La conjetura de Schanuel

Conjetura sobre el grado de trascendencia de las extensiones de campo a los números racionales.

En matemáticas , específicamente en teoría de números trascendental , la conjetura de Schanuel es una conjetura hecha por Stephen Schanuel en la década de 1960 sobre el grado de trascendencia de ciertas extensiones de campo de los números racionales .

Declaración

La conjetura es la siguiente:

Dados n números complejos z ₁ , ..., z _n que son linealmente independientes de los números racionales , la extensión del campo ( z ₁ , ..., z _n , e ^{z ₁} , ..., e ^{z _n} ) tiene grado de trascendencia al menos n sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La conjetura se puede encontrar en Lang (1966). ^[1]

Consecuencias

La conjetura, si se demuestra, generalizaría la mayoría de los resultados conocidos en la teoría de números trascendental . El caso especial en el que los números z ₁ ,..., z _n son todos algebraicos es el teorema de Lindemann-Weierstrass . Si, por otro lado, los números se eligen de manera que hagan que exp( z ₁ ),...,exp( z _n ) sean todos algebraicos, entonces se demostraría que los logaritmos linealmente independientes de números algebraicos son algebraicamente independientes, un fortalecimiento de Teorema de Baker .

El teorema de Gelfond-Schneider se deriva de esta versión reforzada del teorema de Baker, al igual que la conjetura de los cuatro exponenciales , actualmente no probada .

La conjetura de Schanuel, si se demuestra, también resolvería si números como e  +  π y e ^e son algebraicos o trascendentales, y probaría que e y π son algebraicamente independientes simplemente estableciendo z ₁  = 1 y z ₂  =  π i , y usando la ecuación de Euler. identidad .

La identidad de Euler establece que e ^{π i}  + 1 = 0. Si la conjetura de Schanuel es cierta entonces esta es, en algún sentido preciso que involucra anillos exponenciales , la única relación entre e , π e i sobre los números complejos. ^[2]

Aunque aparentemente es un problema en la teoría de números, la conjetura tiene implicaciones también en la teoría de modelos . Angus Macintyre y Alex Wilkie , por ejemplo, demostraron que la teoría del campo real con exponenciación, _exp , es decidible siempre que la conjetura de Schanuel sea cierta. ^[3] De hecho sólo necesitaban la versión real de la conjetura, definida a continuación, para probar este resultado, que sería una solución positiva al problema de la función exponencial de Tarski . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Conjeturas y resultados relacionados

La conjetura inversa de Schanuel ^[4] es la siguiente afirmación:

Supongamos que F es un campo contable con característica 0, y e  : F → F es un homomorfismo del grupo aditivo ( F ,+) al grupo multiplicativo ( F ,·) cuyo núcleo es cíclico . Supongamos además que para cualesquiera n elementos x ₁ ,..., x _n de F que sean linealmente independientes de , el campo de extensión ( x ₁ ,..., x _n , e ( x ₁ ),..., e ( x _n )) tiene un grado de trascendencia al menos n superior a . Entonces existe un homomorfismo de campo h  : F → tal que h ( e ( x )) = exp( h ( x )) para todo x en F . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

James Ax demostró una versión de la conjetura de Schanuel para series de potencias formales , también de Schanuel, en 1971. ^[5] Dice:

Dada cualquier n serie de potencias formales f ₁ ,..., f _n en t [[ t ]] que sean linealmente independientes , entonces la extensión del campo ( t , f ₁ ,..., f _n ,exp( f ₁ ) ,...,exp( f _n )) tiene un grado de trascendencia al menos n sobre ( t ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Como se indicó anteriormente, la decidibilidad de _exp se deriva de la versión real de la conjetura de Schanuel, que es la siguiente: ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Supongamos que x ₁ ,..., x _n son números reales y el grado de trascendencia del campo ( x ₁ ,..., x _n , exp ( x ₁ ),...,exp( x _n )) es estrictamente menor que n , entonces hay números enteros m ₁ ,..., m _n , no todos cero, tales que m ₁ x ₁  +...+  m _n x _n  = 0. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Una conjetura relacionada llamada la conjetura de Schanuel real uniforme esencialmente dice lo mismo pero pone un límite a los números _enteros mi . La versión real uniforme de la conjetura es equivalente a la versión real estándar. ^[6] Macintyre y Wilkie demostraron que una consecuencia de la conjetura de Schanuel, que denominaron la conjetura de Schanuel débil, era equivalente a la decidibilidad de _exp . Esta conjetura establece que existe un límite superior computable en la norma de soluciones no singulares de sistemas de polinomios exponenciales ; Esto no es obviamente una consecuencia de la conjetura de Schanuel para los reales. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

También se sabe que la conjetura de Schanuel sería consecuencia de resultados conjeturales en la teoría de los motivos . En este contexto, la conjetura del período de Grothendieck para una variedad abeliana A establece que el grado de trascendencia de su matriz de período es el mismo que la dimensión del grupo Mumford-Tate asociado , y lo que se sabe por el trabajo de Pierre Deligne es que la dimensión es una dimensión superior. con destino al grado de trascendencia. Bertolin ha demostrado cómo una conjetura del período generalizado incluye la conjetura de Schanuel. ^[7]

La pseudoexponenciación de Zilber

Si bien una prueba de la conjetura de Schanuel parece estar muy lejos, ^[8] las conexiones con la teoría de modelos han provocado una oleada de investigaciones sobre la conjetura.

En 2004, Boris Zilber construyó sistemáticamente campos exponenciales K _exp que son algebraicamente cerrados y de característica cero, y tales que uno de estos campos existe para cada cardinalidad incontable . ^[9] Axiomatizó estos campos y, utilizando la construcción de Hrushovski y técnicas inspiradas en el trabajo de Shelah sobre la categoricidad en lógica infinita , demostró que esta teoría de la "pseudoexponenciación" tiene un modelo único en cada cardinal incontable. La conjetura de Schanuel es parte de esta axiomatización, por lo que la conjetura natural de que el modelo único de cardinalidad continua es en realidad isomorfo al campo exponencial complejo implica la conjetura de Schanuel. De hecho, Zilber demostró que esta conjetura se cumple si y sólo si se cumplen tanto la conjetura de Schanuel como otra condición no probada en el campo de exponenciación complejo, que Zilber llama cierre algebraico exponencial. ^[10] Como esta construcción también puede dar modelos con contraejemplos de la conjetura de Schanuel, este método no puede probar la conjetura de Schanuel. ^[11]

Referencias

1. Lang, Serge (1966). Introducción a los Números Trascendentales . Addison-Wesley. págs. 30-31.
2. Terzo, Giuseppina (2008). "Algunas consecuencias de la conjetura de Schanuel en anillos exponenciales". Comunicaciones en Álgebra . 36 (3): 1171–1189. doi :10.1080/00927870701410694. S2CID  122764821.
3. Macintyre, A. y Wilkie, AJ (1996). "Sobre la decidibilidad del campo exponencial real". En Odifreddi, Piergiorgio (ed.). Kreiseliana: Acerca de Georg Kreisel y sus alrededores . Wellesley: Peters. págs. 441–467. ISBN 978-1-56881-061-4.
4. Scott W. Williams, Problemas de millones de dólares
5. Hacha, James (1971). "Sobre las conjeturas de Schanuel". Anales de Matemáticas . 93 (2): 252–268. doi :10.2307/1970774. JSTOR  1970774.
6. Kirby, Jonathan y Zilber, Boris (2006). "La conjetura uniforme de Schanuel sobre los números reales". Toro. Matemáticas de Londres. Soc . 38 (4): 568–570. CiteSeerX 10.1.1.407.5667 . doi :10.1112/S0024609306018510. S2CID  122077474. 
7. Bertolín, Cristiana (2002). "Périodes de 1-motifs et trascendencia". Revista de teoría de números . 97 (2): 204–221. doi : 10.1016/S0022-314X(02)00002-1 . hdl : 2318/103562 .
8. Waldschmidt, Michel (2000). "Aproximación diofántica sobre grupos algebraicos lineales ". Berlín: Springer . ISBN 978-3-662-11569-5.
9. Zilber, Boris (2004). "Pseudoexponenciación en campos algebraicamente cerrados de característica cero". Anales de lógica pura y aplicada . 132 (1): 67–95. doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
10. Zilber, Boris (2002). "Ecuaciones de sumas exponenciales y la conjetura de Schanuel". J. Matemáticas de Londres. Soc . 65 (2): 27–44. doi :10.1112/S0024610701002861. S2CID  123143365.
11. Bahías, Martín; Kirby, Jonathan (2018). "Mapas pseudoexponenciales, variantes y cuasiminimidad". Teoría de números de álgebra . 12 (3): 493–549. arXiv : 1512.04262 . doi :10.2140/ant.2018.12.493. S2CID  119602079.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Schanuel". MundoMatemático .