring que caracteriza mapas completamente positivos es una generalización importante de la construcción GNS.
El artículo de Gelfand y Naimark sobre el teorema de Gelfand-Naimark se publicó en 1943. [3] Segal reconoció la construcción implícita en este trabajo y la presentó en forma más precisa. [4]
En su artículo de 1947, Segal demostró que es suficiente, para cualquier sistema físico que pueda describirse mediante un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert, considerar las representaciones irreducibles de un álgebra C*. En teoría cuántica, esto significa que el álgebra C* es generada por los observables. Esto, como señaló Segal, había sido demostrado anteriormente por John von Neumann sólo para el caso específico de la teoría no relativista de Schrödinger-Heisenberg. [5]
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