Conjetura de Baum-Connes

En matemáticas , específicamente en la teoría K del operador , la conjetura de Baum-Connes sugiere un vínculo entre la teoría K del álgebra C* reducida de un grupo y la homología K del espacio de clasificación de acciones propias de ese grupo. La conjetura establece una correspondencia entre diferentes áreas de las matemáticas, con la homología K del espacio de clasificación relacionada con la geometría, la teoría del operador diferencial y la teoría de la homotopía , mientras que la teoría K del álgebra C* reducida del grupo es puramente objeto analítico.

La conjetura, de ser cierta, tendría como consecuencias algunas conjeturas más antiguas y famosas. Por ejemplo, la parte de sobreyectividad implica la conjetura de Kadison-Kaplansky para grupos discretos libres de torsión , y la inyectividad está estrechamente relacionada con la conjetura de Novikov .

La conjetura también está estrechamente relacionada con la teoría de índices , ya que el mapa de ensamblaje es una especie de índice y juega un papel importante en el programa de geometría no conmutativa de Alain Connes . ${\displaystyle \mu }$

Los orígenes de la conjetura se remontan a la teoría de Fredholm , el teorema del índice de Atiyah-Singer y la interacción de la geometría con la teoría del operador K tal como se expresa en los trabajos de Brown, Douglas y Fillmore, entre muchos otros temas motivadores.

Formulación

Sea Γ un segundo grupo localmente compacto contable (por ejemplo, un grupo discreto contable ). Se puede definir un morfismo.

${\displaystyle \mu :RK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }})\to K_{*}(C_{r}^{*}(\Gamma )),}$

llamado mapa de ensamblaje , desde la K-homología equivariante con soportes compactos del espacio de clasificación de acciones propias hasta la teoría K del álgebra C* reducida de Γ. El índice de subíndice _* puede ser 0 o 1. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\underline {E\Gamma }}}$

Paul Baum y Alain Connes introdujeron la siguiente conjetura (1982) sobre este morfismo:

Conjetura de Baum-Connes. El mapa de ensamblaje es un isomorfismo . ${\displaystyle \mu }$

Como el lado izquierdo tiende a ser más fácilmente accesible que el lado derecho, debido a que apenas existen teoremas de estructura general del -álgebra, normalmente se considera la conjetura como una "explicación" del lado derecho. ${\displaystyle C^{*}}$

La formulación original de la conjetura era algo diferente, ya que la noción de homología K equivariante aún no era común en 1982.

En caso de que sea discreto y libre de torsión, el lado izquierdo se reduce a la homología K no equivalente con soportes compactos del espacio de clasificación ordinario de . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

También existe una forma más general de la conjetura, conocida como conjetura de Baum-Connes con coeficientes, donde ambos lados tienen coeficientes en forma de un -álgebra sobre la que actúan -automorfismos. Dice en idioma KK que el mapa de montaje ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C^{*}}$

${\displaystyle \mu _{A,\Gamma }:RKK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }},A)\to K_{*}(A\rtimes _{\lambda }\Gamma ),}$

es un isomorfismo, que contiene el caso sin coeficientes como el caso ${\displaystyle A=\mathbb {C} .}$

Sin embargo, Nigel Higson , Vincent Lafforgue y Georges Skandalis encontraron contraejemplos a la conjetura con coeficientes en 2002 . Sin embargo, la conjetura con coeficientes sigue siendo un área activa de investigación, ya que, al igual que la conjetura clásica, a menudo se la ve como una declaración sobre grupos o clases de grupos particulares.

Ejemplos

Sean los números enteros . Entonces el lado izquierdo es la homología K de la cual es el círculo. El -álgebra de los números enteros se realiza mediante la transformada conmutativa de Gelfand-Naimark, que se reduce a la transformada de Fourier en este caso, isomorfa al álgebra de funciones continuas sobre el círculo. Entonces, el lado derecho es la teoría K topológica del círculo. Entonces se puede demostrar que el mapa de ensamblaje es la dualidad de Poincaré teórica KK tal como la define Gennadi Kasparov, que es un isomorfismo. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C^{*}}$

Resultados

La conjetura sin coeficientes sigue abierta, aunque el campo ha recibido gran atención desde 1982.

La conjetura se prueba para las siguientes clases de grupos:

• Subgrupos discretos de y . ${\displaystyle SO(n,1)}$ ${\displaystyle SU(n,1)}$
• Grupos con la propiedad Haagerup , a veces llamados grupos aT-menable . Estos son grupos que admiten una acción isométrica en un espacio de Hilbert afín que es propia en el sentido de que para todas y cada una de las secuencias de elementos del grupo con . Ejemplos de grupos aT-menables son grupos susceptibles , grupos de Coxeter , grupos que actúan correctamente sobre árboles y grupos que actúan correctamente sobre complejos cúbicos simplemente conectados. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}\xi \to \infty }$ ${\displaystyle \xi \in H}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty }$ ${\displaystyle CAT(0)}$
• Grupos que admiten una presentación finita con una sola relación.
• Subgrupos cocompactos discretos de grupos de Lie reales de rango real 1.
• Celosías cocompactas en o . Fue un problema de larga data desde los primeros días de la conjetura exponer una única propiedad infinita del grupo T que la satisfaga. Sin embargo, V. Lafforgue propuso un grupo de este tipo en 1998, ya que demostró que las redes cocompactas tienen la propiedad de desintegrarse rápidamente y, por lo tanto, satisfacen la conjetura. ${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SL(3,\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} )}$
• Grupos hiperbólicos de Gromov y sus subgrupos.
• Entre los grupos no discretos, la conjetura fue demostrada en 2003 por J. Chabert, S. Echterhoff y R. Nest para la amplia clase de todos los grupos casi conexos (es decir, grupos que tienen un componente cocompacto conexo) y todos los grupos de grupos racionales. puntos de un grupo algebraico lineal sobre un campo local de característica cero (p. ej. ). Para la importante subclase de grupos reductivos reales, Antony Wassermann ya había demostrado la conjetura en 1987 . ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\mathbb {Q} _{p}}$

La inyectividad es conocida por una clase mucho más grande de grupos gracias al método Dirac-dual-Dirac. Esto se remonta a las ideas de Michael Atiyah y fue desarrollado con gran generalidad por Gennadi Kasparov en 1987. La inyectividad se conoce por las siguientes clases:

• Subgrupos discretos de grupos de Lie conectados o grupos de Lie virtualmente conectados.
• Subgrupos discretos de grupos p-ádicos .
• Grupos bólicos (una cierta generalización de los grupos hiperbólicos).
• Grupos que admiten una acción dócil sobre algún espacio compacto.

El ejemplo más simple de un grupo del cual no se sabe si satisface la conjetura es . ${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {Z} )}$

Referencias

1. Datos bibliográficos de MathSciNet

• Mislin, Guido y Valette, Alain (2003), Acciones grupales adecuadas y la conjetura de Baum-Connes , Basilea: Birkhäuser, ISBN 0-8176-0408-1.
• Valette, Alain (2002), Introducción a la conjetura de Baum-Connes , Basilea: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6706-0.

enlaces externos

• Sobre la conjetura de Baum-Connes de Dmitry Matsnev.