En el procesamiento de señales , la coherencia es una estadística que se puede utilizar para examinar la relación entre dos señales o conjuntos de datos . Se utiliza habitualmente para estimar la transferencia de potencia entre la entrada y la salida de un sistema lineal . Si las señales son ergódicas y la función del sistema es lineal , se puede utilizar para estimar la causalidad entre la entrada y la salida. [ cita requerida ]
La coherencia (a veces llamada coherencia de magnitud al cuadrado ) entre dos señales x(t) e y(t) es una función de valor real que se define como: [1] [2]
donde G xy (f) es la densidad espectral cruzada entre x e y, y G xx (f) y G yy (f) son las densidades espectrales automáticas de x e y respectivamente. La magnitud de la densidad espectral se denota como |G|. Dadas las restricciones señaladas anteriormente (ergodicidad, linealidad), la función de coherencia estima hasta qué punto y(t) puede predecirse a partir de x(t) mediante una función de mínimos cuadrados lineal óptima .
Los valores de coherencia siempre satisfarán . Para un sistema lineal ideal de parámetros constantes con una única entrada x(t) y una única salida y(t), la coherencia será igual a uno. Para ver esto, considere un sistema lineal con una respuesta al impulso h(t) definida como: , donde denota convolución . En el dominio de Fourier, esta ecuación se convierte en , donde Y(f) es la transformada de Fourier de y(t) y H(f) es la función de transferencia del sistema lineal . Dado que, para un sistema lineal ideal: y , y dado que es real, se cumple la siguiente identidad,
Sin embargo, en el mundo físico rara vez se logra un sistema lineal ideal, el ruido es un componente inherente a la medición del sistema y es probable que un sistema lineal de una sola entrada y una sola salida sea insuficiente para capturar la dinámica completa del sistema. En los casos en que los supuestos del sistema lineal ideal son insuficientes, la desigualdad de Cauchy-Schwarz garantiza un valor de .
Si C xy es menor que uno pero mayor que cero, es una indicación de que: hay ruido entrando en las mediciones, que la función supuesta que relaciona x(t) e y(t) no es lineal, o que y(t) está produciendo una salida debido a la entrada x(t) así como a otras entradas. Si la coherencia es igual a cero, es una indicación de que x(t) e y(t) no tienen ninguna relación, dadas las restricciones mencionadas anteriormente.
Por lo tanto, la coherencia de un sistema lineal representa la parte fraccionaria de la potencia de la señal de salida que produce la entrada a esa frecuencia. También podemos considerar la cantidad como una estimación de la potencia fraccionaria de la salida que no aporta la entrada a una frecuencia determinada. Esto conduce naturalmente a la definición del espectro de salida coherente:
Proporciona una cuantificación espectral de la potencia de salida que no está correlacionada con el ruido u otras entradas.
Aquí ilustramos el cálculo de la coherencia (indicada como ) como se muestra en la figura 1. Considere las dos señales que se muestran en la parte inferior de la figura 2. Parece haber una relación estrecha entre los niveles de agua superficial del océano y los niveles de agua subterránea. También está claro que la presión barométrica tiene un efecto tanto en los niveles de agua del océano como en los niveles de agua subterránea.
La figura 3 muestra la densidad autoespectral del nivel del agua del océano durante un largo período de tiempo.
Como era de esperar, la mayor parte de la energía se concentra en las frecuencias de mareas conocidas . Asimismo, la densidad autoespectral de los niveles de los pozos de agua subterránea se muestra en la figura 4.
Está claro que la variación de los niveles de las aguas subterráneas tiene un poder significativo en las frecuencias de las mareas oceánicas. Para estimar en qué medida los niveles de las aguas subterráneas se ven influenciados por los niveles de la superficie del océano, calculamos la coherencia entre ellos. Supongamos que existe una relación lineal entre la altura de la superficie del océano y los niveles de las aguas subterráneas. Suponemos además que la altura de la superficie del océano controla los niveles de las aguas subterráneas, de modo que tomamos la altura de la superficie del océano como variable de entrada y la altura del pozo de agua subterránea como variable de salida.
La coherencia calculada (figura 1) indica que en la mayoría de las principales frecuencias de mareas oceánicas la variación del nivel de agua subterránea en este sitio en particular es superior al 90% debido a la fuerza de las mareas oceánicas. Sin embargo, hay que tener cuidado al atribuir causalidad. Si la relación ( función de transferencia ) entre la entrada y la salida no es lineal , entonces los valores de la coherencia pueden ser erróneos. Otro error común es suponer una relación causal de entrada/salida entre las variables observadas, cuando de hecho el mecanismo causal no está en el modelo del sistema. Por ejemplo, está claro que la presión barométrica atmosférica induce una variación tanto en los niveles de agua oceánica como en los niveles de agua subterránea, pero la presión barométrica no está incluida en el modelo del sistema como una variable de entrada. También hemos supuesto que los niveles de agua oceánica impulsan o controlan los niveles de agua subterránea. En realidad es una combinación de la fuerza hidrológica de los niveles de agua oceánica y el potencial de marea lo que impulsa las señales de entrada y salida observadas. Además, el ruido introducido en el proceso de medición o por el procesamiento de la señal espectral puede contribuir a la coherencia o corromperla.
Si las señales no son estacionarias (y por lo tanto no son ergódicas ), las formulaciones anteriores pueden no ser apropiadas. Para tales señales, el concepto de coherencia se ha extendido utilizando el concepto de distribuciones de tiempo-frecuencia para representar las variaciones espectrales variables en el tiempo de las señales no estacionarias en lugar de los espectros tradicionales. Para más detalles, consulte [3] .
La coherencia se ha utilizado para medir la conectividad funcional dinámica en las redes cerebrales. Los estudios muestran que la coherencia entre diferentes regiones cerebrales puede cambiar durante diferentes estados mentales o perceptivos. [4] La coherencia cerebral durante el estado de reposo puede verse afectada por trastornos y enfermedades. [5]
