Conjeturas homológicas en el álgebra conmutativa

En matemáticas , las conjeturas homológicas han sido un foco de actividad de investigación en álgebra conmutativa desde principios de la década de 1960. Se refieren a una serie de conjeturas interrelacionadas (a veces sorprendentemente) que relacionan varias propiedades homológicas de un anillo conmutativo con su estructura de anillo interna, particularmente su dimensión de Krull y profundidad .

La siguiente lista dada por Melvin Hochster se considera definitiva para esta área. En la secuela, , y se refieren a anillos conmutativos noetherianos ; será un anillo local con ideal máximo , y y son módulos finitamente generados . ${\displaystyle A,R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m_{R}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$

1. Teorema del divisor cero. Si tiene dimensión proyectiva finita y no es divisor de cero en , entonces no es divisor de cero en . ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$
2. Pregunta de Bass. Si tiene una resolución inyectiva finita , entonces es un anillo de Cohen-Macaulay . ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle R}$
3. Teorema de intersección. Si tiene longitud finita, entonces la dimensión de Krull de N ( es decir, la dimensión de R módulo el aniquilador de N ) es como máximo la dimensión proyectiva de M. ${\displaystyle M\otimes _{R}N\neq 0}$
4. El nuevo teorema de intersección. Sea un complejo finito de R -módulos libres tal que tiene longitud finita pero no es 0. Entonces, la (dimensión de Krull) . ${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$ ${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle \dim R\leq n}$
5. La nueva conjetura de intersección mejorada. Sea α un complejo finito de R -módulos libres tales que tiene una longitud finita para y tiene un generador mínimo que es eliminado por una potencia del ideal máximo de R . Entonces . ${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$ ${\displaystyle H_{i}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle H_{0}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle \dim R\leq n}$
6. La conjetura del sumando directo. Si R es una extensión de anillo de módulo finito con R regular (aquí, R no necesita ser local pero el problema se reduce inmediatamente al caso local), entonces R es un sumando directo de S como un R -módulo. La conjetura fue demostrada por Yves André usando una teoría de espacios perfumistas . ^[1] ${\displaystyle R\subseteq S}$
7. La conjetura del elemento canónico. Sea un sistema de parámetros para R , sea una R -resolución libre del campo de residuos de R con , y sea el complejo de Koszul de R con respecto a . Elevemos la función identidad a una función de complejos. Entonces, sin importar cuál sea la elección del sistema de parámetros o de la elevación, la última función de no es 0. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ${\displaystyle F_{\bullet }}$ ${\displaystyle F_{0}=R}$ ${\displaystyle K_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ${\displaystyle R=K_{0}\to F_{0}=R}$ ${\displaystyle R=K_{d}\to F_{d}}$
8. Conjetura sobre la existencia de grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados. Existe un módulo R W (no necesariamente finitamente generado) tal que m _R W ≠ W y cada sistema de parámetros para R es una secuencia regular en W .
9. Conjetura de Cohen-Macaulayness de sumandos directos. Si R es un sumando directo de un anillo regular S como R -módulo, entonces R es Cohen-Macaulay ( R no necesita ser local, pero el resultado se reduce inmediatamente al caso en que R es local).
10. La conjetura de desaparición para las funciones de Tor. Sean homomorfismos donde R no es necesariamente local (sin embargo, se puede reducir a ese caso), con A, S regular y R finitamente generado como un módulo A. Sea W cualquier módulo A. Entonces la función es cero para todo . ${\displaystyle A\subseteq R\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,R)\to \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,S)}$ ${\displaystyle i\geq 1}$
11. La conjetura del sumando directo fuerte. Sea una función de dominios locales completos y sea Q un ideal primo de altura uno de S que se encuentra sobre , donde R y son ambos regulares. Entonces es un sumando directo de Q considerado como R -módulos. ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle xR}$
12. Conjetura sobre la existencia de álgebras de Cohen-Macaulay grandes débilmente funtoriales. Sea un homomorfismo local de dominios locales completos. Entonces existe una R -álgebra B _R que es una álgebra de Cohen-Macaulay grande balanceada para R , una S -álgebra que es una álgebra de Cohen-Macaulay grande balanceada para S , y un homomorfismo B _R → B _S tal que el cuadrado natural dado por estas funciones conmuta. ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle B_{S}}$
13. Conjetura de Serre sobre las multiplicidades. (cf. Conjeturas de Serre sobre la multiplicidad . ) Supóngase que R es regular de dimensión d y que tiene longitud finita. Entonces , , definida como la suma alternada de las longitudes de los módulos es 0 si , y es positiva si la suma es igual a d . (NB Jean-Pierre Serre demostró que la suma no puede ser mayor que d .) ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle \chi (M,N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)}$ ${\displaystyle \dim M+\dim N<d}$
14. Conjetura de los pequeños módulos de Cohen-Macaulay. Si R es completo, entonces existe un módulo R finitamente generado tal que algún (equivalentemente todo) sistema de parámetros para R es una secuencia regular en M . ${\displaystyle M\neq 0}$

Referencias

1. André, Yves (2018). "La conjetura del factor directo". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 127 : 71–93. arXiv : 1609.00345 . doi :10.1007/s10240-017-0097-9. SEÑOR  3814651. S2CID  119310771.

• Conjeturas homológicas, antiguas y nuevas, Melvin Hochster , Illinois Journal of Mathematics Volumen 51, Número 1 (2007), 151-169.
• Sobre la conjetura del sumando directo y su variante derivada de Bhargav Bhatt.