Una matriz Halbach ( alemán: [ˈhalbax] ) es una disposición especial de imanes permanentes que aumenta el campo magnético en un lado de la matriz mientras cancela el campo casi a cero en el otro lado. [1] [2] Esto se logra teniendo un patrón de magnetización que gira espacialmente.
El patrón de rotación de los imanes permanentes (en la cara frontal; a la izquierda, arriba, derecha, abajo) puede continuar indefinidamente y tener el mismo efecto. El efecto de esta disposición es más o menos similar al de muchos imanes de herradura colocados uno al lado del otro, con polos similares en contacto.
Este proceso de orientación magnética replica el aplicado por un cabezal de cinta de grabación magnética al recubrimiento de la cinta magnética durante el proceso de grabación. El principio fue descrito con más detalle por James (Jim) M. Winey de Magnepan en 1970, para el caso ideal de magnetización en rotación continua, inducida por una bobina unilateral en forma de franja. [3]
El efecto también fue descubierto por John C. Mallinson en 1973, y estas estructuras de "flujo unilateral" fueron inicialmente descritas por él como una "curiosidad", aunque en ese momento reconoció en este descubrimiento el potencial de mejoras significativas en la cinta magnética. tecnología. [4]
El físico Klaus Halbach, mientras trabajaba en el Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley durante la década de 1980, inventó de forma independiente la matriz Halbach para enfocar los haces de los aceleradores de partículas. [5]
Aunque esta distribución de flujo magnético parece algo contraria a la intuición para quienes están familiarizados con barras magnéticas o solenoides simples , el motivo de esta distribución de flujo se puede visualizar intuitivamente utilizando el diagrama original de Mallinson (tenga en cuenta que utiliza el componente y negativo , a diferencia del diagrama del artículo de Mallinson). ). El diagrama muestra el campo de una tira de material ferromagnético con magnetización alterna en la dirección y (arriba a la izquierda) y en la dirección x (arriba a la derecha). Tenga en cuenta que el campo sobre el plano está en la misma dirección para ambas estructuras, pero el campo debajo del plano está en direcciones opuestas . El efecto de superponer ambas estructuras se muestra en la figura.
El punto crucial es que el flujo se cancelará por debajo del plano y se reforzará por encima del mismo . De hecho, cualquier patrón de magnetización en el que los componentes de la magnetización estén desfasados entre sí dará como resultado un flujo unilateral. La transformada matemática que desplaza la fase de todos los componentes de alguna función se llama transformada de Hilbert ; Por lo tanto, los componentes del vector de magnetización pueden ser cualquier par de transformada de Hilbert (el más simple de los cuales es simplemente , como se muestra en el diagrama anterior).
El campo en el lado que no se cancela de la matriz infinita, ideal y que varía continuamente tiene la forma [6]
dónde
Las ventajas de las distribuciones de flujo unilaterales son dos:
Por lo tanto, tienen una sorprendente cantidad de aplicaciones, que van desde imanes planos para refrigeradores, pasando por aplicaciones industriales como motores de corriente continua sin escobillas , bobinas móviles , [7] focalización magnética de fármacos [8] hasta aplicaciones de alta tecnología, como imanes móviles utilizados en aceleradores de partículas y láseres de electrones libres .
El tren Inductrack Maglev [9] y el sistema de lanzamiento de cohetes Inductrack [10] utilizan el conjunto Halbach para levantar el tren repeliendo bucles de cable en la vía.
Los imanes de refrigerador planos y flexibles (no ferrita de cerámica dura ) se crean con un patrón de magnetización Halbach para una fuerza de sujeción más fuerte cuando se unen a una superficie ferromagnética plana (por ejemplo, la puerta de un refrigerador) que la fuerza de sujeción de una magnetización uniforme. Están hechos de ferrita en polvo mezclada en un aglutinante flexible (por ejemplo, plástico o caucho) que se expone a un patrón de campo de magnetización Halbach a medida que se extruye , dando permanentemente a las partículas de ferrita en el compuesto magnético esta distribución de flujo unilateral (que puede ser visto con película de visualización magnética ).
Al ampliar este diseño y agregar una hoja superior se obtiene un imán móvil , utilizado en sincrotrones y láseres de electrones libres . Los imanes oscilantes mueven u oscilan un haz de electrones perpendicular al campo magnético. A medida que los electrones experimentan aceleración, irradian energía electromagnética en la dirección de su vuelo y, a medida que interactúan con la luz ya emitida, los fotones a lo largo de su línea se emiten en fase, lo que da como resultado un haz monocromático y coherente "similar a un láser".
El diseño que se muestra arriba se conoce generalmente como Wiggler Halbach. Los vectores de magnetización en las láminas magnetizadas giran en sentidos opuestos entre sí; arriba, el vector de magnetización de la hoja superior gira en el sentido de las agujas del reloj y el vector de magnetización de la hoja inferior gira en el sentido contrario a las agujas del reloj. Este diseño se elige de modo que los componentes x de los campos magnéticos de las hojas se cancelen y los componentes y se refuercen, de modo que el campo esté dado por
donde k es el número de onda de la lámina magnética dado por el espaciado entre bloques magnéticos con el mismo vector de magnetización.
Se puede disponer una serie de varillas magnéticas, magnetizadas perpendicularmente a sus ejes, en una matriz de Halbach. Si cada varilla se gira alternativamente 90°, el campo resultante se mueve de un lado del plano de las varillas al otro, como se muestra esquemáticamente en la figura.
Esta disposición permite que el campo se encienda y apague efectivamente por encima o por debajo del plano de las varillas, dependiendo de la rotación de las varillas. Un dispositivo de este tipo constituye un pestillo magnético mecánico eficiente que no requiere energía. Un estudio detallado de esta disposición ha demostrado que cada varilla está sujeta a un fuerte par de las varillas vecinas y, por lo tanto, requiere estabilización mecánica. [11] Sin embargo, una solución simple y eficiente, que proporciona tanto estabilización como la capacidad de girar cada varilla alternativamente, es simplemente proporcionar una disposición de engranajes iguales en cada varilla, como se muestra en la figura.
Un cilindro de Halbach es un cilindro magnetizado compuesto de material ferromagnético que produce (en el caso ideal) un intenso campo magnético confinado completamente dentro del cilindro, con un campo cero en el exterior. Los cilindros también se pueden magnetizar de manera que el campo magnético esté completamente fuera del cilindro, con un campo cero en el interior. En las figuras se muestran varias distribuciones de magnetización.
La dirección de magnetización dentro del material ferromagnético, en el plano perpendicular al eje del cilindro, viene dada por
donde Mr es la remanencia ferromagnética (A/m). Un valor positivo de k − 1 da un campo magnético interno y uno negativo da un campo magnético externo.
Idealmente, estas estructuras se crearían a partir de un cilindro de material magnético de longitud infinita con la dirección de magnetización variando continuamente. El flujo magnético producido por este diseño ideal sería perfectamente uniforme y estaría completamente confinado al diámetro interior del cilindro o al exterior del cilindro. Por supuesto, el caso ideal de longitud infinita no es realizable y, en la práctica, la longitud finita de los cilindros produce efectos finales , que introducen no uniformidades en el campo. [12] [13] La dificultad de fabricar un cilindro con una magnetización que varía continuamente también suele llevar a que el diseño se rompa en segmentos.
Estas estructuras cilíndricas se utilizan en dispositivos como motores de CA sin escobillas, acoplamientos magnéticos y cilindros de alto campo. Tanto los motores sin escobillas como los dispositivos de acoplamiento utilizan disposiciones de campo multipolares:
Para el caso especial de k = 2, el campo dentro del orificio es uniforme y viene dado por
donde los radios interior y exterior del cilindro son R i y R o respectivamente. H está en la dirección y . Esta es la forma más simple del cilindro de Halbach, y se puede ver que si la relación entre los radios exterior e interior es mayor que e , el flujo dentro del orificio en realidad excede la remanencia del material magnético utilizado para crear el cilindro. Sin embargo, se debe tener cuidado de no producir un campo que exceda la coercitividad de los imanes permanentes utilizados, ya que esto puede provocar la desmagnetización del cilindro y la producción de un campo mucho menor que el previsto. [15] [16]
Este diseño cilíndrico es sólo una clase de diseños que producen un campo uniforme dentro de una cavidad dentro de una serie de imanes permanentes. Otras clases de diseño incluyen diseños de cuña, propuestos por Abele y Jensen, en los que se disponen cuñas de material magnetizado para proporcionar un campo uniforme dentro de las cavidades dentro del diseño, como se muestra.
La dirección de magnetización de las cuñas en (A) se puede calcular utilizando un conjunto de reglas dadas por Abele y permite una gran libertad en la forma de la cavidad. Otra clase de diseño es el mangle magnético (B), propuesto por Coey y Cugat, [17] [18] en el que se disponen varillas magnetizadas uniformemente de modo que su magnetización coincida con la de un cilindro Halbach, como se muestra para un diseño de 6 varillas. . Este diseño aumenta en gran medida el acceso a la región de campo uniforme, a expensas de que el volumen de campo uniforme sea menor que en los diseños cilíndricos (aunque esta área se puede aumentar aumentando el número de varillas componentes). Al girar las varillas entre sí se obtienen muchas posibilidades, incluido un campo dinámicamente variable y varias configuraciones dipolares. Se puede observar que los diseños mostrados en (A) y (B) están estrechamente relacionados con el cilindro de Halbach k = 2. Otros diseños muy simples para un campo uniforme incluyen imanes separados con trayectorias de retorno de hierro dulce, como se muestra en la figura (C).
En los últimos años, estos dipolos de Halbach se han utilizado para realizar experimentos de RMN de campo bajo . [19] En comparación con las geometrías de placa estándar (C) de imanes permanentes disponibles comercialmente ( Bruker Minispec), estas, como se explicó anteriormente, ofrecen un diámetro de orificio enorme, sin dejar de tener un campo razonablemente homogéneo.
El método utilizado para encontrar el campo creado por el cilindro es matemáticamente muy similar al utilizado para investigar una esfera uniformemente magnetizada. [20]
Debido a la simetría de la disposición a lo largo del eje del cilindro, el problema puede tratarse como bidimensional. Trabaje en coordenadas plano-polares con vectores unitarios asociados y y deje que el cilindro tenga una extensión radial . Entonces la magnetización en las paredes del cilindro, que tiene magnitud , gira suavemente como
mientras que la magnetización desaparece fuera de las paredes, es decir, en el interior y en el entorno .
Por definición, la intensidad del campo magnético auxiliar está relacionada con la magnetización y la densidad de flujo magnético por . Usando la ley de Gauss , esto es equivalente
Dado que el problema es estático, no hay corrientes libres y todas las derivadas del tiempo desaparecen, por lo que la ley de Ampère requiere además dónde está el potencial escalar magnético (hasta un signo según algunas definiciones). Sustituyendo esto nuevamente en la Ecuación 1 anterior que rige y , encontramos que necesitamos resolver
que tiene la forma de la ecuación de Poisson .
Considere ahora las condiciones de contorno en las interfaces cilindro-aire y . La integración sobre un pequeño bucle que se extiende a ambos lados del límite y la aplicación del teorema de Stokes requiere que la componente paralela de sea continua. Esto a su vez requiere que sea continuo a lo largo del límite. (Más propiamente, esto implica que deben diferir en una constante a lo largo del límite, pero como las cantidades físicas que nos interesan dependen de gradientes de este potencial, podemos establecer arbitrariamente la constante en cero por conveniencia). Para obtener un segundo conjunto de condiciones , integre la Ecuación 1 en un pequeño volumen que se extiende a ambos lados del límite y aplique el teorema de divergencia para encontrar
donde la notación denota un salto en la cantidad a través del límite, y en nuestro caso el signo es negativo en y positivo en . La diferencia de signos se debe a que la orientación relativa de la magnetización y la superficie normal a la parte del volumen de integración dentro de las paredes del cilindro son opuestas en los límites interior y exterior.
En coordenadas plano-polares, la divergencia de un campo vectorial viene dada por
De manera similar, el gradiente de un campo escalar viene dado por
Combinando estas dos relaciones, el laplaciano se convierte en
Usando la Ecuación 3 , la divergencia de magnetización en las paredes del cilindro es
Por lo tanto, la ecuación 2 , que es la que queremos resolver, se convierte al usar la ecuación 5
Busque una solución particular de esta ecuación en las paredes del cilindro. En retrospectiva, consideremos , porque entonces tenemos
y también
Por lo tanto , la comparación con la Ecuación 6 muestra que es la solución particular apropiada.
Ahora considere la ecuación homogénea para la Ecuación 6 , a saber . Ésta tiene la forma de la ecuación de Laplace . Mediante el método de separación de variables , se puede demostrar que la solución homogénea general cuyo gradiente es periódico (de modo que todas las cantidades físicas tienen un solo valor) está dada por
donde son constantes arbitrarias. La solución deseada será la suma de las soluciones particulares y homogéneas que satisfaga las condiciones de contorno. Nuevamente, en retrospectiva, establezcamos la mayoría de las constantes en cero inmediatamente y afirmemos que la solución es
donde ahora hay constantes por determinar. Si podemos elegir las constantes de manera que se satisfagan las condiciones de contorno, entonces, según el teorema de unicidad de la ecuación de Poisson , debemos haber encontrado la solución.
Las condiciones de continuidad dan
en el límite interior y
en el límite exterior. El gradiente de potencial tiene un componente radial que no desaparece en las paredes del cilindro y en el orificio, por lo que las condiciones de la derivada de potencial se vuelven
en el límite interior y
en el límite exterior. Tenga en cuenta que éstas son idénticas a las ecuaciones 7 y 8 , por lo que, de hecho, la suposición fue consistente. Por lo tanto tenemos y , dando la solución.
En consecuencia, el campo magnético viene dado por
mientras que la densidad de flujo magnético se puede encontrar en todas partes utilizando la definición anterior . En el orificio, donde la magnetización desaparece, esto se reduce a . De ahí la magnitud de la densidad de flujo que hay
que es independiente de la posición. De manera similar, fuera del cilindro la magnetización también desaparece y, dado que allí desaparece el campo magnético, también desaparece la densidad de flujo. De hecho, el campo es uniforme dentro y cero fuera del cilindro de Halbach ideal, con una magnitud que depende de sus dimensiones físicas.
Los cilindros de Halbach generan un campo estático. Sin embargo, los cilindros se pueden encajar y, al girar un cilindro con respecto al otro, se puede lograr la cancelación del campo y el ajuste de la dirección. [21] Como el campo exterior de un cilindro es bastante pequeño, la rotación relativa no requiere fuerzas fuertes. En el caso ideal de cilindros infinitamente largos, no se requeriría ninguna fuerza para girar un cilindro con respecto al otro.
Si los patrones de distribución magnética bidimensionales del cilindro de Halbach se extienden a tres dimensiones, el resultado es la esfera de Halbach. Estos diseños tienen un campo extremadamente uniforme dentro del interior del diseño, ya que no se ven afectados por los "efectos finales" que prevalecen en el diseño de cilindros de longitud finita. La magnitud del campo uniforme para una esfera también aumenta a 4/3 de la cantidad para el diseño cilíndrico ideal con los mismos radios interior y exterior. Sin embargo, para una estructura esférica, el acceso a la región de campo uniforme generalmente está restringido a un orificio estrecho en la parte superior e inferior del diseño.
La ecuación para el campo en una esfera de Halbach es [22]
Es posible obtener campos más altos optimizando el diseño esférico para tener en cuenta el hecho de que está compuesto de dipolos puntuales (y no de dipolos lineales). Esto da como resultado que la esfera se estire hasta adoptar una forma elíptica y que tenga una distribución no uniforme de la magnetización sobre las partes componentes. Utilizando este método, así como piezas polares blandas dentro del diseño, Bloch et al . en 1998, [23] y esto se incrementó aún más a 5 T en 2002, [24] aunque con un volumen de trabajo menor de 0,05 mm 3 . Como los materiales duros dependen de la temperatura, la refrigeración de todo el conjunto magnético puede aumentar aún más el campo dentro del área de trabajo, como lo muestran Kumada et al. Este grupo también informó sobre el desarrollo de un cilindro dipolo Halbach de 5,16 T en 2003. [25]
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