La conjetura de Polignac

En teoría de números , la conjetura de Polignac fue realizada por Alphonse de Polignac en 1849 y afirma: ^[1]

Para cualquier número par positivo n , hay infinitos espacios primos de tamaño n . En otras palabras: hay infinitos casos de dos números primos consecutivos con diferencia n . ^[2]

Aunque la conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor dado de n , en 2013 Yitang Zhang logró un avance importante al demostrar que existen infinitas brechas entre primos de tamaño n para algún valor de n <70.000.000. ^{[3] [4]} Más tarde ese año, James Maynard anunció un avance relacionado que demostró que hay infinitas brechas entre primos de algún tamaño menor o igual a 600. ^[5] Al 14 de abril de 2014, un año después del anuncio de Zhang , según la wiki del proyecto Polymath , n se ha reducido a 246. ^[6] Además, asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, la wiki del proyecto Polymath afirma que n se ha reducido a 12 y 6, respectivamente. ^[7]

Para n = 2, es la conjetura de los primos gemelos . Para n = 4, dice que hay infinitos primos primos ( p ,  p  + 4). Para n  = 6, dice que hay infinitos números primos sexys ( p ,  p  + 6) sin ningún primo entre p y  p  + 6.

La conjetura de Dickson generaliza la conjetura de Polignac para cubrir todas las constelaciones primarias.

Densidad conjeturada

Sea n par el número de espacios primos de tamaño n debajo de x . ${\displaystyle \pi _{n}(x)}$

La primera conjetura de Hardy-Littlewood dice que la densidad asintótica es de la forma

${\displaystyle \pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}}$

donde C _n es una función de n y significa que el cociente de dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito. ^[8] ${\displaystyle \sim }$

C ₂ es la constante prima gemela

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots }$

donde el producto se extiende a todos los números primos p ≥ 3.

C _n es C ₂ multiplicado por un número que depende de los factores primos impares q de n :

${\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.}$

Por ejemplo, C ₄ = C ₂ y C ₆ = 2 C ₂ . Los primos gemelos tienen la misma densidad supuesta que los primos primos, y la mitad que los primos sexys.

Tenga en cuenta que cada factor primo impar q de n aumenta la densidad conjeturada en comparación con los primos gemelos en un factor de . Sigue un argumento heurístico . Se basa en algunas suposiciones no comprobadas, por lo que la conclusión sigue siendo una conjetura. La probabilidad de que un primo impar aleatorio q divida a a o a + 2 en un par de primos gemelos "potenciales" aleatorios es , ya que q divide uno de los q números de a a a  +  q  − 1. Ahora supongamos que q divide a n y considere un par de primos potenciales ( a ,  a  +  n ). q  divide a  +  n si y sólo si q divide a , y la probabilidad de que eso ocurra es . La probabilidad de que ( a ,  a  +  n ) esté libre del factor q , dividida por la probabilidad de que ( a , a  +  2 ) esté libre de q , luego se divide por . Esto es igual a lo que se transfiere a la densidad prima conjeturada. En el caso de n  = 6, el argumento se simplifica a: Si a es un número aleatorio, entonces 3 tiene una probabilidad de 2/3 de dividir a o a  + 2, pero sólo una probabilidad de 1/3 de dividir a y a  + 6, por lo que Se conjetura que el último par tiene el doble de probabilidades de ser primos. ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {q-2}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$

Notas

1. de Polignac, A. (1849). "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [Nueva investigación sobre números primos]. Comptes rendus (en francés). 29 : 397–401. De la pág. 400: "1 ^er Théorème. Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières … " (1er Teorema. Todo número par es igual a la diferencia de dos números primos consecutivos en un número infinito de maneras … )
2. Tattersall, JJ (2005), Teoría elemental de números en nueve capítulos, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-85014-8, pag. 112
3. Zhang, Yitang (2014). "Brechas acotadas entre números primos". Anales de Matemáticas . 179 (3): 1121-1174. doi : 10.4007/anales.2014.179.3.7 . SEÑOR  3171761. Zbl  1290.11128. (requiere suscripción)
4. Klarreich, Erica (19 de mayo de 2013). "Un matemático desconocido cierra la brecha principal". Noticias científicas de Simons . Consultado el 21 de mayo de 2013 .
5. Augereau, Benjamin (15 de enero de 2014). "¿Un viejo rompecabezas matemático que pronto será resuelto?". Phys.org . Consultado el 10 de febrero de 2014 .
6. "Brechas acotadas entre números primos". Polímata . Consultado el 27 de marzo de 2014 .
7. "Brechas acotadas entre números primos". Polímata . Consultado el 21 de febrero de 2014 .
8. Bateman, Paul T .; Diamond, Harold G. (2004), Teoría analítica de números , World Scientific, p. 313, ISBN 981-256-080-7, Zbl  1074.11001.

Referencias

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Cuentas Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Polignac". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de k-tupla". MundoMatemático .