En geometría y combinatoria , una d -esfera simplicial (o combinatoria ) es un complejo homeomorfo simplicial a la esfera d -dimensional . Algunas esferas simpliciales surgen como límites de politopos convexos , sin embargo, en dimensiones superiores la mayoría de las esferas simpliciales no se pueden obtener de esta manera.
Un problema abierto importante en este campo fue la conjetura g , formulada por Peter McMullen , que pregunta sobre posibles números de caras de diferentes dimensiones de una esfera simplicial. En diciembre de 2018, Karim Adiprasito demostró la conjetura g en el contexto más general de las esferas de homología racional. [1] [2]
De la fórmula de Euler se deduce que cualquier 2-esfera simplicial con n vértices tiene 3 n - 6 aristas y 2 n - 4 caras. El caso de n = 4 se realiza mediante el tetraedro. Al realizar repetidamente la subdivisión baricéntrica , es fácil construir una esfera simplicial para cualquier n ≥ 4. Además, Ernst Steinitz dio una caracterización de 1-esqueleto (o gráficos de bordes) de politopos convexos en R 3 , lo que implica que cualquier 2-esfera simplicial es un límite de un politopo convexo.
Branko Grünbaum construyó un ejemplo de esfera simplicial no politópica (es decir, una esfera simplicial que no es el límite de un politopo). Gil Kalai demostró que, de hecho, "la mayoría" de las esferas simpliciales no son politópicas. El ejemplo más pequeño es de dimensión d = 4 y tiene f 0 = 8 vértices.
El teorema del límite superior da límites superiores para los números f i de i -caras de cualquier d -esfera simplicial con f 0 = n vértices. Esta conjetura fue demostrada para politopos convexos simpliciales por Peter McMullen en 1970 [3] y por Richard Stanley para esferas simpliciales generales en 1975.
La conjetura g , formulada por McMullen en 1970, pide una caracterización completa de los vectores f de esferas d simpliciales . En otras palabras, ¿cuáles son las posibles secuencias de números de caras de cada dimensión para una d -esfera simplicial? En el caso de las esferas politópicas, la respuesta la da el teorema g , demostrado en 1979 por Billera y Lee (existencia) y Stanley (necesidad). Se ha conjeturado que las mismas condiciones son necesarias para las esferas simpliciales generales. La conjetura fue demostrada por Karim Adiprasito en diciembre de 2018. [1] [2]