Teorema matemático
El teorema de Koukoulopoulos-Maynard , también conocido como conjetura de Duffin-Schaeffer, es un teorema de matemáticas , específicamente, la aproximación diofántica propuesta como conjetura por RJ Duffin y AC Schaeffer en 1941 [1] y probada en 2019 por Dimitris Koukoulopoulos y James. Maynard . [2] Afirma que si es una función de valor real que toma valores positivos, entonces para casi todas (con respecto a la medida de Lebesgue ), la desigualdad
![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tiene infinitas soluciones en enteros coprimos con si y solo si![{\displaystyle p,q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }\varphi (q){\frac {f(q)}{q}}=\infty,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está la función totiente de Euler ? ![{\displaystyle \varphi (q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Vaughan y Pollington resolvieron una analogía de dimensiones superiores de esta conjetura en 1990. [3] [4] [5]
Introducción
Que la existencia de aproximaciones racionales implica divergencia de la serie se desprende del lema de Borel-Cantelli . [6] La implicación inversa es el quid de la conjetura. [3]
Ha habido muchos resultados parciales de la conjetura de Duffin-Schaeffer establecidos hasta la fecha. Paul Erdős estableció en 1970 que la conjetura se cumple si existe una constante tal que para cada número entero tengamos o o . [3] [7] Esto fue reforzado por Jeffrey Vaaler en 1978 en el caso . [8] [9] Más recientemente, esto se reforzó al afirmar que la conjetura es cierta siempre que exista algo tal que la serie
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(n)=c/n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(n)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(n)=O(n^{-1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto fue hecho por Haynes, Pollington y Velani. [10]
En 2006, Beresnevich y Velani demostraron que una medida de Hausdorff análoga a la conjetura de Duffin-Schaeffer es equivalente a la conjetura original de Duffin-Schaeffer, que es a priori más débil. Este resultado fue publicado en Annals of Mathematics . [11]
Ver también
Notas
- ^ Duffin, RJ; Schaeffer, AC (1941). "El problema de Khintchine en la aproximación métrica diofántica". Duque Matemáticas. J. 8 (2): 243–255. doi :10.1215/S0012-7094-41-00818-9. JFM 67.0145.03. Zbl 0025.11002.
- ^ Koukoulopoulos, Dimitris; Maynard, James (2020). "Sobre la conjetura de Duffin-Schaeffer". Anales de Matemáticas . 192 (1): 251. arXiv : 1907.04593 . doi : 10.4007/anales.2020.192.1.5. JSTOR 10.4007/anales.2020.192.1.5. S2CID 195874052.
- ^ abc Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 84. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 204.ISBN 978-0-8218-0737-8. Zbl 0814.11001.
- ^ Pollington, ANUNCIO; Vaughan, RC (1990). "La conjetura de Duffin-Schaeffer de k dimensión". Matemática . 37 (2): 190–200. doi :10.1112/s0025579300012900. ISSN 0025-5793. S2CID 122789762. Zbl 0715.11036.
- ^ Harman (2002) pág. 69
- ^ Harman (2002) pág. 68
- ^ Harman (1998) pág. 27
- ^ "Conjetura de Duffin-Schaeffer" (PDF) . Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Ohio . 2010-08-09 . Consultado el 19 de septiembre de 2019 .
- ^ Harman (1998) pág. 28
- ^ A. Haynes, A. Pollington y S. Velani, La conjetura de Duffin-Schaeffer con divergencia adicional , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234
- ^ Beresnevich, Víctor; Velani, Sanju (2006). "Un principio de transferencia de masa y la conjetura de Duffin-Schaeffer para las medidas de Hausdorff". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 164 (3): 971–992. arXiv : matemáticas/0412141 . doi : 10.4007/annals.2006.164.971. ISSN 0003-486X. S2CID 14475449. Zbl 1148.11033.
Referencias
- Harman, Glyn (1998). Teoría de números métricos . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. vol. 18. Oxford: Prensa de Clarendon . ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
- Harman, Glyn (2002). "Cien años de números normales". En Bennett, MA; Berndt, antes de Cristo ; Boston, N .; Diamante, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (eds.). Encuestas sobre teoría de números: artículos de la conferencia milenaria sobre teoría de números . Natick, MA: AK Peters. págs. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
enlaces externos
- Artículo de la revista Quanta sobre la conjetura de Duffin-Schaeffer.
- Entrevista numérica con James Maynard sobre la prueba.