Campo Levi-Civita

Sistema de números con cantidades no finitas.

En matemáticas, el campo Levi-Civita , llamado así en honor a Tullio Levi-Civita , ^[1] es un campo ordenado no arquimediano ; es decir, un sistema de números que contiene cantidades infinitas e infinitesimales . Generalmente se denota . ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Cada miembro puede construirse como una serie formal de la forma ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q},}$

donde es el conjunto de los números racionales , los coeficientes son números reales y debe interpretarse como un infinitesimal positivo fijo. Requerimos que para cada número racional , sólo haya un número finito menos que con ; esta restricción es necesaria para que la multiplicación y la división estén bien definidas y sean únicas. Dos de estas series se consideran iguales sólo si todos sus coeficientes son iguales. El orden se define según el orden del diccionario de la lista de coeficientes, lo que equivale a la suposición de que es infinitesimal. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{q}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a_{q}\neq 0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Los números reales están incluidos en este campo como series en las que todos los coeficientes desaparecen excepto . ${\displaystyle a_{0}}$

Ejemplos

• ${\displaystyle 7\varepsilon }$es un infinitesimal que es mayor que , pero menor que todo número real positivo. ${\displaystyle \varepsilon }$
• ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$es menor que y también es menor que para cualquier real positivo . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r\varepsilon }$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon }$difiere infinitamente de 1.
• ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$es mayor que e incluso mayor que para cualquier número real positivo , pero sigue siendo menor que todo número real positivo. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r\varepsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$
• ${\displaystyle 1/\varepsilon }$es mayor que cualquier número real.
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\varepsilon ^{n}+\cdots }$se interpreta como , que difiere infinitamente de 1. ${\displaystyle \varepsilon ^{\varepsilon }}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +2\varepsilon ^{2}+\cdots +n!\varepsilon ^{n}+\cdots }$es un miembro válido del campo, porque la serie debe interpretarse formalmente, sin ninguna consideración de convergencia .

Definición de las operaciones de campo y cono positivo.

Si y son dos series de Levi-Civita, entonces ${\displaystyle a=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q}}$ ${\displaystyle b=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }b_{q}\varepsilon ^{q}}$

• su suma es la suma puntual . ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a+b:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }(a_{q}+b_{q})\varepsilon ^{q}}$
• su producto es el producto Cauchy . ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ab:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }\left(\sum \limits _{r+s=q}a_{r}b_{s}\right)\varepsilon ^{q}}$

(Se puede comprobar que para cada conjunto el conjunto es finito, de modo que todos los productos están bien definidos y que la serie resultante define una serie Levi-Civita válida). ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :\ r+s=q,\ a_{r}\neq 0,\ b_{s}\neq 0\}}$

• la relación se cumple si (es decir, al menos un coeficiente de es distinto de cero) y el menor coeficiente distinto de cero es estrictamente positivo. ${\displaystyle 0<a}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Equipado con esas operaciones y orden, el campo de Levi-Civita es de hecho una extensión de campo ordenada donde la serie es un infinitesimal positivo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Propiedades y aplicaciones

El campo de Levi-Civita es real-cerrado , lo que significa que puede cerrarse algebraicamente adjuntando una unidad imaginaria ( i ), o dejando que los coeficientes sean complejos . Es lo suficientemente rico como para permitir que se realice una cantidad significativa de análisis, pero sus elementos aún se pueden representar en una computadora en el mismo sentido en que los números reales se pueden representar usando punto flotante . Es la base de la diferenciación automática , una forma de realizar la diferenciación en casos que son intratables mediante diferenciación simbólica o métodos de diferencias finitas. ^[2]

El campo de Levi-Civita también es Cauchy completo , lo que significa que al relativizar las definiciones de secuencia de Cauchy y secuencia convergente a secuencias de la serie de Levi-Civita, cada secuencia de Cauchy en el campo converge. De manera equivalente, no tiene una extensión de campo ordenada y densa adecuada. ${\displaystyle \forall \exists \forall }$

Como campo ordenado, tiene una valoración natural dada por el exponente racional correspondiente al primer coeficiente distinto de cero de una serie de Levi-Civita. El anillo de valoración es el de series acotadas por números reales, el campo residuo es y el grupo de valores es . El campo valorado resultante es henseliano (siendo real cerrado con un anillo de valoración convexo) pero no esféricamente completo . De hecho, el campo de la serie de Hahn con coeficientes reales y grupo de valores es una extensión inmediata adecuada, que contiene series como las que no están en el campo de Levi-Civita. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ${\displaystyle 1+\varepsilon ^{1/2}+\varepsilon ^{2/3}+\varepsilon ^{3/4}+\varepsilon ^{4/5}+\cdots }$

Relaciones con otros campos ordenados

El campo de Levi-Civita es la terminación de Cauchy del campo de la serie de Puiseux sobre el campo de números reales, es decir, es una extensión densa sin una extensión densa adecuada. Aquí hay una lista de algunos de sus subcampos adecuados notables y sus extensiones de campo ordenadas adecuadas: ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Subcampos notables

• El campo de los números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El cuerpo de fracciones de polinomios reales ( funciones racionales ) con indeterminados positivos infinitesimales . ${\displaystyle \mathbb {R} (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• El campo de la serie formal de Laurent ha terminado . ${\displaystyle \mathbb {R} ((\varepsilon ))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Se acabó la serie del campo de Puiseux . ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Extensiones notables

• El campo de la serie de Hahn con coeficientes reales y exponentes racionales. ${\displaystyle \mathbb {R} [[\varepsilon ^{\mathbb {Q} }]]}$
• "El campo de las transseries logarítmico-exponenciales" . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$
• El campo de números surrealistas con fecha de nacimiento debajo del primer número . ${\displaystyle \mathbf {No} (\varepsilon _{0})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$
• Campos de números hiperreales construidos como ultrapoderes de módulo un ultrafiltro libre (aunque aquí las incrustaciones no son canónicas). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Referencias

1. Levi-Civita, Tullio (1893). "Sugli infiniti ed infinitesimi attuali quali elementi analitici" [Sobre los infinitos y los infinitesimales reales como elementos analíticos]. Atti Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti (en italiano). LI (7a): 1795–1815.
2. Khodr Shamseddine, Martin Berz "Análisis sobre el campo Levi-Civita: una breve descripción", Matemáticas contemporáneas , 508 págs. 215-237 (2010)

enlaces externos

• Una calculadora basada en web para números de Levi-Civita