La red de Young es una red (y por lo tanto también un conjunto parcialmente ordenado ) Y formada por todas las particiones enteras ordenadas por inclusión de sus diagramas de Young (o diagramas de Ferrers ).
Significado
La aplicación tradicional de la red de Young es la descripción de las representaciones irreducibles de grupos simétricos S n para todo n , junto con sus propiedades de ramificación, en característica cero. Las clases de equivalencia de representaciones irreducibles pueden parametrizarse mediante particiones o diagramas de Young, la restricción de S n +1 a S n es libre de multiplicidad, y la representación de S n con partición p está contenida en la representación de S n +1 con partición q si y solo si q cubre p en la red de Young. Iterando este procedimiento, se llega a la base semicanónica de Young en la representación irreducible de S n con partición p , que está indexada por las tablas de Young estándar de forma p .
Propiedades
El conjunto poset Y está graduado : el elemento mínimo es ∅, la única partición de cero, y las particiones de n tienen rango n . Esto significa que, dadas dos particiones que son comparables en la red, sus rangos están ordenados en el mismo sentido que las particiones, y hay al menos una partición intermedia de cada rango intermedio.
El conjunto parcial Y es un retículo. El encuentro y la unión de dos particiones se dan mediante la intersección y la unión de los diagramas de Young correspondientes. Debido a que es un retículo en el que las operaciones de encuentro y unión están representadas por intersecciones y uniones, es un retículo distributivo .
Si una partición p cubre k elementos de la red de Young para algún k , entonces está cubierta por k + 1 elementos. Todas las particiones cubiertas por p se pueden encontrar eliminando una de las "esquinas" de su diagrama de Young (cajas al final tanto de su fila como de su columna). Todas las particiones que cubren p se pueden encontrar añadiendo una de las "esquinas duales" a su diagrama de Young (cajas fuera del diagrama que son las primeras de tales cajas tanto en su fila como en su columna). Siempre hay una esquina dual en la primera fila, y para cada otra esquina dual hay una esquina en la fila anterior, de ahí la propiedad indicada.
Si particiones distintas p y q cubren ambas k elementos de Y, entonces k es 0 o 1, y p y q están cubiertas por k elementos. En lenguaje sencillo: dos particiones pueden tener como máximo una (tercera) partición cubierta por ambas (sus respectivos diagramas entonces tienen cada uno una caja que no pertenece al otro), en cuyo caso también hay una (cuarta) partición que las cubre a ambas (cuyo diagrama es la unión de sus diagramas).
Las cadenas saturadas entre ∅ y p están en una biyección natural con las tablas estándar de Young de forma p : los diagramas en la cadena suman las casillas del diagrama de la tabla estándar de Young en el orden de su numeración. De manera más general, las cadenas saturadas entre q y p están en una biyección natural con las tablas estándar oblicuas de forma oblicua p / q .
La función de Möbius de la red de Young toma valores 0, ±1. Se da por la fórmula
Simetría diedral
La parte de la red de Young que se encuentra debajo de 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2, 3 + 3 y 4
Tradicionalmente, la red de Young se representa en un diagrama de Hasse , en el que todos los elementos del mismo rango se muestran a la misma altura sobre la base. Suter (2002) ha demostrado que una forma diferente de representar algunos subconjuntos de la red de Young muestra algunas simetrías inesperadas.
La partición
del n -ésimo número triangular tiene un diagrama de Ferrers que parece una escalera. Los elementos más grandes cuyos diagramas de Ferrers son rectangulares que se encuentran debajo de la escalera son estos:
Las particiones de esta forma son las únicas que tienen un solo elemento inmediatamente debajo de ellas en la red de Young. Suter demostró que el conjunto de todos los elementos menores o iguales a estas particiones particulares no solo tiene la simetría bilateral que se espera de la red de Young, sino también simetría rotacional: el grupo de rotación de orden n + 1 actúa sobre este conjunto parcial. Dado que este conjunto tiene tanto simetría bilateral como simetría rotacional, debe tener simetría diedral: el ( n + 1)º grupo diedral actúa fielmente sobre este conjunto. El tamaño de este conjunto es 2 n .
Por ejemplo, cuando n = 4, entonces el elemento máximo bajo la "escalera" que tiene diagramas de Ferrers rectangulares son
1 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2
3 + 3
4
El subconjunto de la red de Young que se encuentra debajo de estas particiones tiene simetría bilateral y simetría rotacional quíntuple. Por lo tanto, el grupo diedro D 5 actúa fielmente sobre este subconjunto de la red de Young.
![{\displaystyle \mu (q,p)={\begin{cases}(-1)^{|p|-|q|}&{\text{si el diagrama oblicuo}}p/q{\text{ es una unión desconectada de cuadrados}}\\&{\text{(sin aristas comunes);}}\\[10pt]0&{\text{en caso contrario}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c009fee0b6223ebe446ef9f741e275dca9ac58)
